Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Mi 14.03.2012 | | Autor: | Dorothea |
| Aufgabe | Unterusche auf Konvergenz und bestimme wenn möglich den Grenzwert:
[mm] an=\wurzel{n^2 + 7*n + 5} [/mm] - n
[mm] n\in [/mm] N |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich habe die Vermutung, dass diese Folge nicht konvergiert, bin mir aber nicht sicher, wie ich das zeigen soll,
Habe angefangen mit der dritten binom. formel zu erweitern und umgeformt, sodass ich letzendlich auf
[mm] \bruch{(7 + 5/n)}{(\wurzel{ 1+7/n + 5/n^2} - 1)}
[/mm]
komme für n gegen unendlich geht das ja gegen unendlich, aber reicht das? oder muss ichd as formal mit epsilon zeige, wenn ja wie?
vielen dank
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Hallo Dorothea,
> Unterusche auf Konvergenz und bestimme wenn möglich den
> Grenzwert:
> [mm]an=\wurzel{n^2 + 7*n + 5}[/mm] - n
> [mm]n\in[/mm] N
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> ich habe die Vermutung, dass diese Folge nicht konvergiert,
> bin mir aber nicht sicher, wie ich das zeigen soll,
>
> Habe angefangen mit der dritten binom. formel zu erweitern
Eine hervorragende Idee!
> und umgeformt, sodass ich letzendlich auf
> [mm]\bruch{(7 + 5/n)}{(\wurzel{ 1+7/n + 5/n^2} - 1)}[/mm]
Na, du hast doch den Ausgangsterm mit [mm]\sqrt{n^2+7n+5}\red{+}n[/mm] erweitert, oder nicht?
Überdenke also das "-" im Nenner ...
Ansonsten hast du richtig umgeformt.
>
> komme für n gegen unendlich geht das ja gegen unendlich,
> aber reicht das? oder muss ichd as formal mit epsilon
> zeige, wenn ja wie?
Nee, du hast aus dem "+" ein "-" gemacht, das hat dir die Konvergenz verhauen ...
Schaue nochmal scharf hin, dann siehst du, dass die Folge gegen ... konvergiert!
>
> vielen dank
Prego!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Mi 14.03.2012 | | Autor: | Dorothea |
| Aufgabe | untersuche auf konvergenz und bestimme wenn möglich den Grenzwert
an= [mm] (1+\bruch{1}{n+5})^n [/mm] |
oh okay cool danke! dann hab ichs auch:)
also ich habs abgeschätzt, sodass die fünf wegfällt. dann konvergiert das gegen e.
muss ich dass dann noch zeigen?
also ich weiß nie in wie weit ich das dann mit /an-a/< epsilon oder so zeigen muss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Mi 14.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> untersuche auf konvergenz und bestimme wenn möglich den
> Grenzwert
> an= [mm](1+\bruch{1}{n+5})^n[/mm]
> oh okay cool danke! dann hab ichs auch:)
>
> also ich habs abgeschätzt, sodass die fünf wegfällt.
> dann konvergiert das gegen e.
> muss ich dass dann noch zeigen?
Zeig mal was du gemacht hast
Tipp:
[mm] (1+\bruch{1}{n+5})^n=(1+\bruch{1}{n+5})^{n+5}*(1+\bruch{1}{n+5})^{-5}
[/mm]
FRED
>
> also ich weiß nie in wie weit ich das dann mit /an-a/<
> epsilon oder so zeigen muss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Mi 14.03.2012 | | Autor: | Dorothea |
also ich hab einfach gemacht
[mm](1+\bruch{1}{n+5})^n[/mm] [mm] \le (1+\bruch{1}{n})^n \le [/mm] e
somit hab ich die reihe abgeschätzt, reicht das? kann ich dann sagen, dass an nun auch gegen e konvergiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Mi 14.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> also ich hab einfach gemacht
>
> [mm](1+\bruch{1}{n+5})^n[/mm] [mm]\le (1+\bruch{1}{n})^n \le[/mm] e
>
>
> somit hab ich die reihe abgeschätzt, reicht das? kann ich
> dann sagen, dass an nun auch gegen e konvergiert?
Nein. Es ist z.B. [mm] $(-1)^n \le [/mm] 123* [mm] (1+\bruch{1}{n})^n.$
[/mm]
Aber [mm] ((-1)^n) [/mm] ist divergent.
FRED
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Mi 14.03.2012 | | Autor: | Dorothea |
hmm okay aber mit deinem tipp kann ich leider nichts anfangen
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Hallo nochmal,
> hmm okay aber mit deinem tipp kann ich leider nichts
> anfangen
Nun, deine Idee, die gegebene Folge abzuschätzen gegen eine Folge, die gegen [mm]e[/mm] konvergiert, ist schon in Ordnung, es genügt aber nicht, sie nur nach unten oder nach oben abzuschätzen.
Du musst sie einquetschen (also nach oben und unten abschätzen) zwischen (gegen) zwei Folgen, die gegen [mm]e[/mm] konvergieren.
Schaue dir dazu mal das "Sandwichlemma" oder auch "Einschließungslemma" an.
Freds Tip mit der Umformung war so gemeint, dass du die beiden Produktfolgen, die du da erhältst, getrennt auf Konvergenz untersuchen sollst. Dann helfen die Grenzwertsätze weiter.
Substituiere mal bei der ersten Folge [mm]m:=n+5[/mm] und bedenke, dass mit [mm]n\to\infty[/mm] dann auch [mm]m\to\infty[/mm] geht.
Was treibt also die erste Folge?
Was macht die zweite für [mm]n\to\infty[/mm]
Und was sagen letztlich die Genzwertsätze dazu?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Mi 14.03.2012 | | Autor: | Dorothea |
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> Du musst sie einquetschen (also nach oben und unten
> abschätzen) zwischen (gegen) zwei Folgen, die gegen [mm]e[/mm]
> konvergieren.
>
> Schaue dir dazu mal das "Sandwichlemma" oder auch
> "Einschließungslemma" an.
ja okay aber ich hab dich keine zweite folge die gegen e konvergiert oder? ich brauche ja noch eine folge an [mm] \le [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{n+5})n
[/mm]
da fällt mri aber keine ein, man könnte konstant e nehmen aber woher weiß ich das die kleiner gleich meiner folge isrt
> Freds Tip mit der Umformung war so gemeint, dass du die
> beiden Produktfolgen, die du da erhältst, getrennt auf
> Konvergenz untersuchen sollst. Dann helfen die
> Grenzwertsätze weiter.
>
> Substituiere mal bei der ersten Folge [mm]m:=n+5[/mm] und bedenke,
> dass mit [mm]n\to\infty[/mm] dann auch [mm]m\to\infty[/mm] geht.
>
> Was treibt also die erste Folge?
>
> Was macht die zweite für [mm]n\to\infty[/mm]
>
> Und was sagen letztlich die Genzwertsätze dazu?
okay wenn ich den Tipp verwende hab ich
(1 + [mm] \bruch{1}{m})^m [/mm] * (1 + [mm] \bruch{1}{n+5})^-5
[/mm]
un für n gegen unendlich geht der erste teil gegen e der dahinter gegen 1
hab ich es dann damit gezeigt?
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Hallo nochmal,
> >
> > Du musst sie einquetschen (also nach oben und unten
> > abschätzen) zwischen (gegen) zwei Folgen, die gegen [mm]e[/mm]
> > konvergieren.
> >
> > Schaue dir dazu mal das "Sandwichlemma" oder auch
> > "Einschließungslemma" an.
>
> ja okay aber ich hab dich keine zweite folge die gegen e
> konvergiert oder? ich brauche ja noch eine folge an [mm]\le[/mm] (1
> + [mm]\bruch{1}{n+5})n[/mm]
> da fällt mri aber keine ein, man könnte konstant e
> nehmen aber woher weiß ich das die kleiner gleich meiner
> folge isrt
Tja, das ist ja das Vertrackte an diesen Abschätzungen ...
>
>
> > Freds Tip mit der Umformung war so gemeint, dass du die
> > beiden Produktfolgen, die du da erhältst, getrennt auf
> > Konvergenz untersuchen sollst. Dann helfen die
> > Grenzwertsätze weiter.
> >
> > Substituiere mal bei der ersten Folge [mm]m:=n+5[/mm] und bedenke,
> > dass mit [mm]n\to\infty[/mm] dann auch [mm]m\to\infty[/mm] geht.
> >
> > Was treibt also die erste Folge?
> >
> > Was macht die zweite für [mm]n\to\infty[/mm]
> >
> > Und was sagen letztlich die Genzwertsätze dazu?
>
> okay wenn ich den Tipp verwende hab ich
> (1 + [mm]\bruch{1}{m})^m[/mm] * (1 + [mm]\bruch{1}{n+5})^-5[/mm]
> un für n gegen unendlich geht der erste teil gegen e der
> dahinter gegen 1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> hab ich es dann damit gezeigt?
Das kannst du dir selbst beanteorten:
Was sagen die GW-Sätze denn?
Du hast zwei Folgen [mm]a_n=\left(\left(1+\frac{1}{n+5}\right)^{n+5}\right)_{n\in\IN}[/mm] und [mm]b_n=\left(\left(1+\frac{1}{n+5}\right)^{-5}\right)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]a_n\longrightarrow e[/mm] und [mm]b_n\longrightarrow 1[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
Was sagen die GW-Sätze über Konvergenz von [mm](a_n\cdot{}b_n)_{n\in\IN}[/mm] und den Grenzwert davon?
Damit hast du doch den GW deiner Ausgangsfolge ...
Gruß
schachuzipus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Mi 14.03.2012 | | Autor: | Dorothea |
| Aufgabe | Untersuche auf Konvergenz
[mm] \sum_{n=1}^{\infinity} \wurzel[n]{2} [/mm] * [mm] (\bruch{e}{n})^n [/mm] |
ja das stimmt. die grenzwertsätze sagen ja genau dass dann der grenzwert a*b ist.
So jetzt noch eine letzte Aufgabe
hab versucht das wurzelkriterium anzuwenden und komme dan auf
[mm] \wurzel[n]{\wurzel[n]{2}} *\bruch{e}{n}
[/mm]
und dass ist doch für n gegen unendlich kleiner gleich null
bedeutet das dann das die reihe absolut konvergiert?
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Hallo nochmal,
> Untersuche auf Konvergenz
> [mm]\sum_{n=1}^{\infinity} \wurzel[n]{2}[/mm] * [mm](\bruch{e}{n})^n[/mm]
> ja das stimmt. die grenzwertsätze sagen ja genau dass
> dann der grenzwert a*b ist.
>
> So jetzt noch eine letzte Aufgabe
>
> hab versucht das wurzelkriterium anzuwenden und komme dan
> auf
>
> [mm]\wurzel[n]{\wurzel[n]{2}} *\bruch{e}{n}[/mm]
> und dass ist doch
> für n gegen unendlich kleiner gleich null
Es muss für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen ein $q$ mit $q<1$ konvergieren.
Und das tut es ja (es geht gegen 0)
> bedeutet das dann das die reihe absolut konvergiert?
Jo!
Gruß
schachuzipus
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