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| Aufgabe | Thema: Konvergernz von Reihen:
Zeige: Wenn eine Folge an gegen a konvergiert, so konvergiert auch die Reihe mit sn=1/n(a1+a2+a3++++) gegen a.
Finde ein Gegenbeispiel für die Gegenrichtung! |
Thema: Konvergernz von Reihen:
Ich will jemandem helfen, bin aber selbst überascht, dass alle Lwehrbuchkenntnisse über Konvergenzkriterien hier (bei mir) nicht ausreichen. Die Nullfolge, die man konstruieren kann ist zwar notwendig ,aber nicht hinrichend. Deshalb wird wohl die Umkehrung nicht gelten, aber da habe ich noch lange kein Gegenbeispiel und wohl auch noch keine hinreichende Bedingung für die Konvergenz von sn
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Thema: Konvergernz von Reihen:
> Zeige: Wenn eine Folge an gegen a konvergiert, so
> konvergiert auch die Reihe mit sn=1/n(a1+a2+a3++++) gegen
> a.
> Finde ein Gegenbeispiel für die Gegenrichtung!
> Thema: Konvergernz von Reihen:
> Ich will jemandem helfen, bin aber selbst überascht, dass
> alle Lwehrbuchkenntnisse über Konvergenzkriterien hier (bei
> mir) nicht ausreichen. Die Nullfolge, die man konstruieren
> kann ist zwar notwendig ,aber nicht hinrichend. Deshalb
> wird wohl die Umkehrung nicht gelten, aber da habe ich noch
> lange kein Gegenbeispiel und wohl auch noch keine
> hinreichende Bedingung für die Konvergenz von sn
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Schau Dir als Gegenbeispiel für die Gegenrichtung die Folge [mm] (a_n) [/mm] mit [mm] a_n=(-1)^n [/mm] an.
Zum Beweis der 1. Richtung:
Bedenke folgendes:
[mm] |s_n [/mm] -a|= [mm] \bruch{1}{n} [/mm] | [mm] a_1+...+a_n [/mm] -na|= [mm] \bruch{1}{n} [/mm] | [mm] a_1+...+a_n [/mm] -na|= [mm] \bruch{1}{n} [/mm] | [mm] (a_1-a)+...+(a_n [/mm] -a)|.
Damit kommst Du bestimmt weiter.
Gruß v. Angela
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Ich freue mich über die prompte Antwort und bin sicher, dass der, dem ich helfen soll und will, sich hier auch bald anmeldet. Meine zuweilen negative Meinung über Foren habe ich hiermit nachhaltig korrigiert!
Ich werde das jetzt mal verarbeiten, aber das Gegenbeispiel scheint bereits geklärt. Es bleibt mein eigentliches Problem: Wird ein Studienanfänger durch solche Aufgaben demotiviert, wenn selbst der "alte" Mathelehrer da Probleme hat?
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wenn ich jetzt zeigen soll, dass dieser Audruck - $ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] $ | $ [mm] (a_1-a)+...+(a_n [/mm] $ -a)|. kleiner als Epsilon ist, brauchte ich (zumindest heute abend) evl. noch einen Tip.
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> wenn ich jetzt zeigen soll, dass dieser Audruck -
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] | [mm](a_1-a)+...+(a_n[/mm] -a)|. kleiner als Epsilon
> ist, brauchte ich (zumindest heute abend) evl. noch einen
> Tip.
Hallo,
die Folge [mm] (a_n) [/mm] ist n.V. konvergent gegen a.
Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 findet man also ein N so, daß für alle [mm] n\ge [/mm] N gilt | [mm] a_n [/mm] -a| [mm] \le \varepsilon.
[/mm]
Schau Dir jetzt [mm] \bruch{1}{n}|[/mm] [mm](a_1-a)+...+(a_n[/mm] -a)| an. Du interessierst Dich für [mm] n\to \infty.
[/mm]
Für n>N ist
[mm] \bruch{1}{n}| (a_1-a)+...+(a_n-a)| \le \bruch{1}{n} [/mm] [ [mm] |a_1-a| +...+|a_N [/mm] -a| + [mm] |a_{N+1} [/mm] -a|+ [mm] ...+|a_n-a| [/mm] ].
Vielleicht kommst du jetzt weiter.
Gruß v. Angela
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Kann es sein, dass es da ein Zeichensatzproblem gibt? mit [/mm] kann ich nichtsanfangen. Mit solcherlei Abschätzungen habe ich mich aktiv bisher nicht beschäftigt. Das es darauf hnausläuft, hatte ich befürchtet.
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> Kann es sein, dass es da ein Zeichensatzproblem gibt? mit[/mm]
> kann ich nichtsanfangen.
Hallo,
die mm habe ich entfernt - das passiert manchmal, wenn man beim Einfügen und Kopieren nicht aufpaßt.
> Mit solcherlei Abschätzungen habe
> ich mich aktiv bisher nicht beschäftigt. Das es darauf
> hnausläuft, hatte ich befürchtet.
Tja, das haben Grenzwerte so an sich.
Am besten schreibst Du Dir hier mal ausführlich auf, was es mit der Konvergenz von [mm] (a_n) [/mm] gegen a auf sich hat, also mit [mm] \varepsilon, [/mm] N und allem Drum und Dran.
Diese Informationen kannst Du dann verwenden.
Wenn Du bei | [mm] s_n [/mm] - a| dann alles schön einsetzt, kannst Du später in gewohnter (und angenehmer) Manier n [mm] \to \infty [/mm] laufen lassen.
Gruß v. Angela
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[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=a [/mm] bedeutet dass es ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt, so dass für alle n >N gilt [mm] |a_{n}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
So weit so gut. Jetzt kriege ich das nicht in Verbindung mit der bisherigen Umformung, die im Moment bei [mm] \bruch{1}{n}[|a1-a|+...|aN-a|+|aN+1 [/mm] -a|+ .....|an-a| ] steht, was ich ohneweiteres nachvollziehen kann, worauf ich aber nicht gekommen wäre. Ich könnte evtl. die Ungleichung fortschreiben, indem ich a irgenwie ersetze? Ich kann da noch immer nichts sehen.
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}=a[/mm] bedeutet dass es ein
> [mm]\varepsilon>0[/mm] gibt, so dass für alle n >N gilt [mm]|a_{n}-a|[/mm]
> < [mm]\varepsilon.[/mm]
Hallo,
nein, das bedeutet es nicht, und es ist sehr wichtig, die Definitionen richtig zu können, wenn man die Aufgaben lösen möchte.
Ich hoffe, daß Dir Konvergenz anschaulich klar ist. Dann weißt Du auch, daß die Folge [mm] (a_n) [/mm] mit [mm] a_n:=(-1)^n [/mm] nicht konvergiert.
Wenn wir hierauf aber jetzt das anwenden, was Du oben schreibst, folgt Konvergenz gegen 4711. Paß auf:
Für [mm] \varepsilon:= [/mm] 4720 gilt für n>N:=5 : | [mm] a_n [/mm] - 4711| = | [mm] (-1)^{n} [/mm] - 4711| [mm] \le [/mm] 4712 [mm] <\varepsilon=4720. [/mm] Also konvergiert die Folge gegen 4711.
Das ist natürlich Blödsinn!
Schau am besten erstmal nach, wie die [mm] \varepsilon [/mm] - Definition für die Konvergenz von Folgen geht.
> So weit so gut. Jetzt kriege ich das nicht in Verbindung
> mit der bisherigen Umformung, die im Moment bei
> [mm]\bruch{1}{n}[|a1-a|+...|aN-a|+|aN+1[/mm] -a|+ .....|an-a| ]
> steht, was ich ohneweiteres nachvollziehen kann, worauf ich
> aber nicht gekommen wäre. Ich könnte evtl. die Ungleichung
> fortschreiben,
Naja, die Dreiecksungleichung wird Dir vielleicht noch einfallen, oder?
Wenn Deine Konvergenzdef. steht, kannst Du anschließend Informationen hier verwenden. Immerhin sehen doch einige Bestandteile der Ungleichung dem, was in der Konvergenzdef. vorkommt, ähnlich.
Gruß v. Angela
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na gut, da habe ich wohl unscharf formuliert? Gemeint war, dass es für jedes noch so kleine Epsilon >0 ein [mm] n_{0} [/mm] , so dass für alle [mm] n>=n_{0}die [/mm] Ungleichung gilt. Damit liegen unendlich viele Glieder innerhalb der Epsilonumgebung. Das heisst, die (betragliche) Differenz zwischen [mm] a_{n}und [/mm] a ist kleiner als dieses Epsilon. Daraus folgt, dass bei einem kleineren Epsilon "weniger" aber eben doch noch unendlich viele Glieder die von mir aufgeschriebene Ungleichung erfüllen. Man kann zu jedem Epsilon ein entsprechendes [mm] n_{0} [/mm] finden.(Das hatte ich mit N bezeichnet), ab dem alle weiteren Folgenglieder innerhalb der Epsilonumgebung liegen.
Dass die von Dir angegebene Folge konvergiert, habe ich hoffentlich nie behauptet. Wenn das aus meinen Angaben folgt, waren diese natürlich falsch. Die von mir angegebene Ungleichung, so dachte ich, drückt aber das oben Gesagte aus.
Es bleibt bei allen berechtigten Hinweisen zu Ungenauigkeiten meiner Darstellung das Problem. dass ich hier wohl nicht weiter komme.
Die "Ähnlichkeiten"sehe ich schon.
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> na gut, da habe ich wohl unscharf formuliert?
Hallo,
nein, es war völlig falsch, und deshalb konnte ich auch Quatsch draus folgern.
Aber jetzt jetzt haben wir's ja richtig hier stehen:
Gemeint war,
> dass es für jedes noch so kleine Epsilon >0 ein [mm]n_{0}[/mm] , so
> dass für alle [mm]n>=n_{0}die[/mm] Ungleichung gilt. Damit liegen
> unendlich viele Glieder innerhalb der Epsilonumgebung. Das
> heisst, die (betragliche) Differenz zwischen [mm]a_{n}und[/mm] a ist
> kleiner als dieses Epsilon. Daraus folgt, dass bei einem
> kleineren Epsilon "weniger" aber eben doch noch unendlich
> viele Glieder die von mir aufgeschriebene Ungleichung
> erfüllen. Man kann zu jedem Epsilon ein entsprechendes
> [mm]n_{0}[/mm] finden.(Das hatte ich mit N bezeichnet), ab dem alle
> weiteren Folgenglieder innerhalb der Epsilonumgebung
> liegen.
Also: nehmen wir [mm] \varepsilon [/mm] >0.
Weil [mm] (a_n) [/mm] nach Voraussetzung gegen a konvergiert, findet man ein passendes [mm] N\in \IN [/mm] so, daß für alle n>N gilt: [mm] |a_n-a|<\varepsilon.
[/mm]
Nun gibt es in der Ungleichung, die Du am Wickel hast, 'ne Menge Bestandteile, auf die genau diese Abschätzung zutrifft.
Rest kann man dann später überlegen. Immer Schritt für Schritt vorwärts.
Gruß v. Angela
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sind das dannalle die Terme "rechts" von [mm] a_{N}-a [/mm] ??
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> sind das dannalle die Terme "rechts" von [mm]a_{N}-a[/mm] ??
Ja sicher.
Gruß v. Angela
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und was wird mit den anderen Termen?
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> und was wird mit den anderen Termen?
Hallo,
kannst Du sagen, welches Problem Du mit den anderen Termen hast?
Bedenke, daß Du es bei [mm] a_n [/mm] bzw. bei (a_-a) mit einer konvergenten Folge zu tun hast. Welche notwendige Eigenschaft haben konvergente Folgen?
Übrigens: vielleicht hast Du es noch nicht gesehen, aber HJKweseleit hat inzwischen ja eine Komplettlösung gepostet.
Zwar weicht sein Weg ganz geringfügig von dem ab, was ich plante, aber alle wesentlichen Elemente finden sich dort.
Gruß v. Angela
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Ich habe die andere Lösung gerade gelesen. Wenn ich das auch nachvollziehen kann und durchaus Verbindungen zu und Ähnlichkeiten mit Deinem Ansatz sehe, habe ich wohl einfach zu wenig Erfahrungen mit solchen Umformungen. Ich will immer noch nachweisen,dass [mm] |sn-a|<\varepsilon [/mm] ist. Es würde mich auch seht zufrieden stimmen, wenn ich das letzte Stück Deiner Argumentationnoch hinbekäme - mit oder notfalls ohne weitere Hinweise.
Notwendige Bedingung für Konvergenz wären Monotonie und oder Beschränktheit, aber desegen "verschwinden" die Terme ja nicht
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> Notwendige Bedingung für Konvergenz wären Monotonie und
> oder Beschränktheit, aber desegen "verschwinden" die Terme
> ja nicht
Hallo,
Monotonie ist nicht notwendig für Konvergenz, aber mit der Beschränktheit liegt Du gut.
Verschwinden tun die Terme dann noch nicht - aber man hat erfreulich weniger davon.
Was man machen kann, um die "wegzubekommen", hat ja Hskweseleit vorgemacht. Was hat er getan?
Gruß v. Angela
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eine obere Schranke D, also (Die Kopie hat leider nicht geklappt:-()
Also: D>| [mm] a_{n}-a| [/mm] für alle n
also wären alle Summanden<= [mm] 1/n\summe_{i=1}^{M}D [/mm] (M entspricht wohl Deinem N) Die Gleichheit zu M [mm] D/\varepsilon [/mm] kann ich noch nicht nachvollziehen. Immerhin kann ich den folgenden Schluß verstehen.
Ist die Zerlegung in zwei Teilepsilons wirklich notwendig?
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> eine obere Schranke D, also (Die Kopie hat leider nicht
> geklappt:-()
> Also: D>| [mm]a_{n}-a|[/mm] für alle n
Hallo,
ja, genau.
> also wären alle Summanden<= [mm]1/n\summe_{i=1}^{M}D[/mm] (M
> entspricht wohl Deinem N) jetzt,
Ja. Bleiben wir in diesem Zweig der Diskussion beim N.
Man hat daß für beliebiges [mm] \varepsilon [/mm] >0 ein N existiert, so daß für alle n>N gilt
[mm] |s_n [/mm] - a| [mm] \le \bruch{1}{n}N*D [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}*(n-N)\varepsilon.
[/mm]
D ist eine feste Zahl.
An n war die Bedingung n>N gestellt. Die Ungleichung gilt für alle n>N.
Irgendwo in den natürliche Zahlen finden wir eine Zahl [mm] N_2 [/mm] so, daß für [mm] n>N_2 \bruch{1}{n}N*D< \varepsilon [/mm] ist.
Also gilt für alle n, die größer als das Maximum von N und [mm] N_2 [/mm] sind:
[mm] |s_n [/mm] - a| [mm] \le \varepsilon [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}*(n-N)\varepsilon= \varepsilon [/mm] + [mm] (1-\bruch{N}{n})\varepsilon [/mm] < [mm] \varepsilon +\varepsilon=2\varepsilon.
[/mm]
Dieses [mm] 2\varepsilon [/mm] will man ja eigentlich nicht haben.
Wenn man soweit gekommen ist, frisiert man das alles ein bißchen für den entgültigen Beweis, so wie es HJKweseleit vorgemacht hat:
Der Plan:
Voraussetzung: [mm] (a_n) [/mm] konvergiert gegen a.
Zu zeigen : [mm] (s_n) [/mm] konvergiert gegen a, dh. es ist zu zeigen:
für jedes [mm] \varepsilon [/mm] >0 gibt es ein [mm] N_0 [/mm] so, daß für alle [mm] n>N_0 |s_n-a| <\varepsilon [/mm] gilt.
Beweis: sei [mm] \varepsilon [/mm] >0.
Weil [mm] (a_n) [/mm] konvergent gegen a, findet man zu [mm] \varepsilon_1:=\bruch{\varepsilon}{2} [/mm] ein [mm] N_1 [/mm] so, daß für alle [mm] n>N_1 [/mm] gilt [mm] |a_n-a| <\varepsilon_1.
[/mm]
Es ist [mm] (a_n [/mm] - a) konvergent, also beschränkt. Dann gibt es eine Schranke D mit [mm] |a_n-a| [/mm] < D.
Es gibt ein [mm] N_2 [/mm] so, daß [mm] \bruch{N*D}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon_1 [/mm] für alle [mm] n>N_2 [/mm] ist.
Sein [mm] N_0:=max\{N_1, N_2}.
[/mm]
Für alle [mm] n>N_0 [/mm] ist
[mm] |s_n [/mm] -a| = ... < [mm] \varepsilon_1+\varepsilon_1=\varepsilon.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Eigentlich wollte ich nur eine private Nachricht schreiben. Da das nicht geht, muss ich jetzt "öffentlich" zugeben, dass ich mit dieser Art Umformung Probleme habe. Vielleicht gerade deshalb, weil ich zwar weiss, was da gezeigt werden muss (macht ja auch der Lehrer gelegentlich), aber bei dieser Umformung scheint mir das irgendwie trickreich. In der nunmehr fortlaufenden Ungleichung sollte doch sicher zuletzt <= Epsilon stehen, aber der Term "davor" sollte umgeformt werden bis er "offensichtlich" ist.
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Die Konvergenz ist deswegen so schwer zu beweisen, weil die einzelnen Glieder zu Beginn der Reihe sehr stark von a abweichen können.
Der Trick besteht darin, die Summe in zwei Teile zu zerlegen, von denen jeder ein halbes [mm] \epsilon [/mm] beiträgt.
Das geht so:
Weil [mm] a_n [/mm] nach a konvergiert, gibt es für die Folge [mm] d_n=|a_n-a| [/mm] eine obere Schranke D, also [mm] D\ge |a_n-a| [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Für ein gegebenes [mm] \epsilon [/mm] soll nun gezeigt werden, dass es ein N gibt, so dass
[mm] |1/n\summe_{i=1}^{n}a_i -a|=|1/n\summe_{i=1}^{n}(a_i -a)|<\epsilon [/mm] wird für alle n>N.
Hierzu bilden wir [mm] \epsilon_1 =\epsilon/2.
[/mm]
Weil [mm] a_n [/mm] gegen a konvergiert, existiert nun ein M, so dass für alle n>M der Wert [mm] |a_n-a|<\epsilon_1 [/mm] wird.
Dieses M ist der Schlüssel zum Glück!
Unsere Summe zerlegen wir in die Teilsummen mit den Summanden von 1 bis M und von M+1 bis beliebig. Also betrachten wir nun (unter Verwendung der Dreiecksungleichung)
[mm] |1/n(\summe_{i=1}^{n}a_i) -a|=|1/n\summe_{i=1}^{n}(a_i -a)|\le |1/n\summe_{i=1}^{M}(a_i -a)|+|1/n\summe_{i=M+1}^{n}(a_i -a)|\le 1/n\summe_{i=1}^{M}|a_i -a|+1/n\summe_{i=M+1}^{n}|a_i [/mm] -a|
Für die erste Teilsumme gilt:
[mm] 1/n\summe_{i=1}^{M}|a_i -a|\le 1/n\summe_{i=1}^{M}D=M*D/n.
[/mm]
Nun wählen wir N so groß, dass [mm] M*D/N<\epsilon_1 [/mm] wird.
Dann wird für alle n>N erst recht [mm] M*D/n<\epsilon_1 [/mm] .
Also wird für [mm] N>M*D/\epsilon_1 [/mm] die erste Teilsumme schon mal kleiner als [mm] \epsilon_1!!!
[/mm]
Die zweite Teilsumme funktioniert aber nun von selber: Wir hatten das M ja so gewählt, dass alle Glieder der zweiten Teilsumme [mm] <\epsilon_1 [/mm] sind. Also ist
[mm] 1/n\summe_{i=M+1}^{n}|a_i -a|\le1/n\summe_{i=M+1}^{n}\epsilon_1=\epsilon_1*(n-M-1)/n\le\epsilon_1*1.
[/mm]
Somit bleiben die beiden Teilsummen kleiner als [mm] 2*\epsilon_1=\epsilon, [/mm] wenn n beliebig größer als N ist.
Wie man sieht, sind M und damit auch N von [mm] \epsilon [/mm] abhängig, aber das ist bei diesen Abschätzungen i.A. der Fall.
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hallo und vielen Dank für die Mitwirkung. ch quäle mich da schonein weilchen. Mit Hilfe von angela war ich schon bis zur Zerlegung in die von Ihnen (Dir)angegeben Teilsummen gekommen. Alle Terme, die da größer waren (also weiter rechts stehen)als M könne man weglassen, eben weil es sich hier um eine Ungleichunghandelt.
Ich bin schon einige Jahre in der Schule tätig, aber solche Beweise brauchte ich da nie zu führen. Die konkrete Aufgabe würde ich auch in die Kategorie "Tricky" einordnen. Trotzdem werden mir bekannte Studenten in den Übungsserien damit überhäuft und spielen mit einem Fachwechsel. Dies würde ich bedauern.
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Als ich 1970 mit dem Mathe-Studium in Münster anfing, saßen am ersten Tag die Studenten auf den Fensterbänken und Treppenstufen, weil 250 nicht in einen Hörsaal für 120 passen. Auf die Frage eines Studenten: "Können wir nicht in einen größeren Hörsaal umziehen?" antwortete der Prof. nett und freundlich: "Warten Sie einfach bis zur nächsten Woche, dann ist das Problem gelöst." Eine Woche später kam tatsächlich nur noch die Hälfte, weil die anderen nichts mehr verstanden, obwohl es anfangs nur um die reellen Zahlen ging.
Das Mathe-Studium war, wie ich es erlebt habe, nicht durchzuhalten, wenn man nur lernte, was der Prof. vorgab. Ohne eine gewisse Kreativität ging gar nichts, wer die nicht hatte, war aufgeschmissen.
Eine typische Aufgabe in der ersten Klausur war:
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Eine auf ganz [mm] \IR [/mm] definierte Funktion g (bzw. u) heißt gerade (bzw. ungerade) [mm] \gdw [/mm] g(-x)=g(x) (bzw. u(-x)=-u(x)) für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Beweisen Sie: Jede auf ganz [mm] \IR [/mm] definierte Funktion f lässt sich als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion darstellen.
Der Beweis geht konstruktiv.
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Vorher hatte man sich weder mit geraden oder ungeraden Funktionen noch mit ähnlichen Beweisen beschäftigt, wohl aber damit, was ein konstruktiver Beweis ist.
Lösung:
Ansatz: f(x)=g(x)+u(x) wie behauptet. Dann ist
f(-x)=g(-x)+u(-x)=g(x)-u(x)
Addiert/subtrahiert man nun beide Gleichungen, so erhält man
f(x)+f(-x)=2*g(x) bzw. f(x)-f(-x)=2 u(x) und damit
[mm] g(x)=\bruch{f(x)+f(-x)}{2} [/mm] sowie [mm] u(x)=\bruch{f(x)-f(-x)}{2}
[/mm]
Nun zeigt man einfach, dass das so gefundene g bzw. u die Eigenschaft gerade bzw. ungerade hat und die Summe der beiden tatsächlich f gibt.
Eine von 5 Hausaufgaben (zu lösen in einer Woche), ebenfalls aus dem 1. Semester, die ich heute wahrscheinlich gar nicht mehr lösen könnte, war:
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Sei f zweimal stetig diffbar und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n [/mm] = a . Nach dem Mittelwertsatz gilt ja:
Es gibt ein [mm] \delta_n \in [/mm] [0|1] mit
[mm] \bruch{f(x_n)-f(a)}{x_n-a}=f'(x_n+\delta_n*(a-x_n)) [/mm]
Bestimmen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\delta_n.
[/mm]
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Wenn ich in dieses Forum schaue, habe ich nicht den Eindruck, dass das Studium leichter geworden ist. Deshalb weiß ich auch nicht, ob es wirklich sinnvoll ist, Studenten unbedingt bei der Stange zu halten. Natürlich ist der Anfang besonders schwer, aber im Vergleich zu Mathe reicht es in anderen Fächern oft, ein bestimmtes Pensum zu absolvieren, um Erfolg zu haben...
Es geht nicht darum, Mathe hier mit einem elitären Anstrich zu versehen, sondern klar zu machen, dass reiner Durchhaltewille hier nicht genügt.
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