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Konvergenz von Reihen: Lösungsansatz für Aufgabe?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:58 So 15.02.2009
Autor: Hav0c

Untersuchen sie die folgenden Folgen auf gleichmäßige Konvergenz
ii) [mm] f_{n}(x)=\bruch{x^{n}-1}{x-1} [/mm] auf  [0,1)

meine frage hierzu wie hat man es sich vorzustellen wenn folgen konvergieren und wie berechne ich die konvergenz in dem fall?
wäre euch sehr dankbar bei lösungsansatzen oder ähnlichen beispielen ..

lg

        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:05 So 15.02.2009
Autor: abakus


> Untersuchen sie die folgenden Folgen auf gleichmäßige
> Konvergenz
> ii) [mm]f_{n}(x)=\bruch{x^{n}-1}{x-1}[/mm] auf  [0,1)
>  
> meine frage hierzu wie hat man es sich vorzustellen wenn
> folgen konvergieren und wie berechne ich die konvergenz in
> dem fall?
>  wäre euch sehr dankbar bei lösungsansatzen oder ähnlichen
> beispielen ..

Hallo,
im konkreten Fall möchte ich darauf aufmerksam machen, dass
[mm]\bruch{x^{n}-1}{x-1}=1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}[/mm] gilt.
Gruß Abakus

>  
> lg


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Bezug
Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:10 So 15.02.2009
Autor: Hav0c

danke für die antwort aber die bringt mich nicht wirklich vorwärts.. wie komme ich darauf und wie sähe es dann z.b. hier aus?
[mm] f_{n}(x)=x^{n}(1-x)^{n} [/mm]


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Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:53 So 15.02.2009
Autor: angela.h.b.


> danke für die antwort aber die bringt mich nicht wirklich
> vorwärts.. wie komme ich darauf

Hallo,

man kommt darauf, wenn man es schon öfter gesehen hat oder wenn man eine Polynomdivision macht.

Um die eventuelle Grenzfunktion zu berechnen, benötigst Du ja für jede Stelle x des Definitionsbereiches  [mm] \lim{n\to \infty}(f_n(x)), [/mm]

und ich finde, daß abakus' Tipp hier nicht übel ist.

Was ist denn  [mm] \lim{n\to \infty}{1+x+...+x^{n-1}}= \summe_{i=0}^{\infty}x^i [/mm]   für [mm] x\in [/mm]  [0,1)

Damit hast Du dann die Grenzfunktion, und die benötigst Du ja, um über glm Konvergenz nachzudenken.


Für glm Konvergenz mußt Du dann [mm] \lim{n\to \infty}\parallel f_n [/mm] - [mm] f\parallel_{[0,1)} [/mm] berechnen. ist dieser Grenzwert =0, so ist die Funktionenfolge glm konvergent.



>  und wie sähe es dann z.b.
> hier aus?
>  [mm]f_{n}(x)=x^{n}(1-x)^{n}[/mm]

Auch hier sind die entsprechenden Grenzwerte zu berechnen.

Gruß v. Angela

>  


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Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:15 So 15.02.2009
Autor: Hav0c


> Für glm Konvergenz mußt Du dann [mm]\lim{n\to \infty}\parallel f_n[/mm]
> - [mm]f\parallel_{[0,1)}[/mm] berechnen. ist dieser Grenzwert =0, so

das verstehe ich nicht, kannst du das mal näher erklären?
was haben 2 betragsstriche zu bedeuten?

aus der summenformal sehe ich ja per quotientenkriterium schonmal heraus dass es konvergiert da x<0 oder?

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:22 So 15.02.2009
Autor: angela.h.b.


> > Für glm Konvergenz mußt Du dann [mm]\lim{n\to \infty}\parallel f_n[/mm]
> > - [mm]f\parallel_{[0,1)}[/mm] berechnen. ist dieser Grenzwert =0, so
>
> das verstehe ich nicht, kannst du das mal näher erklären?
>  was haben 2 betragsstriche zu bedeuten?

Hallo,

der betragsgrößte Funktionswert, den [mm] f_n-f [/mm] im Intervall [0,1) annimmt.

>  
> aus der summenformal sehe ich ja per quotientenkriterium
> schonmal heraus dass es konvergiert da x<0 oder?

x<1.

Wogegen es konvergiert, solltest Du auch angeben.

Gruß v. Angela


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Konvergenz von Reihen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:41 So 15.02.2009
Autor: Hav0c

könntest du verraten wie ich dann den größten wert dazwischen finde?
ich stehe irgendwie imemrnoch aufm schlau mit der aufgabe

natürlich muss es x<1 heissen, das is ja das kriterium

Bezug
                                                        
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Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:18 So 15.02.2009
Autor: angela.h.b.


> könntest du verraten wie ich dann den größten wert
> dazwischen finde?
>  ich stehe irgendwie imemrnoch aufm schlau mit der aufgabe

Hallo,

vielleicht schreibst Du nun erstmal die Grenzfunktion f auf, und dann die Differenz [mm] f_n(x)- [/mm] f(x).

Danach können wir weitersehen.

Gruß v. Angela


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