Konvergenz und Grenzwert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n}(\wurzel{n - 1} [/mm] - [mm] \wurzel{n})
[/mm]
[mm] b_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n^{3} + sin(n)}{2n^{2} + 11n{3}} [/mm] |
Bei [mm] a_{n} [/mm] hab ich mir das so gedacht:
Wenn eine Folge streng monoton steigend (fallend) ist und nach oben (unten) beschränkt ist, dann muss sie konvergent sein.
d.h.
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] berechnen und wenn größer 1 rauskommt, monoton steigend, ansonsten monoton fallend. Gerechnet, kam folgendes raus:
[mm] \bruch{\wurzel{n^{2} + n} - n + 1}{\wurzel{n^{2} - n} - n} [/mm] > 1 => monoton steigend.
[mm] (\wurzel{n - 1} [/mm] - [mm] \wurzel{n}) [/mm] ist ein negativer Wert, deshalb ist jedes Glied der Folge [mm] a_{n} [/mm] negativ -> obere Schranke = 0 => konvergent
Bei [mm] b_{n} [/mm] hab ich das ganze in den Limes gesetzt, durch weiteres durchrechnen kam folgendes raus (ich hab hier die Schritte davor mal ausgelassen):
[mm] \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty} 1 + \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{sin(n)}{n^{3}}}{\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2}{2n} + \limes_{n\rightarrow\infty} 11} [/mm] = [mm] \bruch{1}{11} [/mm] => [mm] b_{n} [/mm] konvergiert gegen [mm] \bruch{1}{11}
[/mm]
Stimmt das alles? Hab ich Fehler gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 Mi 16.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu [mm] a_n: [/mm] den Quotienten $ [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] $ hast Du nicht richtig berechnet.
Bei [mm] b_n [/mm] hast Du alles richtig gemacht.
FRED
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Hallo Weltengel!
Für die Bestimmung des Grenzwertes solltest Du den Term mit [mm] $\left( \ \wurzel{n-1} \ \red{+} \ \wurzel{n} \ \right)$ [/mm] erweitern und zusammenfassen.
Gruß vom
Roadrunner
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| Aufgabe | | Für die Bestimmung des Grenzwertes solltest Du den Term mit $ [mm] \left( \ \wurzel{n-1} \ \red{+} \ \wurzel{n} \ \right) [/mm] $ erweitern und zusammenfassen. |
Ich verstehe nicht, warum ich das machen soll ... bzw. wann ich das machen soll. Ich habs mal eingesetzt und mal gerechnet ... hab jetzt ellenlange Brüche und mich vielleicht verrechnet (aber ich rechne das gleich nochmal durch) doch eine kleine Erklärung dazu wäre ganz hilfreich.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Mi 16.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Für die Bestimmung des Grenzwertes solltest Du den Term
> mit [mm]\left( \ \wurzel{n-1} \ \red{+} \ \wurzel{n} \ \right)[/mm]
> erweitern und zusammenfassen.
> Ich verstehe nicht, warum ich das machen soll ... bzw. wann
> ich das machen soll. Ich habs mal eingesetzt und mal
> gerechnet ... hab jetzt ellenlange Brüche und mich
> vielleicht verrechnet (aber ich rechne das gleich nochmal
> durch) doch eine kleine Erklärung dazu wäre ganz
> hilfreich.
Wenn Du es wie oben angegeben machst, erhälst Du
[mm] $-\bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n-1}+\wurzel{n}}$
[/mm]
Jetzt Zähler und Nenner durch [mm] \wurzel{n} [/mm] teilen. Dann siehst Du: der Limes $= -1/2$
FRED
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