Konvergenz und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:16 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Mathegirl |
| Aufgabe | zeige, dass die Folgen konvergieren und bestimme die jeweiligen Grenzwerte!
1.) [mm] a_n:= \bruch{n+(-1)^n}{n-(-1)^n}
[/mm]
2.) [mm] b_n:= \bruch{3^{n+2}+5^{n+2}}{3^n+5^n}
[/mm]
3.) [mm] c_n:=(1-\bruch{1}{n^2})^n
[/mm]
4.) [mm] d_n:=q^n, q\in \IC, [/mm] |q|<1
5.) [mm] e_n:= \bruch{z^n}{n!}
[/mm]
6.) [mm] f_n:= \wurzel[n]{a}, a\in \IR, [/mm] a>0
7.) [mm] g_n:= \wurzel[n]{n}
[/mm]
8.) [mm] h_n:= \bruch{1}{\wurzel[n]{n!}}
[/mm]
9.) [mm] i_n:= \wurzel[n]{a^n+b^n}, a,b\ge [/mm] 0 |
1.) n ausklammern, also ist der Grenzwert 0
2.) [mm] \infty
[/mm]
3.) 0
4.) 0
5.) [mm] \infty
[/mm]
6.) [mm] \infty
[/mm]
7.) [mm] \infty
[/mm]
8.) 0
9.) [mm] \infty
[/mm]
So...diese Ergebnisse habe ich als Grenzwert raus. Ich weiß allerdings nie genau, wie ich die Konvergenz zeigen soll. Und den grenzwert ermittel ich immer, indemich beliebige Zahlen probiere, da sieht man das ja.
mein Problem ist nur, wie schreibe ich das förmlich auf??
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Mi 11.11.2009 | | Autor: | barsch |
Hallo Mathegirl,
ich will nicht auf alle Aufgabenteile eingehen. Erst einmal empfehle ich, schau' in ein Mathebuch/-skript deines Vertrauens und schlage die Definition der Konvergenz von Folgen nach (z.B. Forster, Analysis 1 - Das Buch ist zum Beispiel über die Google Buchsuche zu finden). Dann erkennst du, dass eine konvergente Folge kein Folgenglied hat, das den Wert [mm] \infty [/mm] hat.
Dann kommt die Definition der Divergenz ins Spiel. Wobei hier - so verstehe ich das, ohne alle Folgen daraufhin geprüft zu haben - die Folgen alle konvergent sind.
Aber mal zur 1. Folge. Wie kommst du darauf, dass die Folge gegen 0 konvergiert?
> 1.) n ausklammern, also ist der Grenzwert 0
> 2.) [mm]\infty[/mm]
> 3.) 0
> 4.) 0
> 5.) [mm]\infty[/mm]
> 6.) [mm]\infty[/mm]
> 7.) [mm]\infty[/mm]
> 8.) 0
> 9.) [mm]\infty[/mm]
>
> So...diese Ergebnisse habe ich als Grenzwert raus. Ich
> weiß allerdings nie genau, wie ich die Konvergenz zeigen
> soll. Und den grenzwert ermittel ich immer, indemich
> beliebige Zahlen probiere, da sieht man das ja.
Ahhh, Raten ist immer ganz schlecht.
Z.B. $ [mm] a_n:= \bruch{n+(-1)^n}{n-(-1)^n} [/mm] $
Jetzt siehst du, dass die Folge gegen 0 konvergiert. Das stimmt aber nicht. Der Kommentar mit n ausklammern, war ja schon mal gut.
Uns stört aber erst einmal das [mm] (-1)^n.
