Konvergenz von Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 Di 26.05.2015 | | Autor: | redox |
| Aufgabe | Berechne den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen:
a) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{k}}{k!}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{x^{k}}{k^{3}} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich sitze gerade an dieser Aufgabe und sehe mich mal wieder an meinen Grenzen. Da ich leider in der letzten Vorlesung aufgrund von Krankheit nicht anwesend war habe ich hier keinen wirklichen Ansatz. Ich weiß das eine Konvergenz bedeutet ob die Reihe sich an einen Punkt annähert (z.B gegen 1) oder divergiert also gegen unendlich geht.
Ich hoffe mir kann hier jemand dazu etwas unter die arme greifen.
Beste Grüße!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:45 Di 26.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechne den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen:
> a) [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
die Reihe sollte Dir bekannt vorkommen: [mm] $e^x\,.$
[/mm]
Damit ist deren Konvergenzradius aber noch nicht ganz klar: Nach Satz 16.2
und Definition 16.3 von hier:
![[]](/images/popup.gif) www.math.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
haben wir
[mm] $\frac{1}{\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|1/n!|}}$
[/mm]
zu berechnen. Das sieht vielleicht wild aus, aber jetzt schau' in das obige
Skript in Bemerkung 6.20. (Oder schau' meinetwegen auch in
Wiki: http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Bestimmung_des_Konvergenzradius,
da steht noch eine Alternativformel zur Berechnung des Konvergenzradius.)
> b) [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{x^{k}}{k^{3}}[/mm]
Hier benutzt Du wieder zur Berechnung des Konvergenzradius [mm] $R\,$ [/mm] die Formel
[mm] $R=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{1/n^3}}$
[/mm]
(siehe Skript, Definition 16.3).
Beachte dabei:
[mm] $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}=1$
[/mm]
und [mm] $\limsup...=\lim...$, [/mm] falls [mm] $\lim...$ [/mm] existiert.
> Hallo zusammen,
>
> ich sitze gerade an dieser Aufgabe und sehe mich mal wieder
> an meinen Grenzen. Da ich leider in der letzten Vorlesung
> aufgrund von Krankheit nicht anwesend war habe ich hier
> keinen wirklichen Ansatz. Ich weiß das eine Konvergenz
> bedeutet ob die Reihe sich an einen Punkt annähert (z.B
> gegen 1) oder divergiert also gegen unendlich geht.
> Ich hoffe mir kann hier jemand dazu etwas unter die arme
> greifen.
Na, eine Reihe, die divergiert, muss keinesfalls gegen [mm] $\infty$ [/mm] gehen - das wäre
nur dann unvermeidbar, wenn alle Reihenglieder nichtnegativ sind.
Ansonsten betrachte mal [mm] $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\,.$ [/mm] Diese Reihe ist nichts
anderes als die Folge
[mm] $\left(\sum_{n=1}^N (-1)^n\right)_{N \in \IN}=(-1,\;0,\;-1,\;0, \dots)$,
[/mm]
welche offenbar divergiert (da 2 HPe).
Am Besten ist es, Du schaust Dir aus dem Kapitel 16 aus obigem Skript die
Seiten 149 und 150 an. Insbesondere den Beweis zu Satz 16.2.
Ich mache Dir jetzt hier auch mal kurz eine Herleitung, wo denn dieser
Konvergenzradius herkommt und was man damit anfangen kann:
Eine Potenzreihe ist erstmal eine formale Reihe der Form
[mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k (z-z_0)^k$
[/mm]
mit [mm] $a_k$ [/mm] unabhängig von [mm] $z\,,$ [/mm] und
[mm] $\overbrace{z}^{\text{\glqq variabel \grqq}},\overbrace{z_0}^{\text{fest!}} \in \IC\,.$ [/mm]
(Wenn ich später von "der" Potenzreihe rede, meine ich [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k (z-z_0)^k$.)
[/mm]
Wenden wir auf die das Wurzelkriterium an (Skript Satz 6.17), so sehen wir:
1.) Für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit [mm] $\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n*(z-z_0)^n|} [/mm] < 1$ konvergiert die Potenzreihe!
2.) Für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit [mm] $\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n*(z-z_0)^n|} [/mm] > 1$ divergiert die Potenzreihe!
(Für " =1 " ist i.a. keine Aussage möglich!)
Wegen
[mm] $\sqrt[n]{|a_n*(z-z_0)^n|}=|z-z_0|*\sqrt[n]{|a_n|}$
[/mm]
kann man das aber (beachte, dass weder [mm] $z\,$ [/mm] noch [mm] $z_0$ [/mm] von [mm] $n\,$ [/mm] abhängig sind!)
umformulieren:
1.) Für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit [mm] $|z-z_0|*\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} [/mm] < 1$ konvergiert die Potenzreihe!
2.) Für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit [mm] $|z-z_0|*\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} [/mm] > 1$ divergiert die Potenzreihe!
oder (mit [mm] $1/0:=\infty$ [/mm] und [mm] $1/\infty:=$)
[/mm]
1.) Für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit [mm] $|z-z_0| [/mm] < [mm] \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$ [/mm] konvergiert die Potenzreihe!
2.) Für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit [mm] $|z-z_0| [/mm] > [mm] \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$ [/mm] divergiert die Potenzreihe!
Nun ist
[mm] $\left\{z \in \IC:\;\;|z-z_0| < \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} \right\}$
[/mm]
die OFFENE Kreisscheibe mit Mittelpunkt [mm] $z_0$ [/mm] und Radius [mm] $R=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}\,.$
[/mm]
Wir wissen nun: Innerhalb dieser offenen Kreisscheibe konvergiert die
Potenzreihe.
Jetzt Vorsicht: Wir wissen nicht, dass außerhalb dieser offenen Kreisscheibe
die Potenzreihe divergiert.
ABER: Wenn wir sie abschließen, also
[mm] $\left\{z \in \IC:\;\;|z-z_0| \red{\,\le\,} \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} \right\}$
[/mm]
betrachten, dann wissen wir, dass außerhalb dieser abgeschlossenen(!!!)
Kreisscheibe die Potenzreihe divergiert.
Was i.a. immer etwas schwieriger und separat zu untersuchen ist, ist der
Rand der obigen Kreisscheibe:
Auf der Kreislinie
[mm] $\partial \left\{z \in \IC:\;\;|z-z_0| < \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} \right\}=\left\{z \in \IC:\;\;|z-z_0| \red{\,=\,} \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} \right\}$
[/mm]
ist das Konvergenzverhalten der Potenzreihe i.a. nicht direkt erkennbar
und muss (daher) meist separat untersucht werden.
P.S. Ist [mm] $R=\infty$, [/mm] so ist die offene Kreisscheibe oben gleich ganz [mm] $\IC$. [/mm] Dieser
Fall tritt bei Aufgabe a) ein!
Gruß,
Marcel
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