Konvergenz und Surjektivität < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Mi 23.01.2013 | | Autor: | acid |
| Aufgabe | Sei f : [mm] \IR \to \IR [/mm] mit [mm] f(x):=−x^5 +4x^2 [/mm] + [mm] \sin(x) [/mm] für x [mm] \in [/mm] R. Zeigen Sie, dass gilt
f(x) [mm] \to +\infty [/mm] für x [mm] \to −\infty [/mm] und f(x) [mm] \to [/mm] − [mm] \infty [/mm] für x [mm] \to +\infty. [/mm] Zeigen Sie weiter, dass f surjektiv ist. |
Hallo,
ich habe versucht, [mm] -x^5 [/mm] auszuklammern und dann die Sinus-Reihe einzusetzen:
f(x) = [mm] -x^5 \left( 1 - \frac{4}{x^3} - \frac{x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...}{x^5}\right) [/mm] = [mm] -x^5 \left( 1 - \frac{4}{x^3} - \frac{1}{x^4} + \frac{1}{3!x^2}-\frac{1}{5!}+\frac{x^2}{7!}-...\right)
[/mm]
Bis zum [mm] \frac{1}{5!} [/mm] kann man ja einfach x gegen [mm] \pm \infty [/mm] gehen lassen, womit dann alles gegen [mm] \mp \infty [/mm] gehen würde. Aber dann kommen ja noch die restlichen Terme. Muss ich zeigen, dass [mm] \frac{x^{n-5}}{n!} [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] gegen 0 geht?
Zum zweiten Teil: Mit den Grenzwerten von oben müssen ja nach dem Zwischenwertsatz alle Werte von [mm] \IR [/mm] angenommen werden. Reicht das als Begründung? Oder wie müsste ich das dann aufschreiben?
Vielen Dank im Voraus und viele Grüße
acid
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 Mi 23.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei f : [mm]\IR \to \IR[/mm] mit [mm]f(x):=−x^5 +4x^2[/mm] + [mm]\sin(x)[/mm] für x
> [mm]\in[/mm] R. Zeigen Sie, dass gilt
> f(x) [mm]\to +\infty[/mm] für x [mm]\to −\infty[/mm] und f(x) [mm]\to[/mm] −
> [mm]\infty[/mm] für x [mm]\to +\infty.[/mm] Zeigen Sie weiter, dass f
> surjektiv ist.
> Hallo,
>
> ich habe versucht, [mm]-x^5[/mm] auszuklammern und dann die
> Sinus-Reihe einzusetzen:
denk' gar nicht so kompliziert; die Sinus-Reihe brauchst Du nicht. Bedenke
eher, dass der Sinus betragsmäßig beschränkt ist. (Das werdet ihr doch
hoffentlich bewiesen haben und/oder benutzen dürfen?) Das Vorklammern
von [mm] $x^5$ [/mm] ist sehr sinnvoll, denn wenn man "formal" einfach mal schreibt:
[mm] $$\lim_{x \to \red{+\,\infty}} \Big(x^5*(1+\tfrac{4}{x^3}+\tfrac{\sin(x)}{x^5})\Big)$$
[/mm]
dann sieht man, was mit dem zweiten Faktor los ist bei $x [mm] \to \infty\,,$ [/mm] und welche
Auswirkungen das insgesamt hat.
Wenn Du dort [mm] $\red{+\,\infty}$ [/mm] durch [mm] $-\;\infty$ [/mm] ersetzt, ändert sich auch nicht viel. Wenn Du das
ganze formal aufschreiben willst: Um [mm] $\lim_{x \to \infty}f(x)=\infty$ [/mm] zu zeigen, hast Du einfach
zu zeigen: Zu jedem $C > [mm] 0\,$ [/mm] gibt es ein [mm] $x_C$ [/mm] so, dass $f(x) [mm] \ge [/mm] C$ für alle $x [mm] \ge x_C\,.$ [/mm]
Analoges für [mm] $\lim_{x \to \,-\,\infty}f(x)=\,-\,\infty\,.$
[/mm]
Zur Surjektivität: Begründe, dass [mm] $f\,$ [/mm] stetig ist. Nun weißt Du ja, dass $f(x) [mm] \to \pm \infty$ [/mm]
bei $x [mm] \to \pm \infty\,$ [/mm] aus dem vorangegangenen Aufgabenteil.
