Konvergenz von Folgen&Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Di 22.02.2011 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
da ich am Donnerstag Klausur schreibe, habe ich heute mal versucht eine alte Klausur zu lösen. Allerdings scheiter ich bereits an der Aufgabe zur Konvergenz von Folgen und Reihen...
Kann mir jemand vielleicht helfen, die Aufgabe zu lösen und zu verstehen?
Hinbekommen habe ich glaube ich die a) und die e), bei allen anderen scheiter ich bei irgendeinem Schritt...
Also zur a)
Vermutung:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = 0
z.z.: [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_0 (\varepsilon [/mm] ) [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_0 [/mm] : [mm] |a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel[3]{n}} [/mm] - 0| [mm] \le \varepsilon
[/mm]
Setze [mm] n_0 (\varepsilon) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\varepsilon^3} [/mm] für jedes bel. [mm] \varepsilon [/mm] >0. Dann gilt für alle n [mm] \ge n_0:
[/mm]
n [mm] \ge \bruch{1}{\varepsilon^3} \Rightarrow \bruch{1}{\wurzel[3]{n}} \le \varepsilon \Rightarrow \bruch{1}{\wurzel[3]{n}} [/mm] - 0| [mm] \le \varepsilon
[/mm]
Wär das so korrekt?
Und bei der e) hab ich das Wurzelkriterium verwendet und komme somit auf [mm] \bruch{5}{6} [/mm] = q < 1, weshalb die Reihe nach dem Wurzelkriterium konvergiert...
Bei der d) wollte ich das Quotientenkriterium benutzen, allerdings weiß ich nicht wie ich das umformen soll... Wäre das denn der richtige Ansatz mit dem Quotientenkrit?
Und bei b) hab ich den Grenzwert ausgerechnet, der wäre bei mir = 0, allerdings bekomm ich die Konvergenz nicht gezeigt...
Und tja, bei der c) hab ich überhaupt keine Idee...
Bitte helft mir...
LG Pia
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Moin,
> Überprüfen Sie, ob die folgenden Folgen bzw. Reihen
> konvergent, bestimmt divergent oder unbestimmt divergent
> sind. Ermitteln Sie bei den konvergenten Folgen (nicht
> Reihen) zusätzlich den Grenzwert.
> a) [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel[3]{n}}[/mm]
> b) [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{6n^3+8n-2}{4n^4+2n^2+1}[/mm]
> c) [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{2+\bruch{1}{\wurzel{n}}}{\wurzek{n} +5^{-n}}[/mm]
>
> d) [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{n^5+3n^2}{n^6-n}[/mm]
> e)
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] ( [mm]\bruch{5}{6}[/mm] + [mm]\bruch{1}{n})^n[/mm]
> Hallo zusammen,
> da ich am Donnerstag Klausur schreibe, habe ich heute mal
> versucht eine alte Klausur zu lösen. Allerdings scheiter
> ich bereits an der Aufgabe zur Konvergenz von Folgen und
> Reihen...
> Kann mir jemand vielleicht helfen, die Aufgabe zu lösen
> und zu verstehen?
> Hinbekommen habe ich glaube ich die a) und die e), bei
> allen anderen scheiter ich bei irgendeinem Schritt...
>
> Also zur a)
> Vermutung:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = 0
> z.z.: [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists n_0 (\varepsilon[/mm] )
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge n_0[/mm] : [mm]|a_n[/mm] [mm] \red{=}[/mm] [mm]\bruch{1}{\wurzel[3]{n}}[/mm] - 0| [mm]\le \varepsilon[/mm]
Das markierte "=" ist etwas suspekt, solltest du dann beim Beweis lieber nicht so aufschreiben.
> Setze [mm]n_0 (\varepsilon)[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\varepsilon^3}[/mm] für jedes bel. [mm]\varepsilon[/mm] >0.
> Dann gilt für alle n [mm]\ge n_0:[/mm]
> n [mm]\ge \bruch{1}{\varepsilon^3} \Rightarrow \bruch{1}{\wurzel[3]{n}} \le \varepsilon \Rightarrow \bruch{1}{\wurzel[3]{n}}[/mm]
> - 0| [mm]\le \varepsilon[/mm]
>
> Wär das so korrekt?
