Konvergenz und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 Sa 29.10.2011 | | Autor: | Shaghagi |
| Aufgabe | | [mm] \wurzel{n}*(\wurzel{n+1}-\wurzel{n}) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe gerade das zweite Übungsblatt in der Analysis bekommen und habe Probleme mit der oberen Aufgabe:
Lösungsvorschlag:
Mit dem Taschenrechner verschiedene Zahlenwerte ausprobiert und festgestellt, dass die Folge gegen 0 geht. (Geht das auch anders? Ohne vorher den Grenzwert zu wissen?)
Also [mm] \varepsilon>0 [/mm] mit [mm] z\inN [/mm] und n>z gilt: [mm] |an-0|<\varepsilon
[/mm]
Und so umgeformt:
[mm] |\wurzel{n}*(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})-0|<\varepsilon
[/mm]
[mm] |\wurzel{n}*\wurzel{n+1}-n|<\varepsilon [/mm] (alles quadrieren)
[mm] |n*(n+1)-n²|<\varepsilon^2
[/mm]
[mm] |n|<\varepsilon^2
[/mm]
[mm] |\wurzel{n}|<\varepsilon
[/mm]
Stimmt diese Umformung? Kann mann nun sagen, dass für alle [mm] n>\wurzel{n} [/mm] die Folgenglieder in die Epsilonumgebung eintauchen?
Vielen Dank
Lg Michi
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Hallo Michi / Shaghagi, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
so ganz verstehe ich noch nicht, was Du da tust.
> [mm]\wurzel{n}*(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})[/mm]
>
> Hallo,
> ich habe gerade das zweite Übungsblatt in der Analysis
> bekommen und habe Probleme mit der oberen Aufgabe:
Das ist noch keine Aufgabe. 
Ich nehme an, Du sollst den Grenzwert des o.g. Ausdrucks für [mm] n\to\infty [/mm] bestimmen, oder?
> Lösungsvorschlag:
> Mit dem Taschenrechner verschiedene Zahlenwerte
> ausprobiert und festgestellt, dass die Folge gegen 0 geht.
Auf meinem Taschenrechner bekomme ich ein ganz anderes Ergebnis.
> (Geht das auch anders? Ohne vorher den Grenzwert zu
> wissen?)
Ja, muss es sogar.
> Also [mm]\varepsilon>0[/mm] mit [mm]z\inN[/mm] und n>z gilt:
> [mm]|an-0|<\varepsilon[/mm]
Da stand [mm] z\in\IN, [/mm] Du hast nur den Backslash vor/in \IN vergessen.
Platt gesagt: ab einer gewissen Größe soll also [mm] a_n<\varepsilon [/mm] sein. Den Term -0 kannst Du Dir dabei schenken, und es ist auch leicht nachzuweisen, dass alle [mm] a_n [/mm] positiv sind, so dass die Betragsstriche auch wegfallen können.
> Und so umgeformt:
>
> [mm]|\wurzel{n}*(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})-0|<\varepsilon[/mm]
> [mm]|\wurzel{n}*\wurzel{n+1}-n|<\varepsilon[/mm] (alles
> quadrieren)
Quadrieren ist i.a. keine Äquivalenzumformung. Hier ist der Term in den Betragsstrichen aber positiv, und [mm] \varepsilon [/mm] kannst Du Dir positiv definieren, also kein Problem.
Dann wäre es aber praktischer, das einzelne n noch nach rechts zu holen.
> [mm]|n*(n+1)-n²|<\varepsilon^2[/mm]
Igitt. Wie hast Du das denn quadriert? Hier muss doch eine binomische Formel beachtet werden.
> [mm]|n|<\varepsilon^2[/mm]
Auch diese Umformung ist mir vollkommen unverständlich. Wo ist das restliche Gemüse denn hin?
> [mm]|\wurzel{n}|<\varepsilon[/mm]
>
> Stimmt diese Umformung?
Definitiv nein.
> Kann mann nun sagen, dass für alle
> [mm]n>\wurzel{n}[/mm] die Folgenglieder in die Epsilonumgebung
> eintauchen?
Woraus sollte das denn folgen, selbst wenn Deine Rechnung richtig wäre? Es würde nur folgen, dass die Annahme falsch ist, weil man doch entgegen der Voraussetzung dann sagen könnte, dass ab einem gewissen N jedes n>N größer als [mm] \varepsilon [/mm] wäre.
Es ist besser, Du verwendest folgende Umformung:
[mm] \wurzel{n}(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})=\wurzel{n}*\bruch{(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})\blue{(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}}{\blue{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}}=\bruch{\wurzel{n}(n+1-n)}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}=\bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n}}*\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+\wurzel{1}}
[/mm]
So, jetzt kannst Du den linken Bruch streichen und im rechten mal [mm] n\to\infty [/mm] laufen lassen, dann bekommst Du das gleiche heraus wie mein Taschenrechner.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:50 Sa 29.10.2011 | | Autor: | Shaghagi |
Hallo reverend,
vielen Dank für deine Antwort.
Aus deiner Termumformung geht hervor, dass die Folge gegen 1/2 konvergiert. Stimmt das? Oder ist mein Taschenrechner wieder kaputt .
Und nun muss ich die Konvergenz gegen 1/2 beweisen, indem ich den Epsilon Beweis führe?
Vielen Dank Michi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Sa 29.10.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Michi,
> Aus deiner Termumformung geht hervor, dass die Folge gegen
> 1/2 konvergiert. Stimmt das? Oder ist mein Taschenrechner
> wieder kaputt.
Na, jetzt kannst Du den Taschenrechner ja durch Kopfrechnen überprüfen. Er scheint gut zu funktionieren.
> Und nun muss ich die Konvergenz gegen 1/2 beweisen, indem
> ich den Epsilon Beweis führe?
Nicht doch. Man muss es ja nicht übertreiben. So eine Übungsaufgabe soll einem ja nicht die ganze Freizeit nehmen.
Grüße
reverend
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Ja, die [mm] \bruch{1}{2} [/mm] stimmen.
Genau, jetzt wendest du:
[mm] |a_{n}-\bruch{1}{2}|<\epsilon [/mm]
um ein [mm] n_{0} [/mm] zu finden, für das deine Folge im Epsilon Bereich liegt.
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