Konvergenz und Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:29 Fr 25.11.2011 | | Autor: | Mathe-Lily |
| Aufgabe | Untersuchen Sie auf Konvergenz:
a) [mm] a_{n}=\wurzel[n]{n}
[/mm]
b) [mm] a_{n}=(1-1/n^{2})^{n} [/mm] |
Hallo!
Bei der b) habe ich eine Lösung, weiß aber nicht, ob das so gut ist:
Meine Idee ist über die Bernoullische Ungleichung (für n [mm] \in \IN, [/mm] a [mm] \in \IR [/mm] mit a [mm] \ge [/mm] -1 gilt: [mm] (1+a)^{n} \ge [/mm] 1+n*a ) und die Cauchyfolgen-Definition (Eine Folge [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] heißt Cauchyfolge, wenn gilt: Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gibt es ein N [mm] \in \IR, [/mm] so dass [mm] |a_{n} [/mm] - [mm] a_{m}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n,m > N) zu gehen.
Zuerst habe ich bewiesen, dass man die Bernoullische Ungleichung für diese Folge benutzen kann, dh. dass [mm] (-1/n^{2}) \ge [/mm] -1 ist.
Induktions-Anfang: sei n=1 -> Beh. stimmt
Induktions-Voraussetzung: Beh. gilt für n
Induktions-Schritt: zz.: Beh. gilt für n+1
Bew.: [mm] -1/(n+1)^{2}=-1/(n^{2}+2n+1), [/mm] da [mm] n^{2}+2n+1 \ge n^{2} [/mm] ist (wegen n [mm] \in \IN), [/mm] ist [mm] 1/(n^{2}+2n+1) \le 1/n^{2} [/mm] -> [mm] -1/(n^{2}+2n+1) \ge -1/n^{2}, [/mm] was laut IV [mm] \ge [/mm] -1 ist.
Damit wäre dies bewiesen und dann kommt die Cauchyfolge ins Spiel, denn wenn man beweisen kann, dass die Folge eine Cauchyfolge ist, muss sie doch auch konvergent sein, oder?
Wir nehmen oBdA an, dass n [mm] \ge [/mm] m ist.
[mm] |a_{n}-a_{m}| [/mm] = [mm] |(1-1/n^{2})^{n}-(1-1/m^{2})^{m}| [/mm]
[mm] \ge ||(1-1/n^{2})^{n}|-|(1-1/m^{2})^{m}|| [/mm] (wg. ||a|-|b|| [mm] \le [/mm] |a-b|)
[mm] \ge [/mm] ||1-1/n|-|1-1/m|| (wg. Bernoullischer Ungleichung)
= |1-1/n-1-1/m| (wg. 1-1/n [mm] \ge [/mm] 0)
[mm] \ge [/mm] |-1/m-1/m| (wg. n [mm] \ge [/mm] m)
= |-2/m|
=2/m
Sei 2/m < [mm] \varepsilon [/mm] -> m > [mm] 2/\varepsilon [/mm]
Sei m=N, dann existiert das gesuchte N in Abhängigkeit von [mm] \varepsilon.
[/mm]
Also ist die Folge eine Cauchyfolge, also auch konvergent.
Grenzwertberechnung:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ((1-1/n^{2})^{n}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1-1/n^{2}) [/mm] * ... * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1-1/n^{2}) [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1-1/n^{2}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1 - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1/n^{2}) [/mm] = 1 - 0 = 1
oben einsetzen: 1*...*1=1 ist der Grenzwert.
Kann man das so machen? Wär toll, wenn da jemand mal drüber schauen könnte!
Und dann zur a)
Ehrlich gesagt hab ich da gar keine Ahnung.
Meine Idee ist, dass [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] = [mm] n^{1/n} [/mm] ist, und da 1/n gegen 0 strebt, und alles hoch 0 =1 ist, müsste [mm] a_{n} [/mm] gegen 1 streben.
Stimmt das? Und wie könnte ich das beweisen?
Oder wenn das falsch ist, kann mir dann jemand einen Ansatz geben, wie ich da richtig ran gehe?
Das wäre toll!
