Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Mo 17.11.2008 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Folgen auf Konvergenz und berechnen Sie gegebenenfalls
den Grenzwert:
1.) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{-4(n+1)^{4}}{25n^{4}+16n^{3}+11n^{2}+43} [/mm] |
Hallo,
ich bräuchte bitte einen kleinen Tipp, ob das was ich da gerechnet habe richtig ist. Wäre wirklich super.
und zwar:
Zu erst mal die n ausklammern ergibt bei mir => [mm] \bruch{(4n(-1+\bruch{1}{n}))^4}{n(25n^3+16n^2+11n+43)}
[/mm]
=> [mm] \bruch{n^4*(4*(-1+\bruch{1}{n})^4)}{n(25n^3+16n^2+11n+43)} [/mm] => n wird rausgekürzt bis [mm] \bruch{4*((-1+\bruch{1}{n})^4)}{25+\bruch{16}{n}+\bruch{11}{n^2}+\bruch{43}{n^3}}
[/mm]
Wäre dann der Grenzwert im Zähler -4 und Nenner 25?
Ich danke schonmal im Voraus und würde mich sehr über eine Antwort freuen.
Viele Grüße.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mo 17.11.2008 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | | 2.) [mm] \bruch{cos(\bruch{\pi*n}{4})}{\wurzel{1+n^2}} [/mm] |
Ah, ok super danke.
Hätte da aber noch eine Frage zu der 2.Aufg. und zwar hat die Funktion im Zähler einen Grenzwert?
Es ist ja eine Gerade und ich habe gehört, dass Geraden auch Grenzwerte haben (?) bloß kann ich das nicht verstehen und wie man hier den Grenzwert berechnen soll weiß ich auch nicht :-(
Könnte es sein, dass dieser 0 ist?
und im Nenner auch 0, sodass insgesamt der Grenzwert 0 ist?
Viele Grüße.
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Hallo
Ihr hattet doch bestimmt ein Abschätzungskriterium, oder?
cos(n) ist immer [mm] \le [/mm] 1
Also kannst du auch deine Folge Abschätzen und dann den Grenzwert bestimmen.
Allgemein: Ist [mm] |b_{n}| \le |a_{n}|, [/mm] für alle n > [mm] n_{0} [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] = 0, dann ist auch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n} [/mm] = 0.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Mo 17.11.2008 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | | 4.) [mm] a_{n}= n*(\wurzel[n]{a}-2n) [/mm] (a>1) |
Ok, danke das bringt mich schon sehr weiter.
Vielleicht noch eine Teilaufgabe, die mir etwas Schwierigkeiten macht.
Kann bei der 4.) rechnen:
[mm] \bruch{n*(\wurzel[n]{a}-2n)*(n*(\wurzel[n]{a}+2n))}{n*(\wurzel[n]{a}+2n)} [/mm] = [mm] \bruch{n^2*\wurzel[n]{a}-4n^2)}{n*\wurzel[n]{a}+2n)}
[/mm]
=> [mm] n^2 [/mm] ausklammern ergibt dann = [mm] \bruch{\wurzel[n]{a}-4}{\bruch{\wurzel[n]{a}}{n}+\bruch{2}{n}}
[/mm]
Strebt dann der Zähler hier gegen -4 und der Nenner gegen 0??? Also insgesamt gegen -4?
Lg.
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Hallo Nina,
> 4.) [mm]a_{n}= n*(\wurzel[n]{a}-2n)[/mm] (a>1)
> Ok, danke das bringt mich schon sehr weiter.
>
> Vielleicht noch eine Teilaufgabe, die mir etwas
> Schwierigkeiten macht.
>
> Kann bei der 4.) rechnen:
>
> [mm]\bruch{n*(\wurzel[n]{a}-2n)*(n*(\wurzel[n]{a}+2n))}{n*(\wurzel[n]{a}+2n)}[/mm]
> = [mm]\bruch{n^2*\red{(}\wurzel[n]{a^{\red{2}}}-4n^2)}{n*\red{(}\wurzel[n]{a\red{}}+2n)}[/mm]
Achtung, es ist [mm] $(\sqrt[n]{a})^2=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^2=a^{\frac{2}{n}}=(a^2)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a^2}$
[/mm]
>
> => [mm]n^2[/mm] ausklammern ergibt dann =
> [mm]\bruch{\wurzel[n]{a}-4}{\bruch{\wurzel[n]{a}}{n}+\bruch{2}{n}}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Abgesehen von dem fehlenden ^2 hast du falsch ausgeklammert, sowohl im Zähler als auch im Nenner
>
> Strebt dann der Zähler hier gegen -4 und der Nenner gegen
> 0??? Also insgesamt gegen -4?
Nein, bedenke, [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^2}=1$ [/mm] ...
Klammere nochmal aus, setze aber im Zähler statt a mal das richtige [mm] a^2 [/mm] (das tut zwar nix, aber der Richtigkeit halber ...)
Das Biest sieht mir eher ziemlich divergent aus ...
>
> Lg.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Mo 17.11.2008 | | Autor: | nina1 |
Oje, ok...
also dann wäre das [mm] \bruch{n^2*(\wurzel[n]{a^2}-4)}{n*((\wurzel[n]{a})+2*n)}
[/mm]
= [mm] \bruch{n^2*(\wurzel[n]{a^2}-4)}{n^2*(\bruch{\wurzel[n]{a}}{n}+\bruch{2}{n})}
[/mm]
[mm] =\bruch{(\wurzel[n]{a^2}-4n)}{(\bruch{\wurzel[n]{a}}{n}+\bruch{2}{n})}
[/mm]
Der Nenner strebt dann gegen 0 und der Zähler gegen -3, ist ist das doch divergent?
