Konvergenz von Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In dieser Aufgabe wollen wir dem Ausdruck [mm] \bruch{1}{1 + \bruch{1}{1 + \bruch{1}{1 + ...}}} [/mm] eine Bedeutung verleihen. Sei die reelle Folge [mm] (x_n) [/mm] definiert durch
[mm] \begin{cases} x_{n+1} = 1 + \bruch{1}{x_n} \\ x_0 = 1\end{cases}
[/mm]
a) Überprüfen Sie, dass die ersten drei Folgenglieder [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] gegeben sind durch 1 + 1 , 1 + [mm] \bruch{1}{1 + 1} [/mm] , 1 + [mm] \bruch{1}{1 + \bruch{1}{1 + 1}} [/mm] , und zeigen Sie, dass [mm] x_n [/mm] = [mm] \bruch{f_{n+2}}{f_{n+1}} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt, wobei [mm] (f_n) [/mm] die Fibonacci-Folge sei.
b) Finden Sie eine Funktion f, so dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] x_{n+2} [/mm] = [mm] f(x_n)
[/mm]
c) Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (x_{2n}) [/mm] monoton steigend und die Folge [mm] (x_{2n+1}) [/mm] monoton fallend ist.
d) Zeigen Sie schließlich, dass die Folge [mm] (x_n) [/mm] gegen den Goldenen Schnitt [mm] \bruch{1 + \wurzel{5}}{2} [/mm] konvergiert! |
Hallo zusammen,
die Aufgabeteile a), b) und c) habe ich schon bewiesen.
Probleme habe ich beim Teil d).
Wie zeige ich das am besten?
Noch eine Frage am Rande:
Wir hatten folgende Aussage: Wenn die Folge [mm] (a_n) [/mm] einen Limes L [mm] \in \overline{\IR} [/mm] hat, dann besitzt jede Teilfolge von [mm] (a_n) [/mm] denselben Limes. Gilt die Umkehrung auch?
Grüsse
Alexander
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Hiho,
> die Aufgabeteile a), b) und c) habe ich schon bewiesen.
> Probleme habe ich beim Teil d).
>
> Wie zeige ich das am besten?
> Noch eine Frage am Rande:
> Wir hatten folgende Aussage: Wenn die Folge [mm](a_n)[/mm] einen
> Limes L [mm]\in \overline{\IR}[/mm] hat, dann besitzt jede Teilfolge
> von [mm](a_n)[/mm] denselben Limes. Gilt die Umkehrung auch?
Ja, damit bist du auch auf dem richtigen Weg.
Mach dir erstmal klar, dass du bereits weißt, dass die Folge [mm] x_n [/mm] maximal zwei Häufungspunkte hat, da sie beschränkt ist! (Warum ist sie beschränkt, warum max. 2 Häufungspunkte?)
D.h. du kannst [mm] \limsup [/mm] und [mm] \liminf [/mm] sofort mit Hilfe der Rekursionsformel berechnen.
Dann gilt? ^^
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:36 So 02.12.2012 | | Autor: | fred97 |
Sei a der Limes von [mm] (x_{2n}) [/mm] und b der Limes von [mm] (x_{2n+1})
[/mm]
Aus
[mm] x_{n+1} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{x_n}
[/mm]
folgt dan mit n [mm] \to \infty:
[/mm]
b = 1 + [mm] \bruch{1}{a} [/mm] und a = 1 + [mm] \bruch{1}{b}
[/mm]
Folgere hieraus:
1. a=b
2. [mm] (x_n) [/mm] konvergiert gegen a
3. a=$ [mm] \bruch{1 + \wurzel{5}}{2} [/mm] $
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:05 So 02.12.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hi Fred,
> Sei a der Limes von [mm](x_{2n})[/mm] und b der Limes von
Nur der Vollständigkeit halber:
Zum korrekten Nachweis, dass die Grenzwerte überhaupt existieren braucht man noch die Beschränkteit der Teilfolgen.
