Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Di 11.12.2007 | | Autor: | kasia |
| Aufgabe | Welche der folgenden Reihen sind konvergent bzw. divergent? Beweisen Sie ihre Aussagen!
(a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \bruch{\wurzel{n}}{n+2}
[/mm]
(b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel[n]{n}}
[/mm]
(c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{n} [/mm] + [mm] (-1)^n \bruch{1}{\wurzel{n}})
[/mm]
(d) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n+1)^n}{n^{n+1}} [/mm] |
hallo!!!
ich habe die aufgabenteile (a) - (c) schon bearebeitet, weiß jedoch nicht, ob ich die richtig gelöst habe... würde mich freuen, wenn jemand mal drüber schaut und mich korrigiert!
zu a)
da habe ich das leibniz-kriterium verwendet, wo ich dann zeigen muss, dass
[mm] \bruch{\wurzel{n}}{n+2} [/mm] eine monoton fallende nullfolge ist...
zum beweis der nullfolge bzw konvergenz
[mm] \bruch{\wurzel{n}}{n+2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}+\bruch{2}{\wurzel{n}}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
-> folge konvergiert gegen 0
zur monotonie:
[mm] \bruch{\wurzel{n+1}}{n+3} [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{n}}{n+2} [/mm] muss [mm] \le [/mm] 0 sein
durch umstellung des terms erhalte ich
[mm] \bruch{-n²-n+4}{(n+3)²*(n+2)²} \le [/mm] 0 für n [mm] \ge [/mm] 2
Frage: da das anscheinend nicht für alle n gilt - ist das ein widerspruch zur behauptung, die folge sei monoton fallend? und bedeutet das, dass die reihe nun divergiert?
zu (b)
das notwendige konvergenzkriterium lautet, dass wenn die reihe konvergent ist, [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{k} [/mm] = 0
da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel[n]{n}} [/mm] = 1 kann die reihe nicht konvergieren.
(beweis durch wiederspruch - hab ich hier aber nicht so ausführlich hingeschrieben)
zu (c)
meine frage: darf ich die summe auseinanderziehen und prüfen, ob 1/n und [mm] (-1)^n \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] konvergieren?
zu 1/n: das ist doch die harmonische reihe - also divergent.
bei [mm] (-1)^n \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] würde ich das dann wieder mit dem leibniz-kriterium zeigen (also, dass es eine monoton fallende nullfolge ist)
würde mir das denn überhaupt weiterhelfen???
teil (d) habe ich leider noch nicht bearbeitet...
hoffe, dass sich jemand meine aufgabe anguckt!!!
würde mich über hilfe freuen!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Di 11.12.2007 | | Autor: | kasia |
beweis der monotonie:
[mm] \bruch{\wurzel{n+1}}{n+3} [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{n}}{n+2} [/mm]
= [mm] \bruch{n+1}{(n+3)^2} [/mm] - [mm] \bruch{n}{(n+2)^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{(n+1)*(n+2)^2 - n*(n+3)2}{(n+3)2*(n+2)^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{n^3+4n^2+4n+n^2+4n+4-n^3-6n^2-9n}{(n+3)^2*(n+2)^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{-n^2-n+4}{(n+3)^2*(n+2)^2}
[/mm]
[mm] \le [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2
vllt habe ich ja auch einfach einen rechenfehler/denkfehler gemacht...
aber VIELEN DANK für deine hilfe!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Di 11.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo kasia!
Du darfst in der 2. Zeile nicht einfach die einzelnen Terme quadrieren. Damit veränderst Du den Wert der Terme!
Gruß
Loddar
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:15 Di 11.12.2007 | | Autor: | kasia |
danke! da hast du natürlich recht...
ich hab das jetzt nochmal berechnet:
aus
[mm] \bruch{
\bruch{\wurzel{n+1}}{n+3}}{
\bruch{\wurzel{n}}{n+2}} \le [/mm] 1 ergibt sich
[mm] \bruch{n+2}{n+3} \le \wurzel{\bruch{n}{n+1}}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1- [mm] \bruch{1}{n+3} \le \wurzel{\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}}}
[/mm]
betrachtet man jetzt die grenzwerte der linken bzw rechten seite, so sieht man, dass die terme gegen 1 konvergieren.
also 1- [mm] \bruch{1}{n+3} \le \wurzel{\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}}} \le [/mm] 1
somit ist doch dann [mm] \bruch{\wurzel{2}}{n+2} [/mm] monoton fallend und die reihe konvergent, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Do 13.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Di 11.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo kasia!
> zu (b)
> das notwendige konvergenzkriterium lautet, dass wenn die
> reihe konvergent ist, [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{k}[/mm] = 0
> da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel[n]{n}}[/mm] =
> 1 kann die reihe nicht konvergieren.
> (beweis durch wiederspruch - hab ich hier aber nicht so
> ausführlich hingeschrieben)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig!
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Di 11.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo kasia!
> (d) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n+1)^n}{n^{n+1}}[/mm]
Folgende Umformung als Tipp:
[mm] $$\bruch{(n+1)^n}{n^{n+1}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n+1)^n}{n^n*n^1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n}*\bruch{(n+1)^n}{n^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n}*\left(\bruch{n+1}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n}*\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n$$
[/mm]
Nun am besten mit dem Wurzelkriterium weiter ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Di 11.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
vertue ich mich, oder ist der Grenzwert, wenn ich die n-te Wurzel anwende gleich 1?!
Dann bringt mir ja das Wurzelkriterium nichts.
Ich würde hier mit einer divergierenden Minorante Arbeiten (guck dir mal das 1/n an...)
LG
Kroni
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Hallo Kroni,
du irrst nicht 
Das WK bringt keine Aussage, die Reihe ist aber divergent.
Und die harmonische Reihe bietet sich natürlich direkt als divergente Vergleichsreihe/Minorante an
LG
schachuzipus
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![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
wie kommst Du auf diesen Term? Bitte mal vorrechnen ...
