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| Aufgabe | | Von der Folge [mm] (b_{n}) [/mm] sei bekannt, dass die Teilfolgen [mm] (b_{2n}), (b_{2n-1}) [/mm] und [mm] (b_{3n}) [/mm] konvergieren. Muss dann auch [mm] (b_{n}) [/mm] konvergieren? |
Also ich denke mal man kann vorraussetzen, dass die Teilfolgen gegen den selben Grenzwert konvergieren, da [mm] b_{n} [/mm] ja sonst sowieso nicht konvergent sein könnte. Aber wie gehe ich das dann an? ich finde da keinen ansatz. wäre für jede hilfe dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 So 03.12.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin Improvise!
> Von der Folge [mm](b_{n})[/mm] sei bekannt, dass die Teilfolgen
> [mm](b_{2n}), (b_{2n-1})[/mm] und [mm](b_{3n})[/mm] konvergieren. Muss dann
> auch [mm](b_{n})[/mm] konvergieren?
> Also ich denke mal man kann vorraussetzen, dass die
> Teilfolgen gegen den selben Grenzwert konvergieren, da
> [mm]b_{n}[/mm] ja sonst sowieso nicht konvergent sein könnte.
Nein das kannst du, so denke ich, nicht voraussetzen sondern genau das ist zu zeigen.
> wie gehe ich das dann an? ich finde da keinen ansatz. wäre
> für jede hilfe dankbar
Mal so ne Idee
dein [mm] $b_{3n}$ [/mm] ist konvergent [mm] \Rightarrow [/mm] auch jede Teilfolge von [mm] $b_{3n}$ [/mm] ist konvergent, unzwar gegen den selben Grenzwert. Wenn du diese Teilfolgen richtig wählst sind diese Teilfolgen auch Teilfolgen von [mm] $b_{2n}$ [/mm] bzw [mm] $b_{2n-1}$ [/mm] dann folgt aus der Konvergenz von [mm] $b_{2n}$ [/mm] bzw [mm] $b_{2n-1}$ [/mm] dann was??
Ist [mm] b_n [/mm] also konvergent oder nicht?
MfG
Sashman
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 So 03.12.2006 | | Autor: | feri |
hallo,
also man kann sagen, da von der Vereinigung von b2n und b2n-1 , bn raus kommt,
ist bn auch gegen den selben Grenzwert konvergent?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 So 03.12.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin feri!
Nur auf die Schnelle weil ich gleich los muß.
> hallo,
> also man kann sagen, da von der Vereinigung von b2n und
> b2n-1 , bn raus kommt,
> ist bn auch gegen den selben Grenzwert konvergent?
nein das kann man nicht schau dir mal die Folge
[mm] a_n=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
an.
[mm] a_{2n} [/mm] und [mm] a_{2n-1} [/mm] sind konvergent und die Vereinigung beider ist die gesamte Folge. [mm] a_n [/mm] ist aber nicht konvergent.
Du brauchst also unbedingt die Konvergenz von [mm] b_{3n} [/mm] um die obenstehende Bgehauptung zu zeigen.
MfG
Sashman
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 So 03.12.2006 | | Autor: | feri |
hmm,
wenn b3n gegen x konvergiert, dann konvergieren b2n und b2n-1 auch gegen x oder?
also verstehe ich nicht, warum bn nicht gegen den selben Grenzwert(hier x) konvergiert?? :( (in diesem Fall allerdings)
bitte um eine Antwort!
viele Grüße
feri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Mo 04.12.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin nochmal!
Du hast eine Folge [mm] b_n [/mm] die du auf konvergenz zu prüfen hast.
Du weist von drei Teilfolgen [mm] b_{2n},b_{2n-1} [/mm] und [mm] b_{3n} [/mm] das sie konvergent sind.
Wenn du nun zeigen kannst, das die Teilfolgen [mm] b_{2n}, b_{2n-1} [/mm] den selben Grenzwert haben hast du die Konvergenz von [mm] b_n [/mm] gezeigt, da diese Teilfolgen die gesamte Folge bilden.
Um dies zu tun brauchst du notwendig die Konvergenz der Teilfolge [mm] b_{3n} [/mm] (siehe dazu nochmal meine erste Antwort).
Wäre [mm] b_{3n} [/mm] nicht konvergent; meint also ausschließlich [mm] b_{2n} [/mm] und [mm] b_{2n-1} [/mm] konvergent könntest du keine Aussage über die Konvergenz der gesamten Folge [mm] b_n [/mm] machen (siehe dazu meine zweite Antwort).
Schau dir also nochmal meinen vorgeschlagenen Lösungsweg in der ersten Antwort an und poste bei Unklarheiten deinen bisherigen Lösungsweg (so wie du ihn abgeben möchtest) oder nimm einen anderen Weg, wenn du der Meinung bist das der besser funktioniert. Wenn du dann noch Fragen hast ... genau poste das was du bisher hast.
Auf jeden Fall sollte die Herangehensweise nun geklärt sein.
MfG
Sashman
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