[/mm]
Das können wir aber geschickt "umgehen", indem wir uns zwei Teilfolgen "basteln". Du weißt sicher aus der VL, dass bei einer konvergenten Folge alle Teilfolgen gegen denselben Grenzwert konvergieren. Nehmen wir also
[mm] a_{2n}= \bruch{n+(-1)^{2n}}{n-(-1)^{2n}}=\bruch{n+1}{n-1}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}{a_{2n}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n+1}{n-1}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n*(1+\bruch{1}{n})}{n*(1-\bruch{1}{n})}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+\bruch{1}{n}}{1-\bruch{1}{n}}=1, [/mm] weil [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}=0
[/mm]
und
[mm] a_{2n+1}=\bruch{n+(-1)^{2n+1}}{n-(-1)^{2n+1}}=\bruch{n-1}{n+1}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}{a_{2n+1}}=...=1
[/mm]
Somit konvergiert die Folge [mm] a_n [/mm] gegen 1. Der Grenzwert ist also 1 und nicht 0.
> mein Problem ist nur, wie schreibe ich das förmlich (du meinst: formal) auf??
>
> Mathegirl
Wie gesagt, schaue bitte mal in ein Buch oder deine Unterlagen und versuche mal die Grenzwerte zu errechnen und nicht zu raten.
Suche auch mal hier im Matheraum nach Aufgaben, bei denen die Grenzwerte von Folgen berechnet wurden. Das hilft dir vielleicht beim Verständnis.
Gruß barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Mathegirl |
hmmm...okay...allrdings brauche ich bis morgen nachmittag/abend die aufgaben. kannst du wenn ich das hier bis morgen früh vorrechen vielleicht noch korrigieren?
Vielleicht kriege ich es ja noch irgendwie hin.
Grüße
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
na, du weißt doch, dass wenn du postest, meist schnell irgendjemand anbeißt und korrigiert.
Rechne also nochmal in Ruhe nach und dann hier vor und es wird sich sicher jemand finden, der zügig gegenliest ...
LG und viel Erfolg ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
schachuzipus
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Hallo mathegirl,
damit du noch ein Beispiel hast, nehme ich mal Nr.3) [mm]c_n=(1-\frac{1}{n^2})^n[/mm]
Zerlegung von [mm](1-\frac{1}{n^2})[/mm] in ein Produkt ergibt [mm](1-\frac{1}{n^2})=(1+\frac{1}{n})(1-\frac{1}{n})[/mm]
also [mm]c_n=[(1+\frac{1}{n})(1-\frac{1}{n})]^n= (1+\frac{1}{n})^n*(1-\frac{1}{n})^n[/mm]
Jetzt hat man gewonnen, denn der erste Klammerterm geht gegen e, der zweite gegen [mm]e^{-1}[/mm] (dürfte aus der Vorlesung bekannt sein). Formulierung dafür:
Es gilt [mm]limes_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n = e [/mm] und [mm]limes_{n \to \infty}(1-\frac{1}{n})^n = e^{-1}[/mm]
Nach einem der Grenzwertsätze (welcher ist es?), ergibt sich damit
[mm]limes_{n \to \infty}c_n= e*e^{-1} = 1 [/mm]
Gruß, MatheOldie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:01 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Mathegirl |
Vielen Dank! jetzt wo ich zwei Beispiele habe werde ich das hoffentlich gut hinbekommen. Ich denke, ich werde mich da irgendwie hineinfuchsen :)
mein Problem besteht wohl darin, die Folgen zu zerlegen.
Also nochmal danke und meine Ergebnisse sind hier sichtbar, sobald ich mit dem rechnen durch bin :)
Mathegirl
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okay. ich habe meine Ideen zum Grenzwert nochmal überdacht und war wohl etwas voreilig.
[mm] d_n= [/mm] 0
[mm] f_n= [/mm] 1
[mm] g_n= [/mm] 1
und für die anderen habe ich keine richtige Idee. ich dachte, Konvergenz muss ich zeigen, indem ich [mm] |x-a|<\varepsilon [/mm] zeige. Aber das ist dann wohl doch schon wieder ehr in Richtung Beweis.
Mir fällt das richtig schwer, die Konvergenz zu zeigen, muss auch sagen, das wir in der Vorlesung dazu nichts gemacht haben.
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> okay. ich habe meine Ideen zum Grenzwert nochmal überdacht
> und war wohl etwas voreilig.