MFG
Gono
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Ist das so richtig?
Zeige [mm] (x_{2n}) [/mm] beschränkt.
[mm] f(x_{2n-2}) [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{1 + x_{2n-2}} [/mm] = [mm] x_{2n}
[/mm]
Offensichtlich ist [mm] x_{2n} \ge [/mm] 0.
Da [mm] x_{2n} [/mm] monoton steigend ist, folgt:
1 < [mm] \bruch{3}{2} [/mm] = [mm] x_2 \le x_{2n} \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{1 + x_{2n - 2}} \le [/mm] 1
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le [/mm] 1 + [mm] \bruch{1}{1 + x_{2n - 2}} \le [/mm] 1 + 1 = 2
[mm] \Rightarrow x_{2n} [/mm] beschränkt
Da [mm] x_{2n} [/mm] monoton steigend
[mm] \Rightarrow x_{2n} [/mm] konvergent
Zeige [mm] x_{2n + 1} [/mm] beschränkt.
[mm] f(x_{2n-1}) [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{1 + x_{2n-1}} [/mm] = [mm] x_{2n + 1}
[/mm]
Offensichtlich [mm] x_{2n + 1} \ge [/mm] 0, da [mm] x_n [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
Da [mm] (x_{2n + 1}) [/mm] monoton fallend
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le [/mm] ... [mm] \le x_{2n + 3} \le x_{2n + 1} \le x_3 [/mm] = [mm] \bruch{5}{3} [/mm] < 2
[mm] \Rightarrow [/mm] 1 + [mm] \bruch{1}{1 + x_{2n - 1}} \le [/mm] 1 + [mm] \bruch{1}{1 + 0} [/mm] = 2
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le x_{2n + 1} \le [/mm] 2
[mm] \Rightarrow (x_{2n + 1}) [/mm] beschränkt
Da [mm] x_{2n + 1} [/mm] monoton fallend
[mm] \Rightarrow x_{2n + 1} [/mm] konvergent
Setze lim [mm] x_{2n} [/mm] =: L , lim [mm] x_{2n + 1} [/mm] =: M
[mm] \Rightarrow x_{2n} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{x_{2n - 1}} \to [/mm] L = 1 + [mm] \bruch{1}{M}
[/mm]
[mm] x_{2n + 1} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{x_{2n}} \to [/mm] M = 1 + [mm] \bruch{1}{L}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] L = 1 + [mm] \bruch{1}{M} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{1 + \bruch{1}{L}}
[/mm]
= ... = L = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{5}}{2} [/mm] < 0 [mm] \vee [/mm] L = [mm] \bruch{\wurzel{5}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Da [mm] (x_{2n}) [/mm] monoton steigend und [mm] x_{2n} \ge [/mm] 0 für alle n
[mm] \Rightarrow [/mm] L = [mm] \bruch{\wurzel{5} + 1}{2}
[/mm]
Mithin folgt:
M = 1 + [mm] \bruch{1}{L} [/mm] = ... = [mm] \bruch{\wurzel{5} + 1}{2} [/mm] = L
Also folgt:
[mm] |x_{2n} [/mm] - L| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge n_0 [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] > 0
[mm] |x_{2n + 1} [/mm] - L| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge n_1 [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] > 0
Sei [mm] n_2 [/mm] := [mm] max\{n_0 , n_1\}.
[/mm]
[mm] \Rightarrow |x_n [/mm] - L| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge n_2 [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] > 0
[mm] x_n \to \bruch{\wurzel{5} + 1}{2}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 04.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:56 So 02.12.2012 | | Autor: | Aguero |
Hey,
darf ich dich fragen wie du bei den aufgaben a) b) und c) vorgegangen bist? denn d) Folgt ja aus den drei anderen zuvor. könntest du mir die beweise hier auflisten?
Danke im Voraus
Gruß Aguero
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 04.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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