Jo
>
> Und bei der e) hab ich das Wurzelkriterium verwendet und
> komme somit auf [mm]\bruch{5}{6}[/mm] = q < 1, weshalb die Reihe
> nach dem Wurzelkriterium konvergiert...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Bei der d) wollte ich das Quotientenkriterium benutzen,
> allerdings weiß ich nicht wie ich das umformen soll...
> Wäre das denn der richtige Ansatz mit dem Quotientenkrit?
Klammer mal [mm] n^5 [/mm] aus Zähler und Nenner aus und kürz es dann weg. Das wird dich dann an etwas erinnern. 'Harmonische Reihe'
>
> Und bei b) hab ich den Grenzwert ausgerechnet, der wäre
> bei mir = 0, allerdings bekomm ich die Konvergenz nicht
> gezeigt...
Auch hier [mm] n^3 [/mm] ausklammern und kürzen. Dann Grenzwertsätze anwenden. Oder einfach draufschauen: Wohin geht der Zähler, wohin der Nenner?
> Und tja, bei der c) hab ich überhaupt keine Idee...
Hier geht der Zähler im Wesentlichen gegen 2 und der Nenner gegen [mm] \infty. [/mm] Also?
>
> Bitte helft mir...
Nicht verzweifeln
>
> LG Pia
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Di 22.02.2011 | | Autor: | Pia90 |
Danke erstmal für deine Antwort!!! Ok, also ganz langsam Schritt für Schritt für mich :)
Teil a) und e) wären also geschafft und es fehlen nur noch b)-d) ...
> Das markierte "=" ist etwas suspekt,
> solltest du dann beim Beweis lieber nicht so aufschreiben.
Oh, das ist hier irgendwie reingerutscht, auch das [mm] a_n [/mm] gehört da eigentlich nicht hin ...
> > Bei der d) wollte ich das Quotientenkriterium benutzen,
> > allerdings weiß ich nicht wie ich das umformen soll...
> > Wäre das denn der richtige Ansatz mit dem Quotientenkrit?
> Klammer mal [mm]n^5[/mm] aus Zähler und Nenner aus und kürz es
> dann weg. Das wird dich dann an etwas erinnern.
> 'Harmonische Reihe'
Moment, also ich habe jetzt [mm] \bruch{(n+1)^5 + 3(n+1)^2}{(n+1)^6 - (n+1)} [/mm] * [mm] \bruch{n^6-n}{n^5+3n^2}
[/mm]
Da soll ich jetzt [mm] n^5 [/mm] ausklammern?
> > Und bei b) hab ich den Grenzwert ausgerechnet, der wäre
> > bei mir = 0, allerdings bekomm ich die Konvergenz nicht
> > gezeigt...
> Auch hier [mm]n^3[/mm] ausklammern und kürzen. Dann
> Grenzwertsätze anwenden. Oder einfach draufschauen: Wohin
> geht der Zähler, wohin der Nenner?
Aber die Grenzwertsätze hab ich ja für den Grenzwert verwendet, aber ich muss ja zeigen, dass die Folge überhaupt konvergiert...
> > Und tja, bei der c) hab ich überhaupt keine Idee...
> Hier geht der Zähler im Wesentlichen gegen 2 und der
> Nenner gegen [mm]\infty.[/mm] Also?
Aber ich muss ja nicht einfach den Grenzwert bestimmen, sondern die Konvergenz erstmal zeigen ....
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Hallo,
> Danke erstmal für deine Antwort!!! Ok, also ganz langsam
> Schritt für Schritt für mich :)
Kein Ding ;D
>
> Teil a) und e) wären also geschafft und es fehlen nur noch
> b)-d) ...
>
> > Das markierte "=" ist etwas suspekt,
> > solltest du dann beim Beweis lieber nicht so aufschreiben.
>
> Oh, das ist hier irgendwie reingerutscht, auch das [mm]a_n[/mm]
> gehört da eigentlich nicht hin ...
>
> > > Bei der d) wollte ich das Quotientenkriterium benutzen,
> > > allerdings weiß ich nicht wie ich das umformen soll...
> > > Wäre das denn der richtige Ansatz mit dem Quotientenkrit?
> > Klammer mal [mm]n^5[/mm] aus Zähler und Nenner aus und kürz es
> > dann weg. Das wird dich dann an etwas erinnern.