Schonmal Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:57 Fr 25.11.2011 | | Autor: | hippias |
> Untersuchen Sie auf Konvergenz:
> a) [mm]a_{n}=\wurzel[n]{n}[/mm]
> b) [mm]a_{n}=(1-1/n^{2})^{n}[/mm]
> Hallo!
> Bei der b) habe ich eine Lösung, weiß aber nicht, ob das
> so gut ist:
> Meine Idee ist über die Bernoullische Ungleichung (für n
> [mm]\in \IN,[/mm] a [mm]\in \IR[/mm] mit a [mm]\ge[/mm] -1 gilt: [mm](1+a)^{n} \ge[/mm] 1+n*a )
Das ist gut.
> und die Cauchyfolgen-Definition (Eine Folge [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm]
> heißt Cauchyfolge, wenn gilt: Zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0
> gibt es ein N [mm]\in \IR,[/mm] so dass [mm]|a_{n}[/mm] - [mm]a_{m}|[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm] für alle n,m > N) zu gehen.
Dieses Kriterium ist hier unheimlich kompliziert; das Cauchy-Kriterium ist meist nur fuer "theoretische" Fragestellungen nuetzlich.
> Zuerst habe ich bewiesen, dass man die Bernoullische
> Ungleichung für diese Folge benutzen kann, dh. dass
> [mm](-1/n^{2}) \ge[/mm] -1 ist.
> Induktions-Anfang: sei n=1 -> Beh. stimmt
> Induktions-Voraussetzung: Beh. gilt für n
> Induktions-Schritt: zz.: Beh. gilt für n+1
> Bew.: [mm]-1/(n+1)^{2}=-1/(n^{2}+2n+1),[/mm] da [mm]n^{2}+2n+1 \ge n^{2}[/mm]
> ist (wegen n [mm]\in \IN),[/mm] ist [mm]1/(n^{2}+2n+1) \le 1/n^{2}[/mm] ->
> [mm]-1/(n^{2}+2n+1) \ge -1/n^{2},[/mm] was laut IV [mm]\ge[/mm] -1 ist.
> Damit wäre dies bewiesen und dann kommt die Cauchyfolge
> ins Spiel, denn wenn man beweisen kann, dass die Folge eine
> Cauchyfolge ist, muss sie doch auch konvergent sein, oder?
Klar.
> Wir nehmen oBdA an, dass n [mm]\ge[/mm] m ist.
> [mm]|a_{n}-a_{m}|[/mm] = [mm]|(1-1/n^{2})^{n}-(1-1/m^{2})^{m}|[/mm]
> [mm]\ge ||(1-1/n^{2})^{n}|-|(1-1/m^{2})^{m}||[/mm] (wg. ||a|-|b||
> [mm]\le[/mm] |a-b|)
> [mm]\ge[/mm] ||1-1/n|-|1-1/m|| (wg. Bernoullischer Ungleichung)
> = |1-1/n-1-1/m| (wg. 1-1/n [mm]\ge[/mm] 0)
> [mm]\ge[/mm] |-1/m-1/m| (wg. n [mm]\ge[/mm] m)
> = |-2/m|
> =2/m
> Sei 2/m < [mm]\varepsilon[/mm] -> m > [mm]2/\varepsilon[/mm]
> Sei m=N, dann existiert das gesuchte N in Abhängigkeit von
> [mm]\varepsilon.[/mm]
> Also ist die Folge eine Cauchyfolge, also auch
> konvergent.
>
> Grenzwertberechnung:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} ((1-1/n^{2})^{n})[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1-1/n^{2})[/mm] * ... *
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1-1/n^{2})[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1-1/n^{2})[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] 1 - [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1/n^{2})[/mm]
> = 1 - 0 = 1
> oben einsetzen: 1*...*1=1 ist der Grenzwert.
>
> Kann man das so machen? Wär toll, wenn da jemand mal
> drüber schauen könnte!
Der Grenzwert ist richtig, aber Deine Argumentation ist falsch: Du kannst das hoch $n$ auf keinen Fall mit der Grenzwertbildung vertauschen; auch wenn Du vorher die Konvergenz nachgewiesen hast. Stattdessen schaetze die Folge nach unten mit Bernoulli ab und nach oben durch eine passende Zahl so, dass die untere Abschaetzung gegen diese Zahl konvergiert. Dann kannst Du Dir auch das Cauchy-Kriterium ersparen.