Seien o.E. [mm] $C_1 \in \IR$ [/mm] und [mm] $C_2 \in \IR$ [/mm] mit [mm] $C_1 [/mm] < [mm] C_2\,.$ [/mm] Es gibt sicher ein [mm] $x_1$ [/mm] mit [mm] $f(x_1) [/mm] < [mm] C_1$ [/mm] (warum?)
und auch ein [mm] $x_2$ [/mm] mit [mm] $f(x_2) [/mm] > [mm] C_2\,$ [/mm] (warum?). Es ist [mm] $[C_1,C_2] \subseteq [f(x_1),f(x_2)]\,,$ [/mm] und was gilt nun
nach dem Zwischenwertsatz? Wie kann man damit nun die Surjektivität von [mm] $f\,$ [/mm] begründen?
P.S: Du hattest [mm] "$-\;x^5$" [/mm] vorgeklammert und geschrieben, dass dann
> f(x) = $ [mm] -x^5 \left( 1 - \frac{4}{x^3} - \frac{x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...}{x^5}\right) [/mm] $
Aber dann wäre doch Deine Funktion
[mm] $$f(x)=\;\red{-}\;x^5+\ldots$$
[/mm]
Aber diese Funktion erfüllt nicht die genannten Behauptungen, also
beachte:
[mm] $$x^5+...=\;-\;x^5*(\;\red{-}\;1\;-\;...)$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Mi 23.01.2013 | | Autor: | acid |
Oh, bei der Aufgabenstellung ist ein bisschen etwas schief gegangen, sorry! Eigentlich war die Funktion auch [mm]f(x) = -x^5+4x^2+\sin(x)[/mm] und die geht für [mm]x \to \infty[/mm] gegen [mm] -\infty. [/mm] Damit müssten die Werte dann auch stimmen.
Das habe ich dann soweit verstanden, vielen Dank!
> Seien o.E. [mm]C_1 \in \IR[/mm] und [mm]C_2 \in \IR[/mm] mit [mm]C_1 < C_2\,.[/mm] Es
> gibt sicher ein [mm]x_1[/mm] mit [mm]f(x_1) < C_1[/mm] (warum?)
Weil [mm]f(x)[/mm] nicht (nach unten) beschränkt ist und es damit dann immer ein kleineres [mm] f(x_1) [/mm] in [mm] \IR [/mm] gibt?
> und auch ein [mm]x_2[/mm] mit [mm]f(x_2) > C_2\,[/mm] (warum?).
Weil [mm]f[/mm] nicht nach oben beschränkt ist?
> Es ist [mm][C_1,C_2] \subseteq [f(x_1),f(x_2)]\,,[/mm] und was gilt nun
> nach dem Zwischenwertsatz? Wie kann man damit nun die
> Surjektivität von [mm]f\,[/mm] begründen?
Wegen der Stetigkeit werden alle Werte zwischen [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] angenommen? Und weil man immer wieder ein größeres [mm] C_2 [/mm] bzw. kleineres [mm] C_1 [/mm] findet, gilt das für alle [mm] \IR [/mm] und damit ist die Funktion surjektiv?
Viele Grüße
acid
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Mi 23.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Oh, bei der Aufgabenstellung ist ein bisschen etwas schief
> gegangen, sorry! Eigentlich war die Funktion auch [mm]f(x) = -x^5+4x^2+\sin(x)[/mm]
> und die geht für [mm]x \to \infty[/mm] gegen [mm]-\infty.[/mm] Damit
> müssten die Werte dann auch stimmen.
okay - das ist dann im Folgenden auch zu beachten.
