Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Mo 31.10.2011 | | Autor: | Levit |
| Aufgabe | Zeigen sie mit der Epsilon-Definition des Grenzwertes:
Falls die Folge [mm] b_n [/mm] konvergiert, dann konvergiert die durch [mm] c_n:=|b_n| [/mm] definierte Folge. |
Kann mir jemand vielleicht einen Ansatz oder eine Idee geben? Muss ich eine Fallunterscheidung machen? Denn wenn [mm] b_n [/mm] für alle n positiv ist, ist das ja trivial.
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jupp, eine Fallunterscheidung wäre eine Möglichkeit.
Aber benutzt du da die Epsilon-Definition?
Sei c der Grenzwert der Folge [mm] $(c)_n$
[/mm]
Dann muss gelten:
[mm] $|c_n [/mm] - c| < [mm] \epsilon$ [/mm] für ausreichend große $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Wenn die Folge [mm] $b_n$ [/mm] gegen den Grenzwert b konvertiert, wogegen definiert dann wohl [mm] $|b_n|$?
[/mm]
Nimm also einfach den Grenzwert an und zeige dann (zB mit Dreiecksungleichung), dass du tatsächlich den richtigen Grenzwert hast.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Mo 31.10.2011 | | Autor: | Levit |
Wir haben noch folgenden Hinweis bekommen:
|x+y| [mm] \le [/mm] |x|+|y| => ||x|-|y|| [mm] \le [/mm] |x-y|.
Das hieße doch: [mm] |c_n-c|=||b_n|-|b|| \le |b_n-b| \le \epsilon.
[/mm]
Und das wars dann doch schon, oder?
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> Wir haben noch folgenden Hinweis bekommen:
> |x+y| [mm]\le[/mm] |x|+|y| => ||x|-|y|| [mm]\le[/mm] |x-y|.
>
> Das hieße doch: [mm]|c_n-c|=||b_n|-|b|| \le |b_n-b| \le \epsilon.[/mm]
>
> Und das wars dann doch schon, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Mo 31.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Von einer Fallunterscheidung rate ich ab.
Tipp:
$| ~|x|-|y| ~| [mm] \le [/mm] |x-y|$
FRED
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