Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Bine17 |
| Aufgabe | Untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz bzw. Divergenz:
[mm] \summe_{k=1}^{N} \bruch{1}{\wurzel{k(k+1)}} [/mm] |
Ich soll diese Reihe auf Konvergenz untersuchen. Weiß aber nicht wirklich wie ich vorgehen soll. Habe schon ans Abschätzen oder sowas gedacht. Mir fällt aber nichts gutes ein. Würde mich über eine Antwort sehr freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Mo 14.01.2008 | | Autor: | moudi |
Hallo Sabine
Die Glieder sind doch ungefähr [mm] $\frac1k$, [/mm] deshalb dürfte die Reihe divergieren, weil die harmonische Reihe divergiert.
Das kann man natürlich korrekt abschätzen.
Offenbar ist [mm] $k(k+1)<(k+1)^2$, [/mm] deshalb gilt [mm] $\frac1{\sqrt{k(k+1)}}>\frac1{k+1}$ [/mm] und die Reihe
[mm] $\sum_k \frac1{k+1}$ [/mm] divergiert.
mfG Moudi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sabine,
auch, wenn das hier nun umständlicher klingt, weil Moudi ja eine ganz einfache Abschätzung gemacht hat, will ich die Aufgabe mal analog angehen, indem ich einen Grenzwert mit einbaue:
Du wirst erkennen, dass
[mm] $k*\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}} \to [/mm] 1$ bei $k [mm] \to \infty$ [/mm] strebt.
Damit kannst Du dann zu einem festen $0 < [mm] \varepsilon [/mm] < 1$ ein [mm] $k_\varepsilon \in \IN$ [/mm] so finden, dass
[mm] $1-\varepsilon \le k*\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}} \le 1+\varepsilon$
[/mm]
für alle $k [mm] \ge k_\varepsilon$.
[/mm]
Das würde zeigen:
Für z.B. [mm] $\varepsilon_0=\frac{1}{2}$ [/mm] und alle $N [mm] \ge k_0+1$:
[/mm]
[mm] $\sum_{k=1}^N \frac{1}{\sqrt{k(k+1)}}=\sum_{k=1}^{k_0} \frac{1}{\sqrt{k(k+1)}}+\sum_{k=k_0+1}^N \frac{1}{\sqrt{k(k+1)}} \ge \sum_{k=1}^{k_0} \frac{1}{\sqrt{k(k+1)}}+\frac{1}{2}\sum_{k=k_0+1}^N \frac{1}{k} \to \infty$ [/mm] bei $N [mm] \to \infty$
[/mm]
Eine solche Überlegung mag hier überflüssig erscheinen, aber analoges kannst Du Dir überlegen, wenn man z.B. nach der Konvergenz von
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n^3+2n^2}{n^4+7n^2+1}$ [/mm] oder [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{4n^{16}+120n^3+n}{2n^{20}+37n^{19}+5n^2+3n}$ [/mm] fragen würde. Solche Überlegungen können helfen, eine Reihe (oder das Restglied einer Reihe) geeignet abzuschätzen.
(Für die erste Reihe könnte man so eine divergente Minorante angeben, für die zweite eine konvergente Majorante.)
Es ist daher nicht schlecht, das mal gesehen zu haben.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Bine17 |
Ich weiß nicht genau wie du auf die Reihe multipliziert mit k kommst Marcel. Und nach meiner Überlegung würde ich für k-> unendlich auch unendlich erhalten und nicht 1?>
> [mm]k*\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}} \to 1[/mm] bei [mm]k \to \infty[/mm] strebt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> Ich weiß nicht genau wie du auf die Reihe multipliziert mit
> k kommst Marcel. Und nach meiner Überlegung würde ich für
> k-> unendlich auch unendlich erhalten und nicht 1?>
>
>
> > [mm]k*\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}} \to 1[/mm] bei [mm]k \to \infty[/mm] strebt.
>
Hallo,
ich multipliziere hier [mm] $\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}}$ [/mm] mit $k$, weil [mm] $\sqrt{k(k+1)}$ [/mm] für große $k$ unwesentlich von [mm] $k=\sqrt{k^2}$ [/mm] verschieden ist (ich hoffe, es ist intuitiv klar, was ich meine). Warum ich das ganze mache:
Das liegt im Wesentlichen daran, dass (mit einem $n [mm] \in \IN$) [/mm] Brüche der Form
[mm] $\frac{a_n k^n+...+a_1 k+a_0}{b_n k^n+...+b_1 k+b_0}$ [/mm] gegen [mm] $\frac{a_n}{b_n}$ [/mm] bei $k [mm] \to \infty$ [/mm] streben (sofern alles wohldefiniert). Das ist auch nicht schwer zu beweisen.
Und bei Deiner Aufgabe hier kann man analoges ausnutzen...
Wie hast Du denn hier überlegt, wenn Du behauptest, dass [mm] $k*\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}} \to \infty$? [/mm] (Was übrigens falsch ist!)
Ich meine, wenn Du
[mm] $k*\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}}$ [/mm] anschaust, so strebt das so gesehen bei $k [mm] \to \infty$ [/mm] dann ja gegen einen Ausdruck der Art [mm] "$\infty [/mm] *0$", wobei unklar ist, was das nun ist.
Du kannst folgendes machen:
[mm] $k*\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{k^2}}}*\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{k(k+1)}{k*k}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{k+1}{k}}\sqrt{\frac{k}{k}}} \to \frac{1}{\sqrt{1}*\sqrt{1}}=1$
[/mm]
Das zeigt, dass der Grenzwert - wie von mir behauptet - gerade $=1$ ist. Gibt es da noch Verständnisfragen, oder ist nun alles klar?
Wie ich zu der Reihe komme? Dazu benutze ich das obige Wissen. Nach Definition des Begriffes Grenzwert gilt dann hier insbesondere:
Zu [mm] $\varepsilon_0=\frac{1}{2} [/mm] > 0$ gibt es dann ein [mm] $k_0 \in \IN$, [/mm] so dass
[mm] $\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2} \le k*\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}} \le \frac{3}{2}=1+\frac{1}{2}$ [/mm] für alle $k [mm] \ge k_0$.
[/mm]
Das wiederum liefert insbesondere:
[mm] $\frac{1}{2}*\frac{1}{k} \le \frac{1}{\sqrt{k(k+1)}}$ [/mm] für alle $k [mm] \ge k_0$
[/mm]
und das liefert nun für jedes $N [mm] \ge k_0+1$:
[/mm]
[mm] $\sum_{k=k_0}^N \frac{1}{\sqrt{k(k+1)}} \ge \sum_{k=k_0}^N \frac{1}{2}*\frac{1}{k}=\frac{1}{2}\sum_{k=k_0}^N \frac{1}{k}$
[/mm]
(Und natürlich liefert das auch
[mm] $\sum_{k=k_0+1}^N \frac{1}{\sqrt{k(k+1)}} \ge \sum_{k=k_0+1}^N \frac{1}{2}*\frac{1}{k}=\frac{1}{2}\sum_{k=k_0+1}^N \frac{1}{k}$, [/mm] damit es formal identisch mit dem anderen Thread ist.)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Bine17 |
Danke für die Hilfe. Denke ich habs ganz gut verstanden.
Mfg Bine
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