Konvergenz und absolute Konver < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Fr 07.12.2007 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Untersuche [mm] \summe_{n\ge1}a_n [/mm] auf Konvergenz und absolute Konvergenz, wobei [mm] a_n [/mm] definiert sei als:
(a) [mm] \bruch{1}{n^2}+\bruch{(-1)^n}{n}
[/mm]
(b) [mm] \bruch{4n^2+2n-3}{3n^4-n^3+7}
[/mm]
(c) [mm] \bruch{n^n}{4^n*n!} [/mm] |
1.)Hab mir sagen lassen, dass bei Aufgaben in denen [mm] (-1)^n [/mm] vorkommt das Leibniz-Kriterium hilfreich sein soll. weiter ist für Brüch das Majoranten-Kriterium, bei Fakultäten das Quotienten-Kriterium und bei n-ten Potenzen das Wurzelkriterium angemessen.
Leider weis ich nicht genau, wie ich damit jetzt umgehe bzw. wie ich die Aufgabe richtig angehe.
2.)Muss ich im Falle einer Konvergenz noch den Grenzwert berechnen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 So 09.12.2007 | | Autor: | SpoOny |
> Untersuche [mm]\summe_{n\ge1}a_n[/mm] auf Konvergenz und absolute
> Konvergenz, wobei [mm]a_n[/mm] definiert sei als:
> (a) [mm]\bruch{1}{n^2}+\bruch{(-1)^n}{n}[/mm]
> (b) [mm]\bruch{4n^2+2n-3}{3n^4-n^3+7}[/mm]
> (c) [mm]\bruch{n^n}{4^n*n!}[/mm]
a) [mm]\bruch{1}{n^2}+\bruch{(-1)^n}{n}[/mm]
da hab ich [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n^2} [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^n}{n} [/mm] betrachtet
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n^2} [/mm] ist konvergent nach Rieman-Zeta oder so??? aber nicht absolut konvergent nach Wurzelkriterium
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^n}{n} [/mm] ist nach Leibnitz konvergent.
dann kann ich beide wieder zusammen betrachten und sagen konvergent, aber nicht absolut konvergent.... richtig??
b) hier verzweifel ich. Hab Wurzel-, Quotient-krit ausprobiert. Mit Majorantenkrit. komm ich auch nicht weiter.
c) hier hab ich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}} |=\bruch{1}{4}<1 [/mm] und somit absolut konvergent
wünsch euch nen schönen zweiten Advent ^^
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Hallo SpoOny,
> > Untersuche [mm] \summe_{n\ge1}a_n [/mm] auf Konvergenz und absolute
> > Konvergenz, wobei [mm] a_n [/mm] definiert sei als:
> > (a) [mm] \bruch{1}{n^2}+\bruch{(-1)^n}{n}
[/mm]
> > (b) [mm] \bruch{4n^2+2n-3}{3n^4-n^3+7}
[/mm]
> > (c) [mm] \bruch{n^n}{4^n*n!}
[/mm]
>
>
> a) [mm] \bruch{1}{n^2}+\bruch{(-1)^n}{n}
[/mm]
>
> da hab ich [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n^2} [/mm] und
> [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^n}{n} [/mm] betrachtet
>
>
> [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n^2} [/mm] ist konvergent nach
> Rieman-Zeta oder so??? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") aber nicht absolut konvergent nach
> Wurzelkriterium ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Es ist doch [mm] $\left|\bruch{1}{n^2}\right|=\bruch{1}{n^2}$
[/mm]
Also ist [mm] $\sum_n\left|\frac{1}{n^2}\right|$ [/mm] konvergent, also [mm] $\sum_n\bruch{1}{n^2}$ [/mm] absolut konvergent
Das [mm] $\bruch{(-1)^n}{n}$ [/mm] macht dir aber die absolute Konvergenz der "Gesamtreihe" kaputt
>
> [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^n}{n} [/mm] ist nach Leibnitz
> konvergent.
>
> dann kann ich beide wieder zusammen betrachten und sagen
> konvergent, aber nicht absolut konvergent.... richtig??
