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Konvergenz von Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:33 Mi 29.11.2006
Autor: cpuberti

Wie zeige ich dass
[mm]a_{n+1}=\bruch{1}{2}*(a_n+\bruch{a}{a_n})[/mm]
nach Wurzel a konvergiert?
Für einen Ansatz wäre ich sehr Dankbar.
(Monotonie und Beschränktheit zeigen, habe ich nicht hinbekommen!)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konvergenz von Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:44 Mi 29.11.2006
Autor: angela.h.b.


> Wie zeige ich dass
>  [mm]a_{n+1}=\bruch{1}{2}*(a_n+\bruch{a}{a_n})[/mm]
>  nach Wurzel a konvergiert?
>  Für einen Ansatz wäre ich sehr Dankbar.
>  (Monotonie und Beschränktheit zeigen, habe ich nicht
> hinbekommen!)

Hallo,

hier

wurde diese Frage bereits bearbeitet.

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Folgen: nicht monoton
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:27 Mi 29.11.2006
Autor: leduart

Hallo angela und
leider ist der weg in dem anderen post falsch.
die folge ist alternierend, also ne  Intervallschachtelung fuer [mm] \wurzel{a}. [/mm]
man kann leicht zeigen, wenn [mm] a_n<\wurzel{a} [/mm] folgt [mm] a_{n+1}>a_n, [/mm] wenn [mm] a_n>\wurzel{a} [/mm] folgt [mm] a_{n+1} Wenn man die Intervallschachtelung gezeigt hat ist man fertig.
Am besten man probiert ein paar Schritte fuer a=2 mit dem TR aus, um zu sehen, wie es laeuft!
anfangswert ist egal, wenn er zu schlecht ist, dauert es halt laenger. Nimm z.bsp [mm] a_0=1 [/mm] oder 2.
Gruss leduart

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Folgen: doch monoton
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:13 Mi 29.11.2006
Autor: angela.h.b.


> Hallo angela und
>  leider ist der weg in dem anderen post falsch.
>  die folge ist alternierend, also ne  Intervallschachtelung
> fuer [mm]\wurzel{a}.[/mm]
>  man kann leicht zeigen, wenn [mm]a_n<\wurzel{a}[/mm] folgt
> [mm]a_{n+1}>a_n,[/mm] wenn [mm]a_n>\wurzel{a}[/mm] folgt [mm]a_{n+1}
>  Wenn man die Intervallschachtelung gezeigt hat ist man
> fertig.
>  Am besten man probiert ein paar Schritte fuer a=2 mit dem
> TR aus, um zu sehen, wie es laeuft!
>  anfangswert ist egal, wenn er zu schlecht ist, dauert es
> halt laenger. Nimm z.bsp [mm]a_0=1[/mm] oder 2.
>  Gruss leduart


Hallo,

ich bin nach wie vor davon überzeugt, daß a>0 und und [mm] a_0>0 [/mm] vorausgesetzt, die Folge [mm] \bruch{1}{2} (a_{n}+\bruch{a}{a_{n}}) [/mm]
monoton fallend ist.

Es ist

1. [mm] a_n>0 [/mm]
2. [mm] a_n^2-a \ge [/mm] 0.

Du schreibst:

>  man kann leicht zeigen, wenn [mm]a_n<\wurzel{a}[/mm] folgt
> [mm]a_{n+1}>a_n,[/mm] wenn [mm]a_n>\wurzel{a}[/mm] folgt [mm]a_{n+1}

Es ist ja aber immer [mm] a_n [/mm]   [mm] \ge [/mm] [mm] \wurzel{a}, [/mm] denn [mm] a_n>0. [/mm]

Mit 1. und 2. erhält man

3. [mm] a_n-a_{n-1} \ge [/mm] 0, also ist [mm] (a_n) [/mm] monoton fallend und nach unten durch [mm] \wurzel{a} [/mm] beschränkt.

Im übrigen sagt mein Taschenrechner das auch.

Gruß v. Angela




Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Folgen: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 23:24 Mi 29.11.2006
Autor: leduart

Hallo
Ich hab nen Denkfehler gemacht! Angela hat recht, bis moeglicherweise vom ersten zum 2. Schritt ist die Folge monoton!
Danke angela und sorry
Gruss leduart

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