>
> [mm]d_n=[/mm] 0
> [mm]f_n=[/mm] 1
> [mm]g_n=[/mm] 1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das stimmt alles!
>
> und für die anderen habe ich keine richtige Idee. ich
> dachte, Konvergenz muss ich zeigen, indem ich
> [mm]|x-a|<\varepsilon[/mm] zeige. Aber das ist dann wohl doch schon
> wieder ehr in Richtung Beweis.
>
> Mir fällt das richtig schwer, die Konvergenz zu zeigen,
> muss auch sagen, das wir in der Vorlesung dazu nichts
> gemacht haben.
Na, das ist schwer zu glauben ...
Wieso bekommt ihr dann solche Aufgaben?
Noch ein Tipp zu [mm] $b_n$, [/mm] da hattest du ursprünglich einen falschen GW.
Klammere mal in Zähler und Nenner [mm] $5^n$ [/mm] aus, kürze es weg, was folgt dann im Grenzübergang mit den Grenzwertsätzen?
Und zu [mm] $i_n$
[/mm]
Nimm o.b.d.A. an, dass $a<b$ und klammere [mm] $b^n$ [/mm] aus, ziehe es aus der Wurzel und ziehe deine Schlüsse ...
>
>
> Mathegirl
Gruß
schachuzipus
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Doch, es hieß nur: "Grenzwerte habt ihr bereits in der Schule gelernt zu berechnen" und das wars dazu. Vielleicht habe ich es in der schule auch nicht mitbekommen, das sowas gemacht wurde :( Gab zu dem Aufgabenblatt viele Beschwerden von Studenten, aber ändert eben nichts!
okay, also zu [mm] b_n: [/mm] da geht es schon los mit den problemen mit dem Ausklammern...*schäm*
bei [mm] i_n: [/mm] wäre das: [mm] \wurzel[n]{a^n}+\wurzel[n]{b^n} [/mm] und wenn ich [mm] b^n [/mm] ausklammere erhalte ich [mm] \wurzel[n]{a^n-1}
[/mm]
mit [mm] e_n [/mm] und [mm] h_n [/mm] kann ich leider gar nichts anfangen :(
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Hallo nochmal,
> Doch, es hieß nur: "Grenzwerte habt ihr bereits in der
> Schule gelernt zu berechnen" und das wars dazu. Vielleicht
> habe ich es in der schule auch nicht mitbekommen, das sowas
> gemacht wurde :( Gab zu dem Aufgabenblatt viele
> Beschwerden von Studenten, aber ändert eben nichts!
ok, das geht ja fast alles auch mit Schulmethoden:
>
> okay, also zu [mm]b_n:[/mm] da geht es schon los mit den problemen
> mit dem Ausklammern...*schäm*
na, du weißt doch, dass wir Versuche sehen wollen ...
Bedenke, dass etwa im Zäher [mm] $5^{n+2}=5^2\cdot{}5^n=25\cdot{}5^n$ [/mm] ist ...
>
> bei [mm]i_n:[/mm] wäre das: [mm]\wurzel[n]{a^n}+\wurzel[n]{b^n}[/mm]
oha, es ist [mm] $\sqrt{x+y}\neq\sqrt{x}+\sqrt{y}$
[/mm]
> und wenn ich [mm]b^n[/mm] ausklammere erhalte ich [mm]\wurzel[n]{a^n-1}[/mm]
Na dann noch ein Tipp: (aber du musst das echt mal eigenständiger machen, fange früher an, du hast do ne Woche Zeit für die Übungen)
Wenn du jetzt schleifen lässt, wirst du arge Probleme beim Aufholen des Stoffes kriegen
Also: [mm] $\sqrt[n]{a^n+b^n}=\sqrt[n]{b^n\cdot{}\left[\left(\frac{a}{b}\right)^n+1\right]}=\sqrt[n]{b^n}\cdot{}\sqrt[n]{\left(\frac{a}{b}\right)^n+1}=b\cdot{}\sqrt[n]{\left(\frac{a}{b}\right)^n+1}$
[/mm]
Was passiert hier nun für [mm] $n\to\infty$ [/mm] ?