> > 'Harmonische Reihe'
>
> Moment, also ich habe jetzt [mm]\bruch{(n+1)^5 + 3(n+1)^2}{(n+1)^6 - (n+1)}[/mm]
> * [mm]\bruch{n^6-n}{n^5+3n^2}[/mm]
> Da soll ich jetzt [mm]n^5[/mm] ausklammern?
Ich hätte verdeutlichen sollen, dass es dabei nicht mehr um das QK geht, sondern eher um das Auffinden einer Minorante.
[mm] $\bruch{n^5+3n^2}{n^6-n}$=$ \bruch{n^5(1+3n^{-3})}{n^5(n-n^{-4})}$= $\bruch{1+3n^{-3}}{n-n^{-4}}\geq\frac{1}{2n}$
[/mm]
Hier wurde der Zähler mit 1 und der Nenner mit 2n abgeschätzt [mm] (2n\geq n+n^{-4} [/mm] für [mm] n\geq1). [/mm] Damit gibt es eine divergente Minorante
>
> > > Und bei b) hab ich den Grenzwert ausgerechnet, der wäre
> > > bei mir = 0, allerdings bekomm ich die Konvergenz nicht
> > > gezeigt...
> > Auch hier [mm]n^3[/mm] ausklammern und kürzen. Dann
> > Grenzwertsätze anwenden. Oder einfach draufschauen: Wohin
> > geht der Zähler, wohin der Nenner?
>
> Aber die Grenzwertsätze hab ich ja für den Grenzwert
> verwendet, aber ich muss ja zeigen, dass die Folge
> überhaupt konvergiert...
Auch hier
$ [mm] \bruch{6n^3+8n-2}{4n^4+2n^2+1}=\bruch{n^3(6+8n^{-2}-2n^{-3})}{n^3(4n+2n^{-1}+n{-3})}=\bruch{6+8n^{-2}-2n^{-3}}{4n+2n^{-1}+n{-3}}$
[/mm]
An dieser Stelle kannst du Grenzwertsätze in Zähler und Nenner anwenden.
>
>
> > > Und tja, bei der c) hab ich überhaupt keine Idee...
> > Hier geht der Zähler im Wesentlichen gegen 2 und der
> > Nenner gegen [mm]\infty.[/mm] Also?
>
> Aber ich muss ja nicht einfach den Grenzwert bestimmen,
> sondern die Konvergenz erstmal zeigen ....
zeigst du, indem du die Existenz eines Grenzwertes belegst. Der ist hier ja 0, wenn der Nenner groß wird.
>
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:12 Mi 23.02.2011 | | Autor: | Pia90 |
> > > > Bei der d) wollte ich das Quotientenkriterium benutzen,
> > > > allerdings weiß ich nicht wie ich das umformen soll...
> > > > Wäre das denn der richtige Ansatz mit dem Quotientenkrit?
> > > Klammer mal [mm]n^5[/mm] aus Zähler und Nenner aus und kürz
> es
> > > dann weg. Das wird dich dann an etwas erinnern.
> > > 'Harmonische Reihe'
> >
> > Moment, also ich habe jetzt [mm]\bruch{(n+1)^5 + 3(n+1)^2}{(n+1)^6 - (n+1)}[/mm]
> > * [mm]\bruch{n^6-n}{n^5+3n^2}[/mm]
> > Da soll ich jetzt [mm]n^5[/mm] ausklammern?
> Ich hätte verdeutlichen sollen, dass es dabei nicht mehr
> um das QK geht, sondern eher um das Auffinden einer
> Minorante.
> [mm]\bruch{n^5+3n^2}{n^6-n}[/mm]=[mm] \bruch{n^5(1+3n^{-3})}{n^5(n-n^{-4})}[/mm]=
> [mm]\bruch{1+3n^{-3}}{n-n^{-4}}\geq\frac{1}{2n}[/mm]
> Hier wurde der Zähler mit 1 und der Nenner mit 2n
> abgeschätzt [mm](2n\geq n+n^{-4}[/mm] für [mm]n\geq1).[/mm] Damit gibt es
> eine divergente Minorante
Ich verstehe die Abschätzung nicht so ganz... Die Schritte davor mit dem Ausklammern bekomm ich noch hin, aber wie kommt man dann auf [mm] \ge \bruch{1}{2n}?! [/mm] Der Zähler erscheint mir noch plausibel, da [mm] 3n^{-3} [/mm] ja gegen 0 konvergieren würde, also bliebe die 1... aber im Nenner?!