Ja, Konvergenz gilt, weil [mm] $\sum\limits_n\frac{1}{n^2}$ [/mm] und [mm] $\sum\limits_n\frac{(-1)^n}{n}$ [/mm] konvergent sind, gilt nach den Rechenregeln für konvergente Reihen, dass [mm] \sum\limits_n\left(\frac{1}{n^2}+\frac{(-1)^n}{n}\right) [/mm] konvergent ist
> b) hier verzweifel ich. Hab Wurzel-, Quotient-krit
> ausprobiert. Mit Majorantenkrit. komm ich auch nicht
> weiter
Die Reihe hat ja in etwa ganz grob die Gestalt [mm] $\sum\limits_n\frac{4}{3n^2}$, [/mm] wenn man sich mal nur die höchsten Potenzen anschaut. Also ist die Reihe konvergent
Versuche, gegen eine konvergente Majorante der Form [mm] $\frac{a}{b}\cdot{}\sum\limits_n\frac{1}{n^2}$ [/mm] abzuschätzen
> c) hier hab ich
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}} |=\bruch{1}{4}<1[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> und somit absolut konvergent
In deiner Rechnung taucht ein [mm] $\left(\frac{n+1}{n}\right)^n$ [/mm] auf, das strebt nicht gegen 1 für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Es ist [mm] $\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
[/mm]
Und das erkennst du doch bestimmt wieder... 
(Das ändert aber nichts daran, dass die Reihe absolut konvergent ist, nur das "q" ist ein anderes)
LG
schachuzipus
> wünsch euch nen schönen zweiten Advent ^^
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Hallo,
die Formeln werden aus einem mir schleierhaften Grund nicht angezeigt, bzw. als fehlerhaft in rot markiert.
In der Vorschau während des Schreibens war das noch ok!
Keine Ahnung, wieso nun (fast) alles rot ist :((
Ich krieg's nicht geflickt...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 So 09.12.2007 | | Autor: | SpoOny |
trotzdem danke, ich wusel mich da schon durch (-:
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 So 09.12.2007 | | Autor: | SpoOny |
[mm] \bruch{4n^{2}+2n-3}{3n^{4}-n^{3}+7}= \bruch{4}{3} \*\bruch{n^{2}(1+\bruch{2}{4n}-\bruch{3}{4n^{2}})}{n^{4}(1-\bruch{1}{3n}+\bruch{7}{3n^{4}})}< \bruch{4}{3} \bruch{n^{2}}{n^{4}}= \bruch{4}{3} \*\bruch{1}{n^{2}}
[/mm]
geht das so oder fehlen da zwischenschritte ?? damit ist die reihe dann auch absolut konergent !?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 So 09.12.2007 | | Autor: | SpoOny |
Vielen DANK
[mm] \bruch{4n^{2}+2n-3}{3n^{4}-n^{3}+7}= \bruch{4}{3} \*\bruch{n^{2}(1+\bruch{2}{4n}-\bruch{3}{4n^{2}})}{n^{4}(1-\bruch{1}{3n}+\bruch{7}{3n^{4}})}< \bruch{4}{3} \*\bruch{n^{2}\overbrace{(1+\bruch{2}{4n})}^{<2}}{n^{4}\underbrace{(1-\bruch{1}{3n})}_{>\bruch{1}{2}}}< \bruch{4}{3} \*\bruch{2n^{2}}{\bruch{1}{2}n^{4}}=\bruch{16}{3} \*\bruch{1}{n^{2}}
[/mm]
kann ich jetzt auch von absoluter Konvergenz sprechen?
(-:
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Hallo SpoOny,
> Vielen DANK
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> [mm]\bruch{4n^{2}+2n-3}{3n^{4}-n^{3}+7}= \bruch{4}{3} \*\bruch{n^{2}(1+\bruch{2}{4n}-\bruch{3}{4n^{2}})}{n^{4}(1-\bruch{1}{3n}+\bruch{7}{3n^{4}})}< \bruch{4}{3} \*\bruch{n^{2}\overbrace{(1+\bruch{2}{4n})}^{<2}}{n^{4}\underbrace{(1-\bruch{1}{3n})}_{>\bruch{1}{2}}}< \bruch{4}{3} \*\bruch{2n^{2}}{\bruch{1}{2}n^{4}}=\bruch{16}{3} \*\bruch{1}{n^{2}}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
sehr schön, also ist [mm] $\sum\limits_n\frac{16}{3}\cdot{}\frac{1}{n^2}=\frac{16}{3}\cdot{}\sum\limits_n\frac{1}{n^2}$ [/mm] eine konvergente Majorante zu deiner Reihe
>
> kann ich jetzt auch von absoluter Konvergenz sprechen?
Ja, denn für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] sind Zähler und Nenner in deiner Reihe positiv, also [mm] $|a_n|=a_n$ [/mm] und weil [mm] $\sum\limits_n\frac{1}{n^2}$ [/mm] absolut kgt ist
LG
schachuzipus
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