Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle [mm] x\in\IR, [/mm] für welche die Folge konvergiert, absolut konvergiert, oder divergiert:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{k}x^k [/mm] |
Hallo zusammen,
Habe für die Divergenzuntersuchung das Leibniz Kriterium angesetzt, da es sich ja um eine alternierende Reihe handelt, oder?
Das besagt ja:
Sei [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] eine Reihe reeller Zahlen. Wenn die [mm] a_{n} [/mm] die folgenden Bedingungen erfüllen:
[mm] i)|a_{n}| [/mm] strebt monoton nach Null
[mm] ii)a_{n}a_{n+1}<0 [/mm] für jedes [mm] n\in\IN
[/mm]
die 2. Bedingung besagt ja, dass die Summanden [mm] a_{n} [/mm] alternierende Vorzeichen haben.
Also bekomme ich für mein [mm] a_{n} [/mm] der Reihe:
[mm] |\bruch{(-1)^k}{k}x^k| [/mm] und das strebt doch nun monoton nach Null, für alle x<1 oder? Dann wird der Zähler immer kleiner, wobei der Nenner immer weiter wächst.
Wenn das soweit stimmt: Gilt dann für alle x>0 divergenz?
Wie komme ich zur absoluten Konvergenz?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Do 20.01.2011 | | Autor: | wieschoo |
du meinst
[mm] \summe_{\red{k}=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{k}x^k [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Do 20.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie alle [mm]x\in\IR,[/mm] für welche die Folge
> konvergiert, absolut konvergiert, oder divergiert:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{k}x^k[/mm]
wie schon angemerkt meinst Du sicher
[mm] $$\sum_{k=\ldots}^\infty \frac{(-1)^k}{k}x^k\,.$$
[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> Habe für die Divergenzuntersuchung das Leibniz Kriterium
> angesetzt, da es sich ja um eine alternierende Reihe
> handelt, oder?
>
> Das besagt ja:
>
> Sei [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{n}[/mm] eine Reihe reeller Zahlen.
> Wenn die [mm]a_{n}[/mm] die folgenden Bedingungen erfüllen:
>
> [mm]i)|a_{n}|[/mm] strebt monoton nach Null
>
> [mm]ii)a_{n}a_{n+1}<0[/mm] für jedes [mm]n\in\IN[/mm]
>
> die 2. Bedingung besagt ja, dass die Summanden [mm]a_{n}[/mm]
> alternierende Vorzeichen haben.
> Also bekomme ich für mein [mm]a_{n}[/mm] der Reihe:
>
> [mm]|\bruch{(-1)^k}{k}x^k|[/mm] und das strebt doch nun monoton nach
> Null, für alle x<1 oder?
nö. Was ist denn etwa mit $x=-2$? Das Leibnizkriterium liefert Dir hier sicher die Konvergenz für alle $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le 1\,.$ [/mm] Für negative [mm] $x\,$... [/mm] naja: Denke mal drüber nach, was da passiert! Wie sieht's mit dem Vorzeichen von [mm] $(-1)^k x^k$ [/mm] bei negativen [mm] $x\,$ [/mm] in Abhängigkeit von [mm] $k\,$ [/mm] aus? Gibt's da etwas alternierendes?
> Dann wird der Zähler immer
> kleiner, wobei der Nenner immer weiter wächst.
>
> Wenn das soweit stimmt: Gilt dann für alle x>0 divergenz?
> Wie komme ich zur absoluten Konvergenz?
Was man sich eigentlich mehr oder minder leicht überlegen kann, ist, dass Deine Reihe jedenfalls für alle $|x| > [mm] 1\,$ [/mm] divergiert. Das geht sogar ziemlich elementar:
Man überlege sich etwa mit Bernoulli, dass, bei beliebigem, festen [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ jedenfalls
[mm] $$(1+\epsilon)^k/k \not\to 0\text{ bei }k \to \infty\,.$$
[/mm]
Ist $|x| > [mm] 1\,,$ [/mm] so ist [mm] $|(-1)^k x^k/k|=(1+\epsilon)^k/k$ [/mm] mit [mm] $\epsilon=|x|-1 [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] (Übrigens gilt auch für komplexe [mm] $x=z\,,$ [/mm] dass [mm] $|z^k|=|z|^k\,,$ [/mm] so dass man auch bei komplexen $|z| > 1$ schreiben kann [mm] $|z^k|=|z|^k=(1+\epsilon)^k$ [/mm] mit [mm] $\epsilon=|z|-1 [/mm] > [mm] 0\,.$) [/mm] Da die Konvergenz einer Reihe [mm] $\sum a_k$ [/mm] aber [mm] $a_k \to [/mm] 0$ (und damit auch [mm] $|a_k| \to [/mm] 0$) impliziert, kann die Reihe für $|x| > [mm] 1\,$ [/mm] nicht konvergieren.
Für $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$ können wir sagen, dass die Reihe nach Leibniz konvergiert.
Die Divergenz der Reihe für [mm] $x=-1\,$ [/mm] einzusehen ist auch nicht schwer (siehe harmonische Reihe).
Jetzt kannst Du überlegen, ob Du eine Begründung findest, warum die Reihe auch auf $-1 < x < [mm] 0\,$ [/mm] konvergiert.
P.S.:
Wenn man sich mit Potenzreihen auskennt und weiß, dass [mm] $\sqrt[k]{k} \to [/mm] 1$ ($k [mm] \to \infty$), [/mm] erkennt man hier sofort, dass die Reihe für $0 [mm] \le [/mm] |x| [mm] <1\,$ [/mm] konvergiert und für $|x| > [mm] 1\,$ [/mm] divergiert, indem man mit Cauchy-Hadamard den Konvergenzradius berechnet. Die Punkte [mm] $x=1\,$ [/mm] bzw. [mm] $x=-1\,$ [/mm] muss man auch dann nochmal gesondert betrachten, und da stehen die entsprechenden Ergebnisse oben.
Wenn man sich mit Potenzreihen noch nicht auskennt, so kann man indirekt auch Cauchy