Bedenke, dass wegen unserer Ann. $a<b$ gilt, dass [mm] $\frac{a}{b}<1$ [/mm] ist ...
> mit [mm]e_n[/mm] und [mm]h_n[/mm] kann ich leider gar nichts anfangen :(
Bei [mm] $e_n$ [/mm] überlege mal, was schneller wächst, bedenke, dass z zwar beliebig, aber fest ist!
Bei [mm] $h_n$ [/mm] kannst du dir das mal für gerades und ungerades n anschauen, die Fakultät mal ausschreiben und die Faktoren abschätzen.
Aber diese Aufgabe übersteigt m.E. das Schulniveau bei weitem ...
Nunja, du wieder ...
Gruß
schachuzipus
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[mm] b*\wurzel[n]({\bruch {a}{b})^n+1} [/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b*\wurzel[n]({\bruch {a}{b})^n+1} [/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]({\bruch {a}{b})^n+1} [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b= [/mm] 0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]({\bruch {a}{b})^n+1} [/mm] =1
0+1=1
zum Ausklammern von [mm] 5^n:
[/mm]
[mm] \bruch{3^n*3^2+5^n*5^2}{3^n+5^n}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{3^{n+2}}{5^n}+1*5^n}{\bruch{3^n}{5^2}+1}
[/mm]
= [mm] \bruch{25}{1}= [/mm] 25
hoffe das stimmt so?
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Hallo nochmal,
> [mm]b*\wurzel[n]({\bruch {a}{b})^n+1}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b*\wurzel[n]({\bruch {a}{b})^n+1}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b[/mm] +
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]({\bruch {a}{b})^n+1}[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b=[/mm] 0
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]({\bruch {a}{b})^n+1}[/mm]
> =1
> 0+1=1
Das ist gelinde gesagt sehr kraus aufgeschrieben, von daher kann ich die Richtigkeit deines Tuns nun schwerlich beurteilen:
Der Wurzelausdruck nach dem Ausklammern, also [mm] $\sqrt[n]{\left(\frac{a}{b}\right)^n+1} [/mm] \ \ [mm] \leftarrow\text{klick} \ \ $ stebt jedenfalls für $n\to\infty$ gegen $0+1=1$
Die Gesamtfolge also gegen $b\cdot{}1=b$
> zum Ausklammern von [/mm] [mm]5^n:[/mm]
> [mm]\bruch{3^n*3^2+5^n*5^2}{3^n+5^n}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\bruch{3^{n+2}}{5^n}+1*5^n}{\bruch{3^n}{5^2}+1}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da ist im Zähler die [mm] $5^n$ [/mm] am Ende zuviel ...
Nach dem ersten Ausdruck: [mm] $\frac{5^n\cdot{}\left[9\cdot{}\left(\frac{3}{5}\right)^n+1\right]}{5^n\cdot{}\left[\left(\frac{3}{5}\right)^n+1\right]}$
[/mm]
>
> = [mm]\bruch{25}{1}=[/mm] 25
Das stimmt vom Ergebnis, aber das "=" ist doch grottenfalsch, was du meinst, ist [mm] $...\rightarrow [/mm] 25$ für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
>
> hoffe das stimmt so?
In etwa, man muss sich aber so einiges zusammenreimen, gewöhne dir an, sauber und sorgfältig aufzuschreiben, das erspart dir so manche empfindliche und v.a. vermeidbare Punktabzüge in Klausuren und Übungen ...
LG
schachuzipus
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also darf ich generell nie schreiben [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}...=.. [/mm] sondern immer [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}...\to [/mm] .. ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Mi 11.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast doch nirgends lim geschrieben? nur die Brüche und am Ende dann ein = und den GW.
Gruss leduart
wenn du [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n=a [/mm] schreibst ist das = richtig, kein Pfeil .
Gruss leduart
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