Konvergenz von Funktionenfolge < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Do 28.06.2007 | | Autor: | HoaX |
| Aufgabe | Es bezeichne B := { [mm] {X\in \IR^m : ||X|| \le 1} [/mm] } die Einheitskugel im [mm] \IR^m [/mm] und { [mm] f_n [/mm] } n [mm] \in \IN [/mm] eine Folge von Funktionen, gegeben durch
[mm] f_n [/mm] : [mm] B\to \IR, [/mm] f(X) = [mm] ||X||^n
[/mm]
Untersuchen Sie, ob die gegebene Folge von Funktionen punktweise oder sogar gleichmäßig konvergent ist. Geben Sie gegebenenfalls auch die jeweils resultierende Grenzfunktion an |
Habe schon ähnliche Aufgaben zu denen ich die Lösungen habe durchgearbeitet und zwar nur schwerlich verstanden, aber anhand des gleichbleibenden Schemas nachvollziehen können. Allerdings waren diese immer in der Form zB
Für n [mm] \ge [/mm] 2 sei [mm] f_n [/mm] : [mm] [0,1]\to \IR [/mm] definiert durch [mm] f_n(x)=\begin{cases} n^2x, & \mbox{für } x \in [0, 1/n] \\ 2n-n^2x, & \mbox{für } x \in [1/n, 2/n] \\ 0, & \mbox{für } x \in [2/n, 1] \end{cases}
[/mm]
Die vorliegende Aufgabe überfordert mich leider derart, dass ich momentan nicht einmal einen vernünftigen Ansatz hinbekomme - würde mich freuen, wenn mir jemand die Aufgabe erklären könnte
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Guck' doch mal Hoax,
die x Werte der fn kommem aus B, in B ist aber gerade die Norm von X immer kleiner gleich 1. Dies heisst also, dass dann [mm] \parallel [/mm] X [mm] \parallel^n [/mm] auch immer kleiner gleich 1 sein muss. Es gilt somit für jedes X (und für n [mm] \to \infty [/mm] ):
fn(x) [mm] \to [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x < 1 und
fn(x) [mm] \to [/mm] 1 für x =1. Die Grenzfunktion lautet also:
[mm] f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<1 \\ 1, & \mbox{für } x =1 \end{cases}.
[/mm]
Die Folge fn konvergiert also punktweise (hängt ja von der speziellen Wahl von x ab), gleichmäßig konvergiert sie nur auf [mm] B'={X:\parallel X \parallel <1}.
[/mm]
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Guck' doch mal Hoax,
die x Werte der fn kommem aus B, in B ist aber gerade die Norm von X immer kleiner gleich 1. Dies heisst also, dass dann [mm] \parallel [/mm] X [mm] \parallel^n [/mm] auch immer kleiner gleich 1 sein muss. Es gilt somit für jedes X (und für n [mm] \to \infty [/mm] ):
fn(x) [mm] \to [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x < 1 und
fn(x) [mm] \to [/mm] 1 für x =1. Die Grenzfunktion lautet also:
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<1 \\ 1, & \mbox{für } x =1 \end{cases}.
[/mm]
Die Folge fn konvergiert also punktweise (hängt ja von der speziellen Wahl von x ab), gleichmäßig konvergiert sie nur auf [mm] B'=\{X:\parallel X \parallel <1\}.
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