Lg.
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Hallo nochmal,
> Oje, ok...
>
> also dann wäre das
> [mm]\bruch{n^2*(\wurzel[n]{a^2}-4)}{n*((\wurzel[n]{a})+2*n)}[/mm]
ich verstehe überhaupt gar nicht, was du da machst 
Wir hatten doch den Term [mm] $\bruch{n^2\cdot{}(\wurzel[n]{a^2}-4n^2)}{n\cdot{}(\wurzel[n]{a}+2n)}$
[/mm]
Im Zähler ist [mm] n^2 [/mm] doch schon ausgeklammert, da steht ja [mm] $n^2\cdot{}\text{irgendwas}$
[/mm]
Wir müssen nur noch in der Klammer im Nenner ein n ausklammern und vor die Klammer holen, dann haben wir im Nenner auch [mm] $n\cdot{}n\cdot{}\text{irgendwas}=n^2\cdot{}\text{irgendwas}$
[/mm]
also [mm] $\bruch{n^2\cdot{}(\wurzel[n]{a^2}-4n^2)}{n\cdot{}(\wurzel[n]{a}+2n)}=\bruch{n^2\cdot{}(\wurzel[n]{a^2}-4n^2)}{n\cdot{}\left(\blue{n\cdot{}\left[\frac{\wurzel[n]{a}}{\blue{n}}+2\right]}\right)}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{n^2\cdot{}(\wurzel[n]{a^2}-4n^2)}{n^2\cdot{}\left(\frac{\wurzel[n]{a}}{n}+2\right)}=\bruch{\wurzel[n]{a^2}-4n^2}{\frac{\wurzel[n]{a}}{n}+2}$
[/mm]
und das Biest strebt doch für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen [mm] $\frac{1-\infty}{0+2}=\frac{-\infty}{2}=-\infty$
[/mm]
Die Folge ist also divergent ...
>
> =
> [mm]\bruch{n^2*(\wurzel[n]{a^2}-4)}{n^2*(\bruch{\wurzel[n]{a}}{n}+\bruch{2}{n})}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{(\wurzel[n]{a^2}-4n)}{(\bruch{\wurzel[n]{a}}{n}+\bruch{2}{n})}[/mm]
>
> Der Nenner strebt dann gegen 0 und der Zähler gegen -3, ist
> ist das doch divergent?
>
> Lg.
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:17 Mo 17.11.2008 | | Autor: | nina1 |
Sorry, ich hab mich verschrieben bei der Aufgabe :-///
die Folge hieß [mm] n*(\wurzel[n]{a}-2)... [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Mo 17.11.2008 | | Autor: | nina1 |
Simmt dann meine Lösung vom Anfang?
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Hallo nochmal,
> Simmt dann meine Lösung vom Anfang?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, dann strebt das Ganze für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen [mm] $\frac{-3}{0}=-\infty$, [/mm] die Folge ist also divergent
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:37 Mo 17.11.2008 | | Autor: | reverend |
Ich seh's nicht, kann auch an der Uhrzeit liegen. Welcher Antwortvorschlag war das? Eindeutig zur Identifikation wäre wahrscheinlich nur die Uhrzeit, wann er gepostet wurde. Wäre für einen Hinweis dankbar, denn so beim Durchscrollen habe ich hierzu keine richtige Lösung gesehen, was Deine überhaupt nicht bezweifeln soll, schachuzipus.
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Hi reverend,
es bezieht sich auf die Folge [mm] $a_n=n\cdot{}(\sqrt[n]{a}-2)$ [/mm] mit $a>1$ und Ninas Antwort weit höher, zu der ich vorher schon schrieb, dass sie im Zähler nach dem Erweitern anstatt [mm] $\sqrt[n]{a^2}$ [/mm] "nur" [mm] $\sqrt[n]{a}$ [/mm] raushatte.
Außerdem ist [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^2}=1$ [/mm] nicht berücksichtigt.
Von daher war ich etwas vorschnell mit meinem
Oben in Ninas Lösungsversuch steht für den "Gesamtgrenzwert" [mm] $..=\frac{-4}{0}$
[/mm]
Es muss aber [mm] $\frac{-3}{0}$ [/mm] sein.
Wie dem auch sei, die Folge divergiert gegen [mm] $-\infty$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:46 Di 18.11.2008 | | Autor: | reverend |
Ah, jetzt kann ich Dir folgen. Eigenständiges Nachdenken hätte vielleicht auch geholfen, wer weiß...
Danke also für den Hinweis!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:35 Mo 17.11.2008 | | Autor: | reverend |
Es ist ein bisschen mühsam, sich hier zurechtzufinden, weil Du so nach und nach drei Aufgaben einspeist. Es wäre praktischer, wenn Du dann jedesmal eine ganz neue Anfrage machst - oder wenigstens so eingibst, dass ein neuer Unterbaum aufgemacht wird und wieder ganz links anfängt.
Wenn ich richtig verstehe, was Du gerade fragst -
nein, Deine erste Antwort zu Aufgabe 4 enthielt ja noch das n in der Klammer, kann also auch nicht richtig sein.
Hast Du einen neuen Vorschlag? (Ich meine: zu dieser Aufgabe!)
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