Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Stelle fest, ob die folgenden Reihen konvergieren oder divergieren:
b) [mm] \summe_{}^{} \bruch {(-1)^{n+1}}{\wurzel[n]{n}}
[/mm]
c) 1 + [mm] \bruch{1}{3^{\alpha}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{5^{\alpha}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{7^{\alpha}}
[/mm]
e) [mm] \summe_{}^{}( a^{ln(k)} [/mm] )
f) [mm] \summe_{}^{}( \bruch{1}{(ln(k))^{p}} [/mm] ) p [mm] \in \IN
[/mm]
Tritt eine unspezifische Größe [mm] \alpha [/mm] , a oder p auf, so ist festzustellen, für welcghe Werte dieser Größe Konvergenz und für welche Werte Divegenz stattfindet.
(Vgl.: Harro Heuser, Lehrbuch der Analyis, Seite 208 Aufg. 1)
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Hallöchen, versuche grade die letzten Lücken meine Klausur morgen zu schließen, leider musste ich feststellen, dass mir bei der ein oder anderen Konvergenz aufgabe noch die Idee fehlt wie ich ran gehe.
b) Ich hatte mir überlegt, dass [mm] \bruch{1}{ \wurzel[n]{n} } [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] gegen [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 1 konvergiert, da wir jetzt noch den alternierenden Vorfaktor [mm] (-1)^{n+1} [/mm] haben müssten ja ab einen großen n sich 2 aufeinander folgende Summanden eliminieren => Die Summe konvergiert.
c) 1 + [mm] \bruch{1}{3^{\alpha}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{5^{\alpha}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{7^{\alpha}}
[/mm]
= [mm] \summe_{}^{} \bruch{1}{(2k+1)^{\alpha}}
[/mm]
Mit dem Quotientenkriterium bekomm ich am Ende den Grenzwert des Quotieten = 1 raus. Daraus kann ich weder Konvegenz noch Divergenz schließen. Also anderes Konvergenzkriterium, aber welches?
e) [mm] \summe_{}^{}( a^{ln(k)} [/mm] )
Fallunterscheidung:
|a|>1: Hier habe ich eine Minorante gefunden die divergiert und zwar:
[mm] \summe_{}^{}( a^{2} [/mm] ) [mm] \ge \summe_{}^{}( a^{ln(k)} [/mm] ) für schließlich alle n [mm] \in \IN
[/mm]
da [mm] \summe_{}^{}( a^{2} [/mm] ) trivialerweise divergiert für |a| > 1 folgt mit de Minorantenkriterium die Divergenz von [mm] \summe_{}^{}( a^{ln(k)} [/mm] ) für |a| > 1
|a|=1: [mm] \summe_{}^{}( a^{ln(k)} [/mm] = [mm] \summe_{}^{}( 1^{ln(k)} [/mm] = [mm] \summe_{}^{}( [/mm] 1 ) divergent!
|a|< 1: Ich denke dass hier die Konvergenz zu finden ist, beweisen kann ich sie aber nicht. Habe versucht eine konvergente Majorante zu finden, bin aber nicht fündig geworden.
f) [mm] \summe_{}^{}( \bruch{1}{(ln(k))^{p}} [/mm] ) p [mm] \in \IN
[/mm]
Fallunterscheidung:
für p = 0 :
[mm] \summe_{}^{}( \bruch{1}{(ln(k))^{p}} [/mm] ) p [mm] \in \IN
[/mm]
= [mm] \summe_{}^{}( \bruch{1}{1} [/mm] ) divergent
für 0<p<1: Wieder das Problem dass ich keine Ahnung hab welches Kriterium ich anwenden soll.
Ich hoffe mir kann jmd weiterhelfen!
danke schonmal
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Mi 13.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Stelle fest, ob die folgenden Reihen konvergieren oder
> divergieren:
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> b) [mm]\summe_{}^{} \bruch {(-1)^{n+1}}{\wurzel[n]{n}}[/mm]
>
> c) 1 + [mm]\bruch{1}{3^{\alpha}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{5^{\alpha}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{7^{\alpha}}[/mm]
>
> e) [mm]\summe_{}^{}( a^{ln(k)}[/mm] )
>
> f) [mm]\summe_{}^{}( \bruch{1}{(ln(k))^{p}}[/mm] ) p [mm]\in \IN[/mm]
>
>
> Tritt eine unspezifische Größe [mm]\alpha[/mm] , a oder p auf, so
> ist festzustellen, für welcghe Werte dieser Größe
> Konvergenz und für welche Werte Divegenz stattfindet.
> (Vgl.: Harro Heuser, Lehrbuch der Analyis, Seite 208 Aufg.
> 1)
>
> Hallöchen, versuche grade die letzten Lücken meine Klausur
> morgen zu schließen, leider musste ich feststellen, dass
> mir bei der ein oder anderen Konvergenz aufgabe noch die
> Idee fehlt wie ich ran gehe.
>
> b) Ich hatte mir überlegt, dass [mm]\bruch{1}{ \wurzel[n]{n} }[/mm]
> für n [mm]\to \infty[/mm] gegen [mm]\bruch{1}{1}[/mm] = 1 konvergiert, da wir
> jetzt noch den alternierenden Vorfaktor [mm](-1)^{n+1}[/mm] haben
> müssten ja ab einen großen n sich 2 aufeinander folgende
> Summanden eliminieren => Die Summe konvergiert.
Denkfehker! Nimm einfach die Folge [mm] (-1)^n [/mm] und bilde daraus die Reihe. Die Folgenglieder kann man so addieren:
-1+(1-1)+(1-1)+... ; und man könnte argumentieren, dass -1 herauskommt (weil sich stets zwei nachfolgende Glieder zu 0 ergänzen).
Eine andere Art der Zusammenfassung würde (-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+... =0 ergeben. Eine Folge kann aber nicht zwei verschiedenen Grenzwerte besitzen.
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> c) 1 + [mm]\bruch{1}{3^{\alpha}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{5^{\alpha}}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{7^{\alpha}}[/mm]
Für [mm] \alpha=1 [/mm] handelt es sich bei den Summanden um eine Teilfolge von [mm] a_n =\bruch{1}{n}, [/mm] und deren Reihe divergiert.
Hier müsste eine Abschätzung in Analogie zum Divergenznachweis der Reihe von [mm] \bruch{1}{n} [/mm] funktionieren.
Damit divergieren auch alle Reihen mit [mm] \alpha<1. [/mm] Ich VERMUTE, dass für [mm] \alpha>1 [/mm] Konvergenz vorliegt. Sicher bin ich mir aber erst ab [mm] \alpha=2, [/mm] weil auch die Rehe von [mm] \bruch{1}{ n^2} [/mm] konvergiert.
Mal sehen, was die Leute meinen, die hier mehr im Stoff stehn.
>
> = [mm]\summe_{}^{} \bruch{1}{(2k+1)^{\alpha}}[/mm]
>
> Mit dem Quotientenkriterium bekomm ich am Ende den
> Grenzwert des Quotieten = 1 raus. Daraus kann ich weder
> Konvegenz noch Divergenz schließen. Also anderes
> Konvergenzkriterium, aber welches?
>
>
> e) [mm]\summe_{}^{}( a^{ln(k)}[/mm] )
>
> Fallunterscheidung:
>
> |a|>1: Hier habe ich eine Minorante gefunden die divergiert
> und zwar:
>
> [mm]\summe_{}^{}( a^{2}[/mm] ) [mm]\ge \summe_{}^{}( a^{ln(k)}[/mm] ) für
> schließlich alle n [mm]\in \IN[/mm]
>
> da [mm]\summe_{}^{}( a^{2}[/mm] ) trivialerweise divergiert für |a|
> > 1 folgt mit de Minorantenkriterium die Divergenz von
> [mm]\summe_{}^{}( a^{ln(k)}[/mm] ) für |a| > 1
>
>
>
> |a|=1: [mm]\summe_{}^{}( a^{ln(k)}[/mm] = [mm]\summe_{}^{}( 1^{ln(k)}[/mm]
> = [mm]\summe_{}^{}([/mm] 1 ) divergent!
>
> |a|< 1: Ich denke dass hier die Konvergenz zu finden ist,
> beweisen kann ich sie aber nicht. Habe versucht eine
> konvergente Majorante zu finden, bin aber nicht fündig
> geworden.
>
>
> f) [mm]\summe_{}^{}( \bruch{1}{(ln(k))^{p}}[/mm] ) p [mm]\in \IN[/mm]
>
> Fallunterscheidung:
>
> für p = 0 :
> [mm]\summe_{}^{}( \bruch{1}{(ln(k))^{p}}[/mm] ) p [mm]\in \IN[/mm]
> =
> [mm]\summe_{}^{}( \bruch{1}{1}[/mm] ) divergent
>
> für 0<p<1: Wieder das Problem dass ich keine Ahnung hab
> welches Kriterium ich anwenden soll.
>
> Ich hoffe mir kann jmd weiterhelfen!
>
> danke schonmal
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Ok, Vielen Dank schonmal.
Hat vielleicht noch jmd ne idee für die letzten beiden Aufgaben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Mi 13.02.2008 | | Autor: | abakus |
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> e) [mm]\summe_{}^{}( a^{ln(k)}[/mm] )
>
> Fallunterscheidung:
>
> |a|>1: Hier habe ich eine Minorante gefunden die divergiert
> und zwar:
>
> [mm]\summe_{}^{}( a^{2}[/mm] ) [mm]\ge \summe_{}^{}( a^{ln(k)}[/mm] ) für
> schließlich alle n [mm]\in \IN[/mm]
Wieso? Für hinreichend große k ist ln(k)>2.
Du kannst aber zur Abschätzung nutzen, dass ln(k)<k gilt.
>
> da [mm]\summe_{}^{}( a^{2}[/mm] ) trivialerweise divergiert für |a|
> > 1 folgt mit de Minorantenkriterium die Divergenz von
> [mm]\summe_{}^{}( a^{ln(k)}[/mm] ) für |a| > 1
>
>
>
> |a|=1: [mm]\summe_{}^{}( a^{ln(k)}[/mm] = [mm]\summe_{}^{}( 1^{ln(k)}[/mm]
> = [mm]\summe_{}^{}([/mm] 1 ) divergent!
>
> |a|< 1: Ich denke dass hier die Konvergenz zu finden ist,
> beweisen kann ich sie aber nicht. Habe versucht eine
> konvergente Majorante zu finden, bin aber nicht fündig
> geworden.
>
>
> f) [mm]\summe_{}^{}( \bruch{1}{(ln(k))^{p}}[/mm] ) p [mm]\in \IN[/mm]
Vielleicht kannst du auch hier ln(k)<k nutzen?
>
> Fallunterscheidung:
>
> für p = 0 :
> [mm]\summe_{}^{}( \bruch{1}{(ln(k))^{p}}[/mm] ) p [mm]\in \IN[/mm]
> =
> [mm]\summe_{}^{}( \bruch{1}{1}[/mm] ) divergent
>
> für 0<p<1: Wieder das Problem dass ich keine Ahnung hab
> welches Kriterium ich anwenden soll.
>
> Ich hoffe mir kann jmd weiterhelfen!
>
> danke schonmal
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