Konvergenz von Funktionsfolgen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Mo 13.05.2013 | | Autor: | Frosch20 |
| Aufgabe | Wir betrachten die Funktion [mm] f_n:[-1,1] \to \IR [/mm] mit [mm] f_n:=\bruch{nx^2}{1+nx^2} [/mm] im Funktionsraum [mm] C^0[-1,1], [/mm] versehen mit zwei verschiedenen Metriken. Zeigen Sie:
a) Bezüglich [mm] ||\cdot||_1 [/mm] konvergiert die Folge [mm] (f_n)_{n \in \IN} [/mm] gegen die konstante Funktion f:[-1,1] [mm] \to \IR [/mm] mit f(x)=1 für alle x.
b) Bezüglich [mm] ||\cdot||_\infty [/mm] divergiert die Folge [mm] (f_n)_{n \in \IN}. [/mm] |
Okay hier ist mein Ansatz:
a) Ich denke mal mit [mm] ||\cdot||_1 [/mm] ist [mm] ||\cdot||_1:= \integral_{a}^{b}{|f(x)| dx} [/mm] gemeint. Sicher bin ich mir aber nicht, da dort nichts genaueres steht.
Wenn also [mm] f_n [/mm] gegen f(x)=1 konvergiert muss gelten:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}||f_n-f||=0
[/mm]
[mm] ||f_n-f||_1=\integral_{-1}^{1}{|\bruch{nx^2}{1+nx^2}-1|} [/mm]
[mm] =[x-arctan(\wurzel{n}x)\bruch{1}{\wurzel{n}}-x]^1_{-1}
[/mm]
[mm] =[-arctan(\wurzel{n}x)\bruch{1}{\wurzel{n}}]^1_{-1}
[/mm]
[mm] =-arctan(\wurzel{n}\cdot 1)\bruch{1}{\wurzel{n}}-(-arctan(\wurzel{n}\cdot(-1))\bruch{1}{\wurzel{n}})
[/mm]
Nun muss ich noch den limes davon betrachten, also
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}arctan(\wurzel{n})\bruch{1}{\wurzel{n}}- \limes_{n\rightarrow\infty}(-arctan(-\wurzel{n})\bruch{1}{\wurzel{n}}) [/mm] = 0
Da beschränkt mal 0-folge wieder eine 0 Folge ist.
Also wäre die Funktion aus a) für alle x gegen f(x)=1 konvergent.
Kann das so stimmen ?
b) Hier weiss ich nicht so ganz was ich machen soll. Die Supremumsnorm wäre ja sowas wie gleichmäßige konvergenz. Das impliziert ja punktweise konvergenz. Also könnte ich die Funktionsfolge erstmal auf punktweise konvergenz prüfen, ich weiss nur noch nicht so recht wie ich das anstellen soll.
mfg. Der Frosch :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 Di 14.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Wir betrachten die Funktion [mm]f_n:[-1,1] \to \IR[/mm] mit
> [mm]f_n:=\bruch{nx^2}{1+nx^2}[/mm] im Funktionsraum [mm]C^0[-1,1],[/mm]
> versehen mit zwei verschiedenen Metriken. Zeigen Sie:
>
> a) Bezüglich [mm]||\cdot||_1[/mm] konvergiert die Folge [mm](f_n)_{n \in \IN}[/mm]
> gegen die konstante Funktion f:[-1,1] [mm]\to \IR[/mm] mit f(x)=1
> für alle x.
>
> b) Bezüglich [mm]||\cdot||_\infty[/mm] divergiert die Folge
> [mm](f_n)_{n \in \IN}.[/mm]
>
>
>
> Okay hier ist mein Ansatz:
>
> a) Ich denke mal mit [mm]||\cdot||_1[/mm] ist [mm]||\cdot||_1:= \integral_{a}^{b}{|f(x)| dx}[/mm]
> gemeint. Sicher bin ich mir aber nicht, da dort nichts
> genaueres steht.
>
> Wenn also [mm]f_n[/mm] gegen f(x)=1 konvergiert muss gelten:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}||f_n-f||=0[/mm]
>
> [mm]||f_n-f||_1=\integral_{-1}^{1}{|\bruch{nx^2}{1+nx^2}-1|}[/mm]
>
> [mm]=[x-arctan(\wurzel{n}x)\bruch{1}{\wurzel{n}}-x]^1_{-1}[/mm]
>
> [mm]=[-arctan(\wurzel{n}x)\bruch{1}{\wurzel{n}}]^1_{-1}[/mm]
>
> [mm]=-arctan(\wurzel{n}\cdot 1)\bruch{1}{\wurzel{n}}-(-arctan(\wurzel{n}\cdot(-1))\bruch{1}{\wurzel{n}})[/mm]
>
> Nun muss ich noch den limes davon betrachten, also
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}arctan(\wurzel{n})\bruch{1}{\wurzel{n}}- \limes_{n\rightarrow\infty}(-arctan(-\wurzel{n})\bruch{1}{\wurzel{n}})[/mm]
> = 0
>
> Da beschränkt mal 0-folge wieder eine 0 Folge ist.
>
> Also wäre die Funktion aus a) für alle x gegen f(x)=1
> konvergent.
> Kann das so stimmen ?
Na, ja....
Ist f definiert durch f(x)=1 für x [mm] \in [/mm] [-1,1], so konvergiert [mm] (f_n) [/mm] im Sinne der [mm] ||*||_1 [/mm] - Norm gegen f.
[mm] (f_n) [/mm] konvergiert nicht punktweise gegen obiges f ! [mm] f_n(0)=0 [/mm] für alle n.
>
> b) Hier weiss ich nicht so ganz was ich machen soll. Die
> Supremumsnorm wäre ja sowas wie gleichmäßige konvergenz.
Ja, und wie ist der Zusammenhang genau ?
> Das impliziert ja punktweise konvergenz.
Ja
> Also könnte ich
> die Funktionsfolge erstmal auf punktweise konvergenz
> prüfen, ich weiss nur noch nicht so recht wie ich das
> anstellen soll.
Für x=0: [mm] f_n(0)=0
[/mm]
Für x [mm] \ne [/mm] 0 klammere im Zähler und Nenner von [mm] \bruch{nx^2}{1+nx^2} [/mm] jeweils n aus.
FRED
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> mfg. Der Frosch :)
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