Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Entscheide, welche der folgenden Reihen [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] konvergent, absolut konvergent oder divergent sind:
[mm] (1)a_{n} [/mm] := [mm] \bruch{nc^n}{n^2+1} [/mm] (c [mm] \in \IR) [/mm] (2) [mm] a_{n} [/mm] := [mm] \bruch{(-1)^n}{n-(-1)^n} [/mm] |
Hi!
Zu (1) glaube ich eine Lösung zu haben und bei (2) komme ich nicht weiter...
(1)
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] = [mm] |\bruch{(n+1)c^{n+1}(n^2+1)}{((n+1)^2+1)nc^n}| [/mm] = [mm] |\bruch{(n+1)c(n^2+1)}{((n+1)^2+1)n}| [/mm] = [mm] |c\bruch{n^3+n^2+n+1}{n^3+2n^2+2n}| [/mm] = [mm] |c\bruch{1+1/n+1/n^2+1/n^3}{1+2/n+2/n^2}| \to [/mm] c (n [mm] \to \infty)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] abs. konv. für c<1, div. für c>1
(2)
[mm] a_{n}=(-1)^n\bruch{1}{n-(-1)^n} [/mm] =: [mm] (-1)^nb_{n}
[/mm]
Nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] absolut, falls [mm] b_{n} [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist.
(i) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n} [/mm] = 0
(ii)
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Hallo,
> Entscheide, welche der folgenden Reihen
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] konvergent, absolut konvergent
> oder divergent sind:
>
> [mm](1)a_{n}[/mm] := [mm]\bruch{nc^n}{n^2+1}[/mm] (c [mm]\in \IR)[/mm] (2) [mm]a_{n}[/mm]
> := [mm]\bruch{(-1)^n}{n-(-1)^n}[/mm]
> Hi!
>
> Zu (1) glaube ich eine Lösung zu haben und bei (2) komme
> ich nicht weiter...
>
> (1)
> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{(n+1)c^{n+1}(n^2+1)}{((n+1)^2+1)nc^n}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{(n+1)c(n^2+1)}{((n+1)^2+1)n}|[/mm] =
> [mm]|c\bruch{n^3+n^2+n+1}{n^3+2n^2+2n}|[/mm] =
> [mm]|c\bruch{1+1/n+1/n^2+1/n^3}{1+2/n+2/n^2}| \to[/mm] c (n [mm]\to \infty)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] abs. konv. für
> c<1, div. für c>1
Genau. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber: Was ist für c = 1 und c = (-1) ?
Tipp: Es kommen verschiedene Ergebnisse heraus!
> (2)
> [mm]a_{n}=(-1)^n\bruch{1}{n-(-1)^n}[/mm] =: [mm](-1)^nb_{n}[/mm]
> Nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] absolut
Nein, sie konvergiert nur "normal", nicht absolut!
, falls [mm]b_{n}[/mm] eine
> monoton fallende Nullfolge ist.
> (i) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_{n}[/mm] = 0
> (ii)
Du musst nun noch prüfen, ob [mm] b_{n} [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist.
Naja:
[mm] b_{1} [/mm] = 1/2
[mm] b_{2} [/mm] = 1/1
[mm] b_{3} [/mm] = 1/4
[mm] b_{4} [/mm] = 1/3
usw.
Mit dem Leibnizkriterium kannst du also schonmal nicht argumentieren.
Schau mal, was du noch so für Kriterien hast.
Ich muss aber ehrlich sagen, dass mir gerade auch nichts passendes einfällt - obwohl ich mir ziemlich sicher bin, dass die Reihe konvergiert...
Grüße,
Stefan
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> > Genau.
> Aber: Was ist für c = 1 und c = (-1) ?
> Tipp: Es kommen verschiedene Ergebnisse heraus!
Oh ja, c=1 muss ich speziell prüfen! Aber warum c=-1? Die Konvergenz-Bedingung war doch "c<1 bzw. c>1"... Wie sollt ich das denn überhaput einsetzen??? Jetzt bin ich grad doch verwirrt... :-(
>
> Mit dem Leibnizkriterium kannst du also schonmal nicht
> argumentieren.
> Schau mal, was du noch so für Kriterien hast.
> Ich muss aber ehrlich sagen, dass mir gerade auch nichts
> passendes einfällt - obwohl ich mir ziemlich sicher bin,
> dass die Reihe konvergiert...
>
> Grüße,
> Stefan
Ich glaube ich hab es! Wenn ich mich nicht vertan habe, müsste es mit dem Majorantenkriterium klappen:
[mm] |\bruch{(-1)^n}{n-(-1)^n}| [/mm] = [mm] \bruch{|(-1)^n|}{|n-(-1)^n|} \le \bruch{1}{|n-(-1)^n|} \le \bruch{1}{n+1} \to [/mm] 0 (n [mm] \to \infty)
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 Di 09.02.2010 | | Autor: | pelzig |
> Ich glaube ich hab es! Wenn ich mich nicht vertan habe,
> müsste es mit dem Majorantenkriterium klappen:
> [mm]|\bruch{(-1)^n}{n-(-1)^n}|[/mm] [mm] =\bruch{|(-1)^n|}{|n-(-1)^n|} \le \bruch{1}{|n-(-1)^n|} \le \bruch{1}{n\red{-}1} \to [/mm] 0 (n [mm]\to \infty)[/mm]
Also erstens ist hast du falsch abgeschätzt (ich habe es in rot korrigiert) und zweitens verlangt das Majorantenkriterium hier, dass die Reihe [mm] $$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{n-1}$$ [/mm] konvergiert, das tut sie aber nicht!
Gruß, Robert
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Hallo,
> > > Genau.
> > Aber: Was ist für c = 1 und c = (-1) ?
> > Tipp: Es kommen verschiedene Ergebnisse heraus!
>
> Oh ja, c=1 muss ich speziell prüfen! Aber warum c=-1? Die
> Konvergenz-Bedingung war doch "c<1 bzw. c>1"... Wie sollt
> ich das denn überhaput einsetzen??? Jetzt bin ich grad
> doch verwirrt... :-(
Dann war ich beim Abnicken wohl etwas zu vorschnell... 
Dein Term mit dem Quotientenkriterium konvergiert gegen |c|, nicht gegen c.
Daraus folgt dann, dass |c| < 1 sein muss. Also ist sowohl c = 1 als auch c = -1 ungeklärt.
(Für den Fall, dass der Grenzwert = 1 ist, macht das Quotientenkriterium keine Aussage!)
Grüße,
Stefan
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Reciht die Aussage bzgl. |c|<1 bzw. |c|>1 denn nicht? Die Aufgabe fragt ja nur ob Konvergent oder nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 Di 09.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein du brauchst auch ob es für c=1 divergiert (das tut es, Minorantenkrit.) dasselbe mit c=-1, konv, Leibniz
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Di 09.02.2010 | | Autor: | pelzig |
Wegen Aufgabe 2): Wenn du dir mal die ersten Glieder der [mm] $b_n$ [/mm] Aufschreibst, wirst du feststellen, dass [mm] $$\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^k}{n-(-1)^k}=-\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^k}{n}\qquad\forall n\in\IN$$ [/mm] Und die rechte Seite konvergiert nach dem Leibnizkriterium.
Gruß, Robert
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