> >
> > > > Und bei b) hab ich den Grenzwert ausgerechnet, der wäre
> > > > bei mir = 0, allerdings bekomm ich die Konvergenz nicht
> > > > gezeigt...
> > > Auch hier [mm]n^3[/mm] ausklammern und kürzen. Dann
> > > Grenzwertsätze anwenden. Oder einfach draufschauen: Wohin
> > > geht der Zähler, wohin der Nenner?
> >
> > Aber die Grenzwertsätze hab ich ja für den Grenzwert
> > verwendet, aber ich muss ja zeigen, dass die Folge
> > überhaupt konvergiert...
> Auch hier
>
> [mm]\bruch{6n^3+8n-2}{4n^4+2n^2+1}=\bruch{n^3(6+8n^{-2}-2n^{-3})}{n^3(4n+2n^{-1}+n{-3})}=\bruch{6+8n^{-2}-2n^{-3}}{4n+2n^{-1}+n{-3}}[/mm]
> An dieser Stelle kannst du Grenzwertsätze in Zähler und
> Nenner anwenden.
Soweit bin ich auch gekommen :) Aber reicht das wirklich aus, um die Konvergenz zu zeigen, wenn ich direkt die Grenzwertsätze anwende? Oder ist dieser Aufgabenteil b) wirklich so "einfach"?
Könnte ich dann schreiben, dass die Folge konvergiert, weil ihr Grenzwert existiert?
> >
> >
> > > > Und tja, bei der c) hab ich überhaupt keine Idee...
> > > Hier geht der Zähler im Wesentlichen gegen 2 und
> der
> > > Nenner gegen [mm]\infty.[/mm] Also?
Das ganze würde dann gegen 0 gehen... Also wär die Folge auch konvergent...
Ich hab noch eine andere Frage und zwar, was ist der Unterschied zwischen bestimmt divergent und unbestimmt divergent?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:00 Mi 23.02.2011 | | Autor: | Walde |
Hi Pia,
> > Ich hätte verdeutlichen sollen, dass es dabei nicht
> mehr
> > um das QK geht, sondern eher um das Auffinden einer
> > Minorante.
> > [mm]\bruch{n^5+3n^2}{n^6-n}[/mm]=[mm] \bruch{n^5(1+3n^{-3})}{n^5(n-n^{-4})}[/mm]=
> > [mm]\bruch{1+3n^{-3}}{n-n^{-4}}\geq\frac{1}{2n}[/mm]
> > Hier wurde der Zähler mit 1 und der Nenner mit 2n
> > abgeschätzt [mm](2n\geq n+n^{-4}[/mm] für [mm]n\geq1).[/mm] Damit gibt es
> > eine divergente Minorante
>
> Ich verstehe die Abschätzung nicht so ganz... Die Schritte
> davor mit dem Ausklammern bekomm ich noch hin, aber wie
> kommt man dann auf [mm]\ge \bruch{1}{2n}?![/mm] Der Zähler
> erscheint mir noch plausibel, da [mm]3n^{-3}[/mm] ja gegen 0
> konvergieren würde, also bliebe die 1... aber im Nenner?!
Das hat nichts damit zu tun wohin was konvergieren würde. Wenn man einen Term nach oben/unten abschätzen will, muss man einen neuen Term finden, der (immer oder unter gewissen Bedingungen) grösser/kleiner als der vorherige ist. Hier sucht man eine Abschätzung nach unten, also sucht man einen kleineren Term. Ein Bruch ist kleiner als ein anderer, falls sein Zähler kleiner und/oder sein Nenner grösser ist. Hier wird beides gemacht.
Der Zähler verkleinert, denn [mm] 1+\bruch{3}{n^3}>1 [/mm] (für positive n) und gleichzeitig der Nenner vergrössert, denn [mm] n-\bruch{1}{n^4}\le [/mm] 2n (für positive n)
Im Post von Kamaleonti stand [mm] n\red{+}\bruch{1}{n^4}\le [/mm] 2n, aber ursrünglich war es ja ein -, also hätte es die Abschätzung durch einfach n auch getan.
>
> > >
> > > > > Und bei b) hab ich den Grenzwert ausgerechnet, der wäre
> > > > > bei mir = 0, allerdings bekomm ich die Konvergenz nicht
> > > > > gezeigt...
> > > > Auch hier [mm]n^3[/mm] ausklammern und kürzen. Dann
> > > > Grenzwertsätze anwenden. Oder einfach draufschauen: Wohin
> > > > geht der Zähler, wohin der Nenner?
> > >
> > > Aber die Grenzwertsätze hab ich ja für den Grenzwert
> > > verwendet, aber ich muss ja zeigen, dass die Folge
> > > überhaupt konvergiert...
> > Auch hier
> >
> >
> [mm]\bruch{6n^3+8n-2}{4n^4+2n^2+1}=\bruch{n^3(6+8n^{-2}-2n^{-3})}{n^3(4n+2n^{-1}+n{-3})}=\bruch{6+8n^{-2}-2n^{-3}}{4n+2n^{-1}+n{-3}}[/mm]
> > An dieser Stelle kannst du Grenzwertsätze in Zähler
> und
> > Nenner anwenden.
>
> Soweit bin ich auch gekommen :) Aber reicht das wirklich
> aus, um die Konvergenz zu zeigen, wenn ich direkt die
> Grenzwertsätze anwende? Oder ist dieser Aufgabenteil b)
> wirklich so "einfach"?
> Könnte ich dann schreiben, dass die Folge konvergiert,
> weil ihr Grenzwert existiert?
>
Naja, wenn du doch einen Grenzwert sogar angeben kannst, ist doch die Folge auch konvergent. Es ist öfter umgekehrt so, dass man zwar die Konvergenz zeigen kann [mm] (\gdw [/mm] es ex ein GW),aber man kennt ihn halt nicht.
Die Grenzwertrechenregeln sagen ja (Beipspiel hier): wenn der GW der Zählerfolge ex. und der der Nennerfolge ex. u ungleich 0 ist, dann existiert auch der GW der Quotientenfolge.
> > >
> > >
> > > > > Und tja, bei der c) hab ich überhaupt keine Idee...
> > > > Hier geht der Zähler im Wesentlichen gegen 2 und
> > der
> > > > Nenner gegen [mm]\infty.[/mm] Also?
>
> Das ganze würde dann gegen 0 gehen... Also wär die Folge
> auch konvergent...
>
Ja.
>
> Ich hab noch eine andere Frage und zwar, was ist der
> Unterschied zwischen bestimmt divergent und unbestimmt
> divergent?
Die allwissende Wikipedia ![[]](/images/popup.gif) hilft auch hier
LG walde
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:19 Mi 23.02.2011 | | Autor: | Pia90 |
> Das hat nichts damit zu tun wohin was konvergieren würde.
> Wenn man einen Term nach oben/unten abschätzen will, muss
> man einen neuen Term finden, der (immer oder unter gewissen
> Bedingungen) grösser/kleiner als der vorherige ist. Hier
> sucht man eine Abschätzung nach unten, also sucht man
> einen kleineren Term. Ein Bruch ist kleiner als ein
> anderer, falls sein Zähler kleiner und/oder sein Nenner
> grösser ist. Hier wird beides gemacht.
>
> Der Zähler verkleinert, denn [mm]1+\bruch{3}{n^3}>1[/mm] (für
> positive n) und gleichzeitig der Nenner vergrössert, denn
> [mm]n-\bruch{1}{n^4}\le[/mm] 2n (für positive n)
>
> Im Post von Kamaleonti stand [mm]n\red{+}\bruch{1}{n^4}\le[/mm] 2n,
> aber ursrünglich war es ja ein -, also hätte es die
> Abschätzung durch einfach n auch getan.
>
>
Vielen Dank, jetzt habe ich es glaube ich verstanden :)
> >
> > Ich hab noch eine andere Frage und zwar, was ist der
> > Unterschied zwischen bestimmt divergent und unbestimmt
> > divergent?
>
>
> Die allwissende Wikipedia
> hilft
> auch hier
Also wenn ich das richtig verstanden habe, dann wär die Reihe in d) bestimmt divergent?! (Weil die divergente Minorante exisitert?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:38 Mi 23.02.2011 | | Autor: | Walde |
Ja.
Unbestimmt divergent wäre zum Beispiel [mm] a_n=(-1)^n
[/mm]
LG walde
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:43 Mi 23.02.2011 | | Autor: | Pia90 |
Vielen Dank!!!
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