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Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:40 Sa 01.03.2008
Autor: matheja

Aufgabe
Hi.Bin ein bisschen am büffeln und wollt nachfragen ob ihr mir bei folgender Aufgabe helfen könntet:

Aufgabe: Untersuchen sie folgende reihen auf Konvergenz.

a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{{4}^k}{(k+3)!} [/mm]
b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} {{-1}^k}*\wurzel[k]{\bruch{1}{k}} [/mm]
c)  [mm] \summe_{k=-22}^{\infty} [/mm] {(1- [mm] \bruch{1}{k})}^{{k}^{2}} [/mm]






Lösung:

a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{{4}^{k}}{(k+3)!} [/mm]

wende Qutientenkriterium an und komme dann auf [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{4}{k+4}=0 [/mm] <1 d.h a) ist absolut konvergent

b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} {{-1}^k}*\wurzel[k]{\bruch{1}{k}} [/mm]

wende Majorantenkriterium an :

[mm] \summe_{i=1}^{\infty} {{-1}^k}*\wurzel[k]{\bruch{1}{k}}<=\summe_{i=1}^{\nfty} \bruch{1}{k} [/mm]  => aufgrund der Tatsache das Majorante eine harmonicshe Reihe ist und die ist Divergent => b) ist Divergent

c) [mm] \summe_{k=-2}^{\infty} [/mm] {1- [mm] \bruch{1}{k})}^{{k}^{2}}= [/mm]
[mm] \summe_{k=-2}^{\infty} [/mm] {1- [mm] \bruch{1}{k})}^{{k}}*\summe_{k=-2}^{\infty} [/mm] {1- [mm] \bruch{1}{k})}^{{k}}= \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] {1- [mm] \bruch{1}{k-2})}^{{k-2}}*\summe_{k=0}^{\infty} [/mm] {1- [mm] \bruch{1}{k-2})}^{{k-2}} [/mm]
hier komm ich nicht weiter

Danke vorweg

matheja

        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:38 Sa 01.03.2008
Autor: abakus


> Hi.Bin ein bisschen am büffeln und wollt nachfragen ob ihr
> mir bei folgender Aufgabe helfen könntet:
>  
> Aufgabe: Untersuchen sie folgende reihen auf Konvergenz.
>  
> a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{{4}^k}{(k+3)!}[/mm]
>  b)
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} {{-1}^k}*\wurzel[k]{\bruch{1}{k}}[/mm]
>  c)
>  [mm]\summe_{k=-22}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

{(1- [mm]\bruch{1}{k})}^{{k}^{2}}[/mm]

>  
>
>
>
>
>
> Lösung:
>  
> a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{{4}^{k}}{(k+3)!}[/mm]
>  
> wende Qutientenkriterium an und komme dann auf
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{4}{k+4}=0[/mm] <1 d.h a) ist
> absolut konvergent
>  
> b) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} {{-1}^k}*\wurzel[k]{\bruch{1}{k}}[/mm]
>  
> wende Majorantenkriterium an :
>  
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} {{-1}^k}*\wurzel[k]{\bruch{1}{k}}<=\summe_{i=1}^{\nfty} \bruch{1}{k}[/mm]
>  => aufgrund der Tatsache das Majorante eine harmonicshe

> Reihe ist und die ist Divergent => b) ist Divergent

Hallo,
deine Begründung greift hier etwas zu kurz, da du den ständigen Vorzeichenwechsel der Summanden ignorierst. (Sonst könnte das Leibnizkriterium doch noch auf Konvergenz hindeuten). Allerdings ist
[mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}(\bruch{1}{k})^\bruch{1}{k}=\limes_{x\rightarrow 0}n^n=1$, [/mm] also ist die Folge der Absolutbeträge der Summanden keine Nullfolge. Es bleibt bei Divergenz.

>  
> c) [mm]\summe_{k=-2}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

{1- [mm]\bruch{1}{k})}^{{k}^{2}}=[/mm]

>  [mm]\summe_{k=-2}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

{1-

> [mm]\bruch{1}{k})}^{{k}}*\summe_{k=-2}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

{1-

> [mm]\bruch{1}{k})}^{{k}}= \summe_{k=0}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

{1-

> [mm]\bruch{1}{k-2})}^{{k-2}}*\summe_{k=0}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

{1-

> [mm]\bruch{1}{k-2})}^{{k-2}}[/mm]
>  hier komm ich nicht weiter

Hier irritiert mich etwas, dass ein nicht definierter Summand in der Reihe steckt (Nenner kann Null werden).
Ansonsten weiß ich nur, dass
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{k})^k=\bruch{1}{e} [/mm] ist.
Mit wachsendem k können die Summanden  [mm] (1-\bruch{1}{k})^{k^2} [/mm] also mit [mm] (\bruch{1}{e})^k [/mm] abgeschätzt werden.
Das riecht nach Konvergenz.
Viele Grüße
Abakus




>  
> Danke vorweg
>  
> matheja


Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:17 Sa 01.03.2008
Autor: matheja


> > wende Majorantenkriterium an :
>  >  
> > [mm]\summe_{i=1}^{\infty} {{-1}^k}*\wurzel[k]{\bruch{1}{k}}<=\summe_{i=1}^{\nfty} \bruch{1}{k}[/mm]
> >  => aufgrund der Tatsache das Majorante eine harmonicshe

> > Reihe ist und die ist Divergent => b) ist Divergent
>  Hallo,
>  deine Begründung greift hier etwas zu kurz, da du den
> ständigen Vorzeichenwechsel der Summanden ignorierst.
> (Sonst könnte das Leibnizkriterium doch noch auf Konvergenz
> hindeuten). Allerdings ist
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(\bruch{1}{k})^\bruch{1}{k}=\limes_{x\rightarrow 0}n^n=1[/mm],
> also ist die Folge der Absolutbeträge der Summanden keine
> Nullfolge. Es bleibt bei Divergenz.

Leibnizkriterium :
a)Absolutfolge ist monoton fallend (ok ist erfült)
b)Folge ist alternierend (ok ist erfüllt)
c)allerdings ist es keine Nullfolge
=> Leibnizkriterium hilft also nicht
Da auch Wurzelkriterium und Qutientenkriterium auch  keine Aussage bringen,hilft also nur majorantenkriterium.Ein anderer Weg fällt mir nicht ein.

> >  

> > c) [mm]\summe_{k=-2}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen
> [red]immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
>  
> Hier irritiert mich etwas, dass ein nicht definierter
> Summand in der Reihe steckt (Nenner kann Null werden).
>  Ansonsten weiß ich nur, dass
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{k})^k=\bruch{1}{e}[/mm]
> ist.
>  Mit wachsendem k können die Summanden  
> [mm](1-\bruch{1}{k})^{k^2}[/mm] also mit [mm](\bruch{1}{e})^k[/mm]

[mm](1-\bruch{1}{k})^{k^2}[/mm] [mm] ={e}^{-1}*{e}^{-1} [/mm]

> abgeschätzt werden.
>  Das riecht nach Konvergenz.
>  Viele Grüße
>  Abakus


Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:57 Sa 01.03.2008
Autor: schachuzipus

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo matheja,

ein notwendiges Kriterium (Trivialkriterium heißt das, glaube ich) für die Konvergenz einer Reihe $\sum a_k$ ist doch, dass die Folge $(a_k)_{k\in\IN}$ eine Nullfolge ist, dh.

$\sum a_k$ konvergent $\Rightarrow (a_k)_{k\in\IN}$ ist Nullfolge bzw. mit Kontraposition äquivalent dazu

$(a_k)_{k\in\IN}$ keine Nullfolge $\Rightarrow \sum a_k$ divergent


Damit und mit deinen Ergebnissen oben zu (b) kannst du damit sofort über Konvergenz/Divergenz der Reihe $\sum (-1)^k\sqrt[k]{\frac{1}{k}}$ sagen ...


Bei der Reihe in (c) ist $\left(\left(1-\frac{1}{k}\right)^{k^2}\right)_{k\in\IN$ eine Nullfolge, die Reihe könnte also konvergent sein.

Ich würde es mal mit dem Wurzelkriterium probieren, das sollte m.E. am Schnellsten ein Ergebnis bringen...

Berechne $\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}=r$

Dann hast du (absolute) Konvergenz der Reihe für $r<1$ und Divergenz für $r>1$


LG

schachuzipus

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Konvergenz von Reihen: Nur kurz zu a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:20 So 02.03.2008
Autor: Marcel

Hallo,

> Hi.Bin ein bisschen am büffeln und wollt nachfragen ob ihr
> mir bei folgender Aufgabe helfen könntet:
>  
> Aufgabe: Untersuchen sie folgende reihen auf Konvergenz.
>  
> a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{{4}^k}{(k+3)!}[/mm]
>  b)
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} {{-1}^k}*\wurzel[k]{\bruch{1}{k}}[/mm]
>  c)
>  [mm]\summe_{k=-22}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

{(1- [mm]\bruch{1}{k})}^{{k}^{2}}[/mm]

>  
>
>
>
>
>
> Lösung:
>  
> a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{{4}^{k}}{(k+3)!}[/mm]
>  
> wende Qutientenkriterium an und komme dann auf
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{4}{k+4}=0[/mm] <1 d.h a) ist
> absolut konvergent

Mir ist unklar, wie Du auf den Term unterm Limes kommst. Du könntest dort z.B. nachweisen (Beträge spare ich mir hier unter der Wurzel, da dort eh alles [mm] $\ge [/mm] 0$):
[mm] $\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{\frac{4^k}{(k+3)!}}=4*\lim_{k \to \infty}\frac{1}{\sqrt[k]{(k+3)!}}=0$ [/mm]

(Also [mm] $\sqrt[k]{(k+3)!}=\infty$, [/mm] was man leicht einsieht, wenn man z.B. weiß, dass [mm] $\sqrt[k]{r} \to [/mm] 1$ für $r > 0$ und [mm] $\sqrt[k]{k!} \to \infty$ [/mm] bei $k [mm] \to \infty$.) [/mm]

Mit entsprechendem Wissen (über die Reihendarstellung der $e$-Funktion) kann man aber auch einsehen:
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{{4}^{k}}{(k+3)!} [/mm] = [mm] \summe_{k=4}^{\infty} \bruch{{4}^{k-3}}{k!}=\frac{1}{4^3}*\summe_{k=4}^{\infty} \bruch{{4}^{k}}{k!} \le \frac{1}{4^3}*\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{{4}^{k}}{k!}=\frac{e^4}{4^3}$ [/mm]

Majorantenkriterium liefert die (absolute) Konvergenz (hier sind ja eh alle Summanden [mm] $\ge [/mm] 0$).

Gruß,
Marcel

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Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:27 So 02.03.2008
Autor: Jonny86

Aufgabe
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} {{-1}^k}\cdot{}\wurzel[k]{\bruch{1}{k}} [/mm] $

Hallo,
ich wollte fragen warum es denn keine Nullfolge ist?
Der Nenner geht doch gegen unendlich und daher das ganze gegen 0!?
Was versteh ich hier falsch?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:27 So 02.03.2008
Autor: matheja


> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} {{-1}^k}\cdot{}\wurzel[k]{\bruch{1}{k}}[/mm]
>  
> Hallo,
>  ich wollte fragen warum es denn keine Nullfolge ist?
>  Der Nenner geht doch gegen unendlich und daher das ganze
> gegen 0!?
> Was versteh ich hier falsch?

Erst mal Danke Abakus ,schachuzipus und Marcel.Ich denk ich habs nun verstanden.

[mm]\summe_{k=1}^{\infty} {{-1}^k}\cdot{}\wurzel[k]{\bruch{1}{k}}[/mm]

Wenn du das Leibnizkriterium anwenden willst müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
(i) Reihe muss alterniernd sein
(ii) Monton fallend
(iii) zusätzlich muss [mm] a_k [/mm] gegen 0 gehen
[mm] a_k=\wurzel[k]{\bruch{1}{k}} [/mm]

[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} a_k \not=0 [/mm] d.h Leibnizkriterium bringt nichts.
Denn:

[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{\bruch{1}{k}}= \bruch{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{1} }{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{k}}=\bruch{1}{1}=1 \not=0 [/mm]


lg

matheja



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Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:01 So 02.03.2008
Autor: Marcel

Hallo,

> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} {{-1}^k}\cdot{}\wurzel[k]{\bruch{1}{k}}[/mm]
>  
> Hallo,
>  ich wollte fragen warum es denn keine Nullfolge ist?
>  Der Nenner geht doch gegen unendlich und daher das ganze
> gegen 0!?
> Was versteh ich hier falsch?

nur noch eine Anmerkung dazu:
Ich glaube, Du verwechselst einfach zwei Dinge bzw. guckst hier vielleicht nicht genau (genug) hin.

Es gilt:
[mm] $\sqrt[k]{k!} \to \infty$ [/mm] bei $k [mm] \to \infty$ [/mm] (da steht $k$ FAKULTÄT unter der Wurzel)

Aber es gilt nicht

[mm] $\sqrt[k]{k} \to \infty$ [/mm]

sondern

[mm] $\sqrt[k]{k} \to [/mm] 1$ bei $k [mm] \to \infty$. [/mm]

Also der Nenner [mm] $\sqrt[k]{k}$ [/mm] oben strebt nicht gegen [mm] $\infty$, [/mm] sondern gegen $1$.

Gruß,
Marcel

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Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:12 So 02.03.2008
Autor: abakus


> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} {{-1}^k}\cdot{}\wurzel[k]{\bruch{1}{k}}[/mm]
>  
> Hallo,
>  ich wollte fragen warum es denn keine Nullfolge ist?
>  Der Nenner geht doch gegen unendlich und daher das ganze
> gegen 0!?
> Was versteh ich hier falsch?

Wenn allerdings von einer festen Zahl zwischen Null und 1 immer höhere Wurzeln gezogen werden, konvergiert dieser Ausdruck gegen 1.
Das Problem ist, was hier überwiegt: das kleinerwerden wegen des Bruchs oder das größerwerden wegen der k-ten Wurzel.
Abakus


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