Konvergenz untersuchen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:13 Mo 21.03.2011 | | Autor: | racy90 |
Hallo,
Ich soll bei der Folge [mm] (2^{-1})^n [/mm] auf Monotonie,Beschränktheit und Konvergenz untersuchen
Nur wie gehe ich bei solchen Aufgaben vor?
Gibt es ein allgemein gültiges Rezept?
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Hallo racy,
> Hallo,
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> Ich soll bei der Folge [mm](2^{-1})^n[/mm] auf
> Monotonie,Beschränktheit und Konvergenz untersuchen
>
> Nur wie gehe ich bei solchen Aufgaben vor?
Keine Ansätze? [mm] (2^{-1})^n=\frac{1}{2^n}. [/mm] Das sollte dich an etwas erinnern ('geometrische Folge').
>
> Gibt es ein allgemein gültiges Rezept?
Monotonie: Mach dir klar [mm] a_{n+1}=\frac{a_n}{2} [/mm] mit [mm] a_1=\frac{1}{2}, [/mm] was folgt für die Monotonie?
Beschränktheit: Kann die Folge negativ werden?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Mo 21.03.2011 | | Autor: | racy90 |
[mm] an+1=\bruch{an}{2} [/mm]
Wie kommt man darauf?
Ich hab mal was gelesen das man an+1-an rechnen soll und dann schauen was dabei herauskommt um auf Monotonie zu schließen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Mo 21.03.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] a_{n+1}=\bruch{1}{2^{n+1}}=\bruch{1}{2^n}*\bruch{1}{2}=\bruch{a_n}{2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Mo 21.03.2011 | | Autor: | racy90 |
aso okay
ich nehme an die anderen Folge,wo dasselbe gefragt ist ,funktionieren genauso
[mm] 2^{-1}^n [/mm] ( das is bezogen auf das -1
[mm] -2^n [/mm]
2^(-n)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Mo 21.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
in welche Klasse gehst du?
du wirst doch fesstellen können, ob das jeweils folgende glied deiner folge kleiner odr größer ist als das davor. Um davin einen eindrock zu kriegen, schreib erst al immer die ersten 5 bis 6 hin, also setz n=1, 2, 3.. ein. Wenn du siehst wie es läuft versuch das allgemein zu schreiben.Dann schreib auf, was du raus hast und wir korriieren falls nötig.
was "$ [mm] 2^{-1}^n [/mm] $ ( das is bezogen auf das -1 "
bedeuten soll weiss ich nicht!
ich denke das ist [mm] 2^{(-1)^n} [/mm] dann schreib das wirklich mal für ein paar n nacheinander auf, ebenso die anderen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Di 22.03.2011 | | Autor: | racy90 |
Hab mir die Folge 2^-n angeschaut
Habe sie mal umgeformt auf [mm] \bruch{1}{2^n} [/mm] und vermute aufgrund der Folgeglieder das sie streng monoton fallend gegen Null ist.
an+1=2*an das brauch ich ja als Info für die Monotonie dann oder??
Jetzt hab ich versucht das mathematisch zu beweisen das meine Vermutung richtig ist.
Monotonie an+1<an
2^(-n+1)<2^-n
[mm] bruch{1}{2^n}*2<\bruch{1}{2^n} [/mm] aber wie form ich hier weiter um das ein Ergebins rauskommt?
Für den Grenzwert hätt ich eingtl nur gesagt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}2^-n=0 [/mm] weil wenn ich mir die Form [mm] bruch{1}{2^n} [/mm] anschaue wird der Nenner immer größer ,daraus folgt ja das es insgesamt kleiner wird --> 0 oder is das mathematisch zu unpräzise?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Di 22.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Racy!
Betrachte den Quotienten [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm] . Wenn dieser kleiner(-gleich) 1 ist, fällt die Folge monoton.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Di 22.03.2011 | | Autor: | racy90 |
also stimmt das nicht so mit an+1-an??
Beim Quotienten kommt 2 heraus? das kann doch nicht stimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Di 22.03.2011 | | Autor: | h500 |
Doch, auch. Mit dem Quotienten gehts halt einfacher.
Wie Loddar sagt, [mm] $a_{n+1}/a_n<1\;\Rightarrow\;a_{n+1}
Bei [mm] $a_n=2^{-n}$ [/mm] ist [mm] $a_{n+1}/a_n=1/2$, [/mm] oder in Worten, [mm] $a_{n+1}$ [/mm] ist die Haelfte von [mm] $a_n$. [/mm]
Aber wenn du drauf bestehst:
[mm] $a_{n+1}-a_{n}=a_{n}/2-a_{n}=-\frac{a_n}{2} [/mm] < 0$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Di 22.03.2011 | | Autor: | racy90 |
aso okay
und wie untersuche ich das ganze jetzt auf Beschränktheit?
Weil es ist ja ersichtlich das es eine obere und untere schranke gibt aber wie zeig ich das mathematisch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Di 22.03.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> aso okay
>
> und wie untersuche ich das ganze jetzt auf
> Beschränktheit?
>
> Weil es ist ja ersichtlich das es eine obere und untere
> schranke gibt aber wie zeig ich das mathematisch?
naja, Deine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit [mm] $a_n=1/2^n$ [/mm] ist doch monoton fallend (ich denke, dass das schon gezeigt wurde, oder?). Klar ist, dass [mm] $a_n \ge [/mm] 0$ für alle [mm] $n\,$ [/mm] gilt.
Weil [mm] $(a_n)_n$ [/mm] monoton fallend ist, ergibt sich insbesondere aber auch für jedes [mm] $n\,$ [/mm] die Gültigkeit der Ungleichung
[mm] $$a_n \le a_{n-1} \le \ldots \le a_2 \le \blue{a_1}$$
[/mm]
(Wenn bei Dir [mm] $a_0$ [/mm] auch ein Folgenglied der Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] ist, dann "hänge an [mm] $\le \blue{a_1}$ [/mm] auch noch [mm] $\le a_0$ [/mm] dran").
Anders gesagt: Das erste Folgenglied von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] (oder jede größere reelle Zahl als das erste Folgenglied) ist dann eine obere Schranke von [mm] $(a_n)_n\,,$ [/mm] so dass sich die Beschränktheit von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] ergibt, weil [mm] $(a_n)_n$ [/mm] sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist (alternativ kann man auch leicht argumentieren, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] beschränkt ist, weil [mm] $(|a_n|)_n$ [/mm] nach oben beschränkt ist).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:29 Di 22.03.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
auch hier nochmal:
> Doch, auch. Mit dem Quotienten gehts halt einfacher.
>
> Wie Loddar sagt,
> [mm]a_{n+1}/a_n<1\;\Rightarrow\;a_{n+1}
diese Folgerung gilt wegen [mm] $a_n [/mm] > [mm] 0\,$!!
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Di 22.03.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Racy!
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> Betrachte den Quotienten [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm] . Wenn dieser
> kleiner(-gleich) 1 ist, fällt die Folge monoton.
es sei mir nicht verwehrt zu bemerken, dass man bzgl. dieser Aussage auch [mm] $a_n [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] für alle [mm] $n\,$ [/mm] beachten sollte.
Gruß,
Marcel
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