Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Do 27.05.2004 | | Autor: | baddi |
Erst mal denke ich das Wort Reihe bedeutet das gleich wie Folge.
Also nicht irritieren lassen.
Was ist aber eine absolute Konvergenz ?
Mal schauen was google.de sagt...
Aha unter http://www.matheboard.de/lexikon/index.php/Absolute_Konvergenz
steht:
-----------
Eine Reihe
[m]\sum_{n=0}^{\infty} a_n [/m]
heißt absolut konvergent, wenn gilt:
[m] \sum_{n=0}^{\infty} |a_n| [/m]
konvergiert, also die Reihe der Absolutbeträge.
Aus absoluter Konvergenz folgt automatisch die Konvergenz der Reihe.
-----------
Mit [m]|a_n| [/m] ist also der Betrag gemeint.
Beispiel:
[m]((-1)^n) = ( -1^0,-1^1-1^2,-1^3,-1^4,-1^5,-1^6, ... )
= ( 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1 ... ) [/m]
[m](|(-1)^n | ) = ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ... ) [/m]
Aha, dann kann man schob mal sagen das
[m]((-1)^n)[/m] konvergiert aber nicht absolut konvergiert ?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Do 27.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo baddi,
> Erst mal denke ich das Wort Reihe bedeutet das gleich wie
> Folge.
Zwei Begriffe, die dasselbe bedeuten? Solche Redundanz ist in der Mathematik doch eher unüblich 
Also, eine Folge ist eine unendliche Liste von Zahlen, eine Reihe dagegen ist eine Summe von Folgengliedern.
Man kann aber ohne Probleme eine Folge in eine Reihe und eine Reihe in eine Folge umwandeln.
> Also nicht irritieren lassen.
> Was ist aber eine absolute Konvergenz ?
> Mal schauen was google.de sagt...
> Aha unter
> http://de.wikipedia.org/wiki/Absolute_Konvergenz
Warum nicht der direkte Link zu wikipedia:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Absolute_Konvergenz
Da geht es um die absolute Konvergenz von Reihen.
> Mit [m]|a_n|[/m] ist also der Betrag gemeint.
>
> Beispiel:
> [m]((-1)^n) = ( -1^0,-1^1-1^2,-1^3,-1^4,-1^5,-1^6, ... ) = ( 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1 ... )[/m]
Du meinst hier [mm] $((-1)^n) [/mm] = ( [mm] \red{(}-1\red{)}^0,\red{(}-1\red{)}^1,\red{(}-1\red{)}^2,\red{(}-1\red{)}^3,\red{(}-1\red{)}^4,\red{(}-1\red{)}^5,\red{(}-1\red{)}^6, [/mm] ... )$
>
> [m](|(-1)^n | ) = ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ... )[/m]
Das sind jetzt aber Folgen, das ist dir schon klar?
> Aha, dann kann man schob mal sagen das
> [m]((-1)^n)[/m] konvergiert aber nicht absolut konvergiert ?
Da hast du jetzt Äpfel mit Birnen verglichen, und auch noch einen logischen Fehler gemacht.
Die Folge der Absolutbeträge konvergiert doch, die ursprüngliche Folge aber nicht.
Eine Beispielreihe wäre:
[mm] $\summe_{k=1}^\infty \bruch{1}{k^2}$
[/mm]
Dies ist folgende unendliche Summe: [mm] $\bruch{1}{1}+\bruch{1}{4}+\bruch{1}{9}+\bruch{1}{16}+\ldots$.
[/mm]
(Die Folge der Zahlen dagegen würde so aussehen: [mm] $\bruch{1}{1},\ \bruch{1}{4},\ \bruch{1}{9},\ \bruch{1}{16},\ \ldots$.)
[/mm]
Es gilt folgender wichtiger Satz:
Eine absolut-konvergente Reihe ist konvergent.
Beispiel:
[mm] $\summe_{k=1}^\infty (-1)^k \bruch{1}{k^2}$ [/mm] konvergiert, weil die Reihe der Absolutbeträge konvergiert:
[mm] $\summe_{k=1}^\infty \left| (-1)^k \bruch{1}{k^2}\right|=\summe_{k=1}^\infty \bruch{1}{k^2}=\bruch{\pi^2}{6}$
[/mm]
Die Umkehrung des Satzes gilt natürlich nicht:
Aus der Konvergenz einer Reihe kann nicht auf die absolute Konvergenz geschlossen werden.
Ich hoffe, es ist ein bisschen klarer geworden, vor allem der Unterschied zwischen Reihe und Folge.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
|