>
> Und dann zur a)
> Ehrlich gesagt hab ich da gar keine Ahnung.
> Meine Idee ist, dass [mm]\wurzel[n]{n}[/mm] = [mm]n^{1/n}[/mm] ist, und da
> 1/n gegen 0 strebt, und alles hoch 0 =1 ist, müsste [mm]a_{n}[/mm]
> gegen 1 streben.
> Stimmt das? Und wie könnte ich das beweisen?
Der Grenzwert ist richtig. Als erstes wuerde ich die Folge auf Monotonie hin untersuchen.
> Oder wenn das falsch ist, kann mir dann jemand einen
> Ansatz geben, wie ich da richtig ran gehe?
> Das wäre toll!
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> Schonmal Danke!
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Danke erstmal! 
> Der Grenzwert ist richtig, aber Deine Argumentation ist
> falsch: Du kannst das hoch [mm]n[/mm] auf keinen Fall mit der
> Grenzwertbildung vertauschen; auch wenn Du vorher die
> Konvergenz nachgewiesen hast. Stattdessen schaetze die
> Folge nach unten mit Bernoulli ab und nach oben durch eine
> passende Zahl so, dass die untere Abschaetzung gegen diese
> Zahl konvergiert. Dann kannst Du Dir auch das
> Cauchy-Kriterium ersparen.
Kann ich also einfach zeigen (wie ich das ja schon gemacht habe), dass [mm] a_{n} [/mm] wegen Bernoulli [mm] \ge b_{n}=1- [/mm] 1/n ist und dann sagen, dass [mm] b_{n} [/mm] konvergiert:
[mm] |b_{n}-b| [/mm] = |1-1/n -1| = |-1/n| = 1/n -> 0
dh, 1-1/n konvergiert zum Grenzwert 1
?
Aber warum kann ich dann sagen, dass [mm] a_{n} [/mm] auch gegen 1 konvergiert?
> >
> > Und dann zur a)
> Der Grenzwert ist richtig. Als erstes wuerde ich die Folge
> auf Monotonie hin untersuchen.
Aber die Folge ist gar nicht monoton:
[mm] a_{1}=1, a_{2}\approx [/mm] 1.41, [mm] a_{3}\approx [/mm] 1.44, [mm] a_{4}\approx [/mm] 1.41, ab da geht es dann immer weiter nach unten... aber praktisch erst ab n=3 monoton, oder?
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Hallo Lily,
zu b):
wie wärs mit [mm] 1-\bruch{1}{n}<\left(1-\bruch{1}{n^2}\right)^n<1-\bruch{1}{n^2} [/mm] ?
zu a):
Dann ist die Folge eben erst ab n=3 monoton. Das ist doch kein Problem. Und natürlich: richtig beobachtet!
Hier empfiehlt sich übrigens der Ansatz [mm] \wurzel[n]{n}=1+\alpha_n.
[/mm]
Grüße
reverend
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Danke
> zu b):
>
> wie wärs mit
> [mm]1-\bruch{1}{n}<\left(1-\bruch{1}{n^2}\right)^n<1-\bruch{1}{n^2}[/mm]
> ?
hm... das stimmt natürlich. aber warum konvergiert a zu 1 dann, wenn [mm] b_{n} \le a_{n} \le c_{n} [/mm] und b und c zu 1 konvergieren? ist das eine regel, die ich nicht kenne/im kopf habe oder stehe ich insgesamt gerade auf dem schlauch?
>
> zu a):
>
> Dann ist die Folge eben erst ab n=3 monoton. Das ist doch
> kein Problem.
naja, wenn ich über monotonie und beschränktheit konvergenz nachweisen will, doch schon, oder nicht?
>
> Hier empfiehlt sich übrigens der Ansatz
> [mm]\wurzel[n]{n}=1+\alpha_n.[/mm]
du meinst, dass ich praktisch nachweise, dass [mm] a_{n}=1+b_{n} [/mm] wobei [mm] b_{n} [/mm] nach 0 konvergiert und daher [mm] a_{n} [/mm] nach 1 konvergiert?