> Das habe ich dann soweit verstanden, vielen Dank!
>
> > Seien o.E. [mm]C_1 \in \IR[/mm] und [mm]C_2 \in \IR[/mm] mit [mm]C_1 < C_2\,.[/mm] Es
> > gibt sicher ein [mm]x_1[/mm] mit [mm]f(x_1) < C_1[/mm] (warum?)
>
> Weil [mm]f(x)[/mm] nicht (nach unten) beschränkt ist und es damit
> dann immer ein kleineres [mm]f(x_1)[/mm] in [mm]\IR[/mm] gibt?
Ja, aber das ist unglücklich formuliert: Weil [mm] $f\,$ [/mm] (das ist eine bessere
Sprechweise wie [mm] $f(x)\,,$ [/mm] Du könntest auch sagen "Weil die Funktion [mm] $f(x)\,$...") [/mm]
nicht nach unten beschränkt ist (das folgt aus $f(x) [mm] \to -\infty$ [/mm] bei $x [mm] \to \infty$ [/mm] - wie
gesagt, beachte, dass Du da Korrekturen vorgenommen hattest) gibt es
sicher ein [mm] $x_1\,$ [/mm] mit [mm] $f(x_1) [/mm] < [mm] C_1\,.$ [/mm] Kürzer gesagt: [mm] $f\,$ [/mm] nimmt sicher einen Wert $< [mm] C_1\,$ [/mm] an.
> > und auch ein [mm]x_2[/mm] mit [mm]f(x_2) > C_2\,[/mm] (warum?).
> Weil [mm]f[/mm] nicht nach oben beschränkt ist?
Genau!
> > Es ist [mm][C_1,C_2] \subseteq [f(x_1),f(x_2)]\,,[/mm] und was gilt
> nun
> > nach dem Zwischenwertsatz? Wie kann man damit nun die
> > Surjektivität von [mm]f\,[/mm] begründen?
>
> Wegen der Stetigkeit werden alle Werte zwischen [mm]C_1[/mm] und [mm]C_2[/mm]
> angenommen?
Ja. Du kannst auch sagen: Es muss [mm] $[C_1,C_2] \subseteq f(\IR)$ [/mm] sein. (Es ist [mm] $f(\IR)=\text{Bild}(f)=\{f(x): x \in \IR\}\,.$)
[/mm]
> Und weil man immer wieder ein größeres [mm]C_2[/mm]
> bzw. kleineres [mm]C_1[/mm] findet, gilt das für alle [mm]\IR[/mm] und damit
> ist die Funktion surjektiv?
Das würde ich auch akzeptieren - das, was Du meinst, ist doch, dass es für
alle $y [mm] \in \IR$ [/mm] sicher ein Intervall [mm] $[C_1,C_2]$ [/mm] mit $y [mm] \in [C_1,C_2]$ [/mm] gibt.
Denn das ist einfach: [mm] $C_1:=y$ [/mm] und [mm] $C_2:=y$ [/mm] würden's schon tun, aber Du
könntest auch [mm] $C_1:=y-1$ [/mm] und [mm] $C_2:=y+2$ [/mm] setzen etc. pp.
Was ich aber eigentlich damit - kurz - sagen wollte: Man kann leicht
zeigen, dass
[mm] $$\IR=\bigcup_{a,b \in \IR} [a,b]\,.$$
[/mm]
(Dabei kann man schreiben [mm] $\bigcup_{a,b \in \IR} [a,b]=\{r:\;\; \exists a,b \in \IR \text{ mit }r \in [a,b]\}\,.$)
[/mm]
Anders gesagt: [mm] $\IR$ [/mm] ist die Vereinigung über alle abgeschlossenen Intervalle aus [mm] $\IR\,.$ [/mm]
(Beachte, dass auch [mm] $\emptyset$ [/mm] ein abgeschlossenes Intervall ist: [mm] $\emptyset=[a,b]$ [/mm] gilt genau für $a > [mm] b\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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