Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:10 Di 12.06.2007 | | Autor: | lubalu |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Folgen
a) [mm] a_{n}=\bruch{2^{n}+n}{3^{n}-n}, [/mm] n=1,2,3,...
b) [mm] b_{n}=\wurzel{n^{2}+2n}-n, [/mm] n=1,2,3,...
auf Konvergenz und besetimmen Sie ggf. den Grenzwert. |
Hallo.
Also bei der a) hätte ich jetzt folgendes gemacht: durch n teilen=> [mm] \bruch{2^{n}+n}{3^{n}-n}=\bruch{1+\bruch{2^{n}}{n}}{-1+\bruch{3^{n}}{n}}. [/mm] Und dann gehen [mm] \bruch{2^{n}}{n} [/mm] und [mm] \bruch{3^{n}}{n} [/mm] gegen [mm] +\infty, [/mm] oder? und damit hätte ich als Grenzwert -1?!
Bei b) Da hab ich mir Hilfe aus einem Buch geholt.Die erweitern hier dann mit [mm] \wurzel{n^{2}+2n}+n [/mm] und dann kommt im 3. Schritt raus:
[mm] \bruch{2n}{\wurzel{n^{2}+2n}+n}=\bruch{2}{1+\wurzel{1+\bruch{2}{n}}}. [/mm] Dann wäre meiner Meinung nach der Grenzwert +1?!Aber wie komm ich denn dann auf den letzten Schritt, also auf das, was unter der Wurzel steht?
Grüße,Marina
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> Untersuchen Sie die Folgen
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> a) [mm]a_{n}=\bruch{2^{n}+n}{3^{n}-n},[/mm] n=1,2,3,...
> b) [mm]b_{n}=\wurzel{n^{2}+2n}-n,[/mm] n=1,2,3,...
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> auf Konvergenz und besetimmen Sie ggf. den Grenzwert.
> Hallo.
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> Also bei der a) hätte ich jetzt folgendes gemacht: durch n
> teilen=>
> [mm]\bruch{2^{n}+n}{3^{n}-n}=\bruch{1+\bruch{2^{n}}{n}}{-1+\bruch{3^{n}}{n}}.[/mm]
> Und dann gehen [mm]\bruch{2^{n}}{n}[/mm] und [mm]\bruch{3^{n}}{n}[/mm] gegen
> [mm]+\infty,[/mm] oder? und damit hätte ich als Grenzwert -1?!
Hallo,
die Idee mit dem durch irgendwas zu dividieren ist ziemlich gut. Über das "irgendwas2 allerdings solltest Du Dir nochmal Gedanken machen. Bisher hast Du nichts gewonnen, denn daß [mm] \bruch{1+\infty}{-1+\infty} [/mm] die -1 ergibt, das halte ich für ein Gerücht. (Man weiß nicht, was es ergibt. Da ist vieles drin. Was Negatives allerdings eher nicht.)
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> Bei b) Da hab ich mir Hilfe aus einem Buch geholt.Die
> erweitern hier dann mit [mm]\wurzel{n^{2}+2n}+n[/mm] und dann kommt
> im 3. Schritt raus:
>
> [mm]\bruch{2n}{\wurzel{n^{2}+2n}+n}=\bruch{2}{1+\wurzel{1+\bruch{2}{n}}}.[/mm]
> Dann wäre meiner Meinung nach der Grenzwert +1?!Aber wie
> komm ich denn dann auf den letzten Schritt, also auf das,
> was unter der Wurzel steht?
Im Zähler und Nenner durch n dividieren.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Di 12.06.2007 | | Autor: | lubalu |
Aso...ja,da war ich wohl etwas voreilig. Ich muss dann des irgendwie umformen, bis die beiden verbleibenden Brüche gegen eine feste Zahl gehen,oder wie?
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> Aso...ja,da war ich wohl etwas voreilig. Ich muss dann des
> irgendwie umformen, bis die beiden verbleibenden Brüche
> gegen eine feste Zahl gehen,oder wie?
Korrekt.
Bzw: wenn Du oben eine feste Zahl hast und unten unendlich, dann geht's gegen Null. Aber "Unendlich durch Unendlich", da weißt Du nichts, weil Du nicht weißt, wie heftig unendlich die einzelnen Unendlichs sind. Unmathematisch gesprochen.
Wie gesagt: dividieren ist gut. Sinnigerweise durch eine große Zahl.
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Di 12.06.2007 | | Autor: | lubalu |
Ok.Aber meinst du dann von vornherein durch was anderes teilen, oder passt des teilen durch n und dann was ich rausbekomme noch durch was anderes teilen?
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> Ok.Aber meinst du dann von vornherein durch was anderes
> teilen, oder passt des teilen durch n und dann was ich
> rausbekomme noch durch was anderes teilen?
Probier's aus.
Wenn man's richtig macht, geht beides, und wenn man's falsch macht, geht nix.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Di 12.06.2007 | | Autor: | lubalu |
Hallo nochmal.
Hab jetzt des von Anfang an weg durch [mm] 2^{n} [/mm] geteilt. Dann komm ich auf
[mm] \bruch{1+\bruch{n}{2^{n}}}{\bruch{3^{n}}{2^{n}}-\bruch{n}{2^{n}}}
[/mm]
Kann ich dann sagen [mm] \bruch{n}{2^{n}}->0, \bruch{3^{n}}{2^{n}} [/mm] -> [mm] +\infty [/mm] und [mm] \bruch{n}{2^{n}} [/mm] ->0 und dann geht die komplette Folge gegen 0?
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Hallo lubalu!
Das kann man so machen. Günstiger wäre es in meinen Augen gewesen, den Term [mm] $\red{3}^n$ [/mm] bzw. gar [mm] $n*3^n$ [/mm] auszuklammern.
Gruß vom
Roadrunner
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