Aber was ist dann dieses [mm] b_{n}? [/mm] Klar, in den Beispielen dann 0.41..., 0.44..., ... aber wie schreibe ich das formal auf?
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Hallo Mathe-Lily,
> Danke
>
> > zu b):
> >
> > wie wärs mit
> >
> [mm]1-\bruch{1}{n}<\left(1-\bruch{1}{n^2}\right)^n<1-\bruch{1}{n^2}[/mm]
> > ?
> hm... das stimmt natürlich. aber warum konvergiert a zu 1
> dann, wenn [mm]b_{n} \le a_{n} \le c_{n}[/mm] und b und c zu 1
> konvergieren? ist das eine regel, die ich nicht kenne/im
> kopf habe oder stehe ich insgesamt gerade auf dem
> schlauch?
Das ist das Sandwichlemma oder Einschnürungslemma (-kriterium)
> >
> > zu a):
> >
> > Dann ist die Folge eben erst ab n=3 monoton. Das ist doch
> > kein Problem.
> naja, wenn ich über monotonie und beschränktheit
> konvergenz nachweisen will, doch schon, oder nicht?
Nein, das ist egal, für die Grenzbetrachtung reicht es doch, das Verhalten ab einem gewissen [mm] $n_0$ [/mm] zu betrachten. Wenn ab diesem [mm] $n_0$ [/mm] die Folge monoton und beschränkt ist, dann hast du Konvergenz.
Du kannst immer endlich viele Glieder "vorne" wegnehmen, am Konvergenzverhalten der Folge ändert das nix.
Schaue dir dazu nochmal genau die [mm] $\varepsilon$-Definition [/mm] an...
> >
> > Hier empfiehlt sich übrigens der Ansatz
> > [mm]\wurzel[n]{n}=1+\alpha_n.[/mm]
> du meinst, dass ich praktisch nachweise, dass
> [mm]a_{n}=1+b_{n}[/mm] wobei [mm]b_{n}[/mm] nach 0 konvergiert und daher
> [mm]a_{n}[/mm] nach 1 konvergiert?
Hier geht es darum, [mm] $\sqrt[n]{n}=1+\alpha_n$ [/mm] nach $n$ aufzulösen, also
[mm] $n=(1+\alpha_n)^n$ [/mm] zu schreiben und den binomischen Lehrsatz anzuwenden.
Damit bekommst du eine einfache Abschätzung: $n>...$, die dir fast direkt die Konvergenz von [mm] $\sqrt[n]{n}$ [/mm] gegen 1 liefert.
> Aber was ist dann dieses [mm]b_{n}?[/mm] Klar, in den Beispielen
> dann 0.41..., 0.44..., ... aber wie schreibe ich das formal
> auf?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 16:57 So 27.11.2011 | | Autor: | Mathe-Lily |
AH! jetzt gehen einige lichter auf! ^^
das mit dem [mm] \varepsilon [/mm] dachte ich, dass da nur irgendwann alle im [mm] \varepsilon-schlauch [/mm] liegen sollen, nicht dass auch erst ab da die monotonie etc gelten muss! das ist natürlich praktisch
> Hier geht es darum, [mm]\sqrt[n]{n}=1+\alpha_n[/mm] nach [mm]n[/mm]
> aufzulösen, also
>
> [mm]n=(1+\alpha_n)^n[/mm] zu schreiben und den binomischen Lehrsatz
> anzuwenden.
>
> Damit bekommst du eine einfache Abschätzung: [mm]n>...[/mm], die
> dir fast direkt die Konvergenz von [mm]\sqrt[n]{n}[/mm] gegen 1
> liefert.
hm... hier komme ich nicht drauf...
also ich hab dann ja dastehen:
n= [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (\alpha_{n})^{n-k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{n!}{(n-k)! k!} (\alpha_{n})^{n-k}
[/mm]
und dann müsste ich ja die rechte seite so abschätzen, dass sie kleiner als n wird...
ich steh gerade auf dem schlauch oder so... soll ich da die summe irgendwie auseinander ziehen oder wie kann ich da eine gute abschätzunge machen?
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