Konvergenz von Folgen/Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Sei [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_k [/mm] eine divergente Reihe und sei [mm] a_k [/mm] > 0 für alle [mm] k\in\IN [/mm]. Zeigen Sie, dass es eine divergente Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} b_k [/mm] mit [mm] b_k [/mm] > 0 für alle [mm] k\in\IN [/mm] und [mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{b_k}{a_k} [/mm] = 0 gibt.
b) Muss die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_k^3 [/mm] konvergent sein, falls die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_k [/mm] konvergent ist? |
Hallo zusammen,
ich komme mit den Aufgaben nicht so recht weiter.
Meine Überlegungen/Fragen:
Zu a):
1. Falls [mm] a_k [/mm] gegen unendlich konvergiert. Dann ist doch auch die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_k [/mm] divergent, oder? Könnte es sich in diesem Fall bei [mm] b_k [/mm] um eine konstante Folge handeln?
2. Falls [mm] a_k [/mm] nicht gegen undendlich konvergiert, dann müsste es sich bei [mm] b_k [/mm] doch um eine Nullfolge handeln, damit [mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{b_k}{a_k} [/mm] = 0 gilt?
Aber ich habe leider keine Idee, in welche Richtung ich bei der Aufgabe weiter denken muss, beziehungsweise wie ich wirklich eine konkrete Reihe konstruieren kann, sodass die Bedingungen gelten.
Zu b)
Ich bin der Meinung, dass die Aussage nicht gilt, sodass ich, um sie zu widerlegen, ein Gegenbeispiel brauche. Aber auch hier fehlt mir leider der Ansatz.
Ich würde mich über jeden Tipp und jede Idee freuen.
Vielen Dank und liebe Grüße,
die Nachfragerin.
P.S.: Ich bin ganz neu hier. Verzeiht mir bitte eventuelle Fehler die ich mache, und helft mir es besser zu machen. Danke :).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:20 So 20.11.2011 | | Autor: | Helbig |
> a) Sei [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_k[/mm] eine divergente Reihe und
> sei [mm]a_k[/mm] > 0 für alle [mm]k\in\IN [/mm]. Zeigen Sie, dass es eine
> divergente Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty} b_k[/mm] mit [mm]b_k[/mm] > 0 für
> alle [mm]k\in\IN[/mm] und [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{b_k}{a_k}[/mm] = 0
> gibt.
>
> b) Muss die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_k^3[/mm] konvergent
> sein, falls die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_k[/mm] konvergent
> ist?
>
> Hallo zusammen,
> ich komme mit den Aufgaben nicht so recht weiter.
>
> Meine Überlegungen/Fragen:
>
> Zu a):
> 1. Falls [mm]a_k[/mm] gegen unendlich konvergiert. Dann ist doch
> auch die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_k[/mm] divergent, oder?
> Könnte es sich in diesem Fall bei [mm]b_k[/mm] um eine konstante
> Folge handeln?
Genau das!
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> 2. Falls [mm]a_k[/mm] nicht gegen undendlich konvergiert, dann
> müsste es sich bei [mm]b_k[/mm] doch um eine Nullfolge handeln,
> damit [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{b_k}{a_k}[/mm] = 0 gilt?
Richtig. Du mußt eine Nullfolge finden, so daß die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty b_k$ [/mm] noch divergiert.
Deine Fallunterscheidung [mm] $a_k\to\infty$ [/mm] und [mm] $a_k\to [/mm] 0$ deckt nicht alle Fälle ab und ist auch unnötig. Untersuche die beiden Fälle [mm] $a_k$ [/mm] ist Nullfolge und [mm] $a_k$ [/mm] ist keine Nullfolge und beachte das Minorantenkriterium.
Bei (b) bin ich der Meinung, daß die Aussage stimmt. Dies ist eine Anwendung des Majorantenkriteriums.
Grüße
Wolfgang
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