Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Do 08.11.2012 | | Autor: | apple314 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie [mm] jeweils(a_{n})_{n \in \IN} [/mm] auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
(a) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}+3n-4}{1+n^{2}+4n^{3}}
[/mm]
(b) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{9n^{2}+2n+1} [/mm] -3n
(c) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{(1+n)^{42}-n^{42}}{n^{41}}
[/mm]
(d) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] n^{4}(\wurzel[10]{1+3n^{-4}+n^{-9}}-1)
[/mm]
Hinweis: Binomischer Lehrsatz und geometrische Summenformel. |
Hi zusammen!
Obwohl ich dieses Thema aus der Oberstufe kannte bereitet mir diese Aufgabe echte Probleme.. Für (a) bin ich so vorgegangen:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}+3n-4}{1+n^{2}+4n^{3}}
[/mm]
= [mm] \bruch{n^{2}(1- \bruch{3}{n}+\bruch{4}{n^{2}})}{n^{2}(\bruch{1}{n^{2}} +1+4n)}
[/mm]
= [mm] \bruch{1- \bruch{3}{n} + \bruch{4}{n^{2}}}{1+4n+\bruch{1}{n^{2}}}
[/mm]
[mm] b_{n} [/mm] =1- [mm] \bruch{3}{n} [/mm] + [mm] \bruch{4}{n^{2} }
[/mm]
[mm] c_{n}=1+4n+\nruch{1}{n^{2}}
[/mm]
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{b_{n}}{c_{n}}
[/mm]
Durch die untersch. Potenzen gilt außerdem [mm] c_{n} [/mm] > [mm] b_{n}, [/mm] also [mm] \bruch{b_{n}}{c_{n}} \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Also:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}+3n-4}{1+n^{2}+4n^{3}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1- \bruch{3}{n} + \bruch{4}{n^{2}}}{1+4n+\nruch{1}{n^{2}}} [/mm] = 0
Stimmt das erstmal so?
Für (b) hab ich dann so angefangen..
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{9n^{2}+2n+1} [/mm] -3n
= [mm] \bruch{(\wurzel{9n^{2}+2n+1} -3n)(\wurzel{9n^{2}+2n+1} +3n)}{\wurzel{9n^{2}+2n+1} +3n}
[/mm]
= [mm] \bruch{2n+1}{\wurzel{9n^{2}+2n+1} +3n}
[/mm]
.. und ab hier komm ich nicht weiter... ich hab auch nicht das Gefühl, dass meine Umformungen sonderlich hilfreich waren.. hat hier vielleicht jemand einen Tipp?
(c) hab ich auch nicht wirklich einen Ansatz gefunden, hier hatte ich überhaupt keine Idee wie ich irgendwie ausklammern soll.. Ich kenn das nur aus der Schule, dass man sich das Verhältnis von Zähler und Nenner anschaut, also ob Z > N oder andersum oder gleich und dass man dann daraus folger
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Hi apple314,
dein Artikel ist leider so kaum lesbar.
Redigiere ihn zuerst und achte auf die korrekte
$\ [mm] T_E [/mm] X$ - Beklammerung !
LG
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Hiho,
> Durch die untersch. Potenzen gilt außerdem [mm]c_{n}[/mm] > [mm]b_{n},[/mm] also [mm]\bruch{b_{n}}{c_{n}} \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty.[/mm]
Das reicht nicht als Begründung, dass [mm] $a_n \to [/mm] 0$.
Wenn [mm] $c_n [/mm] > [mm] b_n$, [/mm] kann da immer noch alles herauskommen (ich konstruier dir gerne für jedes [mm] c\in\IR [/mm] ein Beispiel  )
Bei Brüchen klammert man immer die höchste Potenz aus! Das ist in deinem Fall nicht [mm] $n^2$, [/mm] sondern?
Dann kannst du so argumentieren, wie du es bisher gemacht hast.
> = [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{9n^{2}+2n+1} +3n}[/mm]
>
> .. und ab hier komm ich nicht weiter... ich hab auch nicht
> das Gefühl, dass meine Umformungen sonderlich hilfreich
> waren.. hat hier vielleicht jemand einen Tipp?
Doch, waren sie.
Klammer nun aus der Klammer [mm] 9n^2 [/mm] aus und nutze Wurzelgesetze, dann hast du einen gemeinsamen Faktor im Nenner, den du wiederum ausklammern kannst 
Dann wieder höchste Potenz ausklammern und wie bei a) vorgehen.
> (c) hab ich auch nicht wirklich einen Ansatz gefunden, hier
> hatte ich überhaupt keine Idee wie ich irgendwie
> ausklammern soll.. Ich kenn das nur aus der Schule, dass
> man sich das Verhältnis von Zähler und Nenner anschaut,
> also ob Z > N oder andersum oder gleich und dass man dann
> daraus folger
Nochmal: Ob Zähler größer Nenner sagt gar nix aus!
Höchstens, ob die höchste Potenz von n im Zähler größer ist, als die im Nenner.
Als Tip: Klammer im Zähler n^42 aus, kürze und ziehe das übrigbleibende n dann wieder rein.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Do 08.11.2012 | | Autor: | apple314 |
> Hiho,
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> > Durch die untersch. Potenzen gilt außerdem [mm]c_{n}[/mm] > [mm]b_{n},[/mm]
> also [mm]\bruch{b_{n}}{c_{n}} \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty.[/mm]
>
> Das reicht nicht als Begründung, dass [mm]a_n \to 0[/mm].
> Wenn [mm]c_n > b_n[/mm],
> kann da immer noch alles herauskommen (ich konstruier dir
> gerne für jedes [mm]c\in\IR[/mm] ein Beispiel )
> Bei Brüchen klammert man immer die höchste Potenz aus!
> Das ist in deinem Fall nicht [mm]n^2[/mm], sondern?
> Dann kannst du so argumentieren, wie du es bisher gemacht
> hast.
Okay, wenn ich [mm] n^{3} [/mm] ausklammere, erhalte ich:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch {n^{3} (\bruch{1}{n} + \bruch{3}{n^{2}}- \bruch{4}{n^{3}}}{n^{3}(\bruch{1}{n^{3}}+\bruch{1}{n} +4}
[/mm]
Dann gilt für den Zähler [mm] b_{n} \to [/mm] 0 und [mm] c_{n} \to [/mm] 4, also insgesamt konvergiert [mm] a_{n} [/mm] dann gegen Null, unter Angabe der Begründungen . Oder?
>
> > = [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{9n^{2}+2n+1} +3n}[/mm]
> >
> > .. und ab hier komm ich nicht weiter... ich hab auch nicht
> > das Gefühl, dass meine Umformungen sonderlich hilfreich
> > waren.. hat hier vielleicht jemand einen Tipp?
>
> Doch, waren sie.
> Klammer nun aus der Klammer [mm]9n^2[/mm] aus und nutze
> Wurzelgesetze, dann hast du einen gemeinsamen Faktor im
> Nenner, den du wiederum ausklammern kannst
> Dann wieder höchste Potenz ausklammern und wie bei a)
> vorgehen.
>
Also [mm] \wurzel{9n^{2}} [/mm] wäre ja 3n .. Dann würde im Nenner stehen [mm] \wurzel{2n+1} [/mm] + 6n ? Aber was Fang ich dann damit an? :(
> > (c) hab ich auch nicht wirklich einen Ansatz gefunden, hier
> > hatte ich überhaupt keine Idee wie ich irgendwie
> > ausklammern soll.. Ich kenn das nur aus der Schule, dass
> > man sich das Verhältnis von Zähler und Nenner anschaut,
> > also ob Z > N oder andersum oder gleich und dass man dann
> > daraus folger
>
> Nochmal: Ob Zähler größer Nenner sagt gar nix aus!
> Höchstens, ob die höchste Potenz von n im Zähler
> größer ist, als die im Nenner.
> Als Tip: Klammer im Zähler n^42 aus, kürze und ziehe das
> übrigbleibende n dann wieder rein.
>
> MFG,
> Gono.
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Hallo apple314!
> Okay, wenn ich [mm]n^{3}[/mm] ausklammere, erhalte ich:
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch {n^{3} (\bruch{1}{n} + \bruch{3}{n^{2}}- \bruch{4}{n^{3}}}{n^{3}(\bruch{1}{n^{3}}+\bruch{1}{n} +4}[/mm]
>
> Dann gilt für den Zähler [mm]b_{n} \to[/mm] 0 und [mm]c_{n} \to[/mm] 4,
> also insgesamt konvergiert [mm]a_{n}[/mm] dann gegen Null, unter
> Angabe der Begründungen . Oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo!
> Also [mm]\wurzel{9n^{2}}[/mm] wäre ja 3n .. Dann würde im Nenner
> stehen [mm]\wurzel{2n+1}[/mm] + 6n ?
![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]") Nein, auf keinen Fall. Du darfst doch nicht summandenweise die Wurzel ziehen:
[mm] $\wurzal{a+b} [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] \wurzel{a}+\wurzel{b}$
[/mm]
Klammere unter der Wurzel [mm] $n^2$ [/mm] aus, dann kannst Du anschließend im Nenner $n_$ ausklammern und ebenso im Zähler.
Dann ergibt sich ...?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Do 08.11.2012 | | Autor: | apple314 |
Okay, also ich habe den Nenner mit
[mm] \wurzel{9n^{2}+2n+1} [/mm] +3n
= [mm] \wurzel{n^{2}(9+\bruch{2}{n} + \bruch{1}{n^{2}}} [/mm] +3n
Wenn ich dann n aus Zähler und Nenner ausklammere erhalte ich
[mm] \bruch{2+ \bruch{1}{n}}{\wurzel{9+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^{2}}}+3}
[/mm]
?
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Hallo apple!
Das sieht doch gut aus.
Nun die Grenzwertbetrachtung [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] ...
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo apple314!
Zu dieser Teilaufgabe siehe auch mal hier.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Do 08.11.2012 | | Autor: | apple314 |
Und noch zu c):
Würde das so gehen :
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{(1+n)^{42} - n^{42}}{n^{41}}
[/mm]
= [mm] \bruch{n^{42}((\bruch{1}{n} +1)-1)}{n^{42}}
[/mm]
= [mm] \bruch{n^{42} • (\bruch{1}{n})}{n^{42}}
[/mm]
[mm] =\bruch{n^{41}}{n^{41}}
[/mm]
Also konvergiert [mm] a_{n} [/mm] gegen 1??
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Hallo apple314,
> Und noch zu c):
> Würde das so gehen :
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{(1+n)^{42} - n^{42}}{n^{41}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{n^{42}((\bruch{1}{n} +1)-1)}{n^{42}}[/mm]
Was ist denn da im Zähler passiert und wieso steht im Nenner nun [mm]n^{42}[/mm]? Vorher war es noch [mm]n^{41}[/mm] ...
Richtig: [mm]\frac{(1+n)^{42}-n^{42}}{n^{41}}=\frac{n^{42}\cdot{}\left[\left(\frac{1}{n}+1\right)^{42}-1\right]}{n^{41}}[/mm] ...
>
> = [mm]\bruch{n^{42} • (\bruch{1}{n})}{n^{42}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{n^{41}}{n^{41}}[/mm]
>
> Also konvergiert [mm]a_{n}[/mm] gegen 1??
Gruß
schachuzipus
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