Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Do 23.04.2009 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Reihen auf Konvergenz. Benutzen Sie Dazu die einschlägigen Konvergenzkriterien aus der Vorlesung.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}( [/mm] 1- [mm] \bruch{n+1}{n}) [/mm] |
-Leibnitz-Kriterium alternierende Reihe
[mm] ...=\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}( [/mm] 1- [mm] \bruch{n}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n})=
[/mm]
[mm] =\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}(1-1 +\bruch{1}{n})= \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}(1-1 +\bruch{1}{n})=
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}*0= [/mm] 0
Grenzwert 0.
Reihe konvergent
Gruss
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Hallo Stevie!
Idee: sehr gut! Ausführung: mangelhaft!
Es gilt:
[mm] $$\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}*\left( 1-\bruch{n+1}{n}\right) [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}*\left(\red{-}\bruch{1}{n}\right) [/mm] \ = \ [mm] -\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}*\bruch{1}{n}$$
[/mm]
Nun musst Du noch nachweisen, dass [mm] $\bruch{1}{n}$ [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Do 23.04.2009 | | Autor: | StevieG |
Was war bei meiner rechnung falsch? Was war mein Fehler?
Wie kommt auf das - [mm] \bruch{1}{n}?
[/mm]
gruss Stevie
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> Was war bei meiner rechnung falsch? Was war mein Fehler?
Hallo,
bis auf die Idee mit dem Leibniz-Kriterium war ziemlich viel falsch.
Wie lautet denn das Leibnizkriterium genau? Wenn Du das sagen kannst, wird Dir klar werden, was zu zeigen ist. Roadrunner hat's ja auch schon gesagt.
Rechentechnisch gibt es auch Unerfreulichkeiten zu vermelden:
> > >$ [mm] ...=\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}( [/mm] $ 1- $ [mm] \bruch{n}{n} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{1}{n})
[/mm]
Das ist verkehrt, denn es ist [mm] 1-\bruch{n+1}{n}=1- \red{(}\bruch{n}{n}+ \bruch {1}{n}\red{)}.
[/mm]
Dies hier ist kompletter Kokolores, Du fummelst da am Summationsindex rum:
> > >[...] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}(1-1 +\bruch{1}{n})= [/mm] $
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\cdot{}0= [/mm] $ 0
(Wenn man das so machen könnte, würde ja der Reihenwert einer jeglichen Reihe [mm] \summe a_n, [/mm] bei welcher [mm] a_n [/mm] gegen 0 konvergiert, 0 sein, was nicht der Fall ist.)
Gruß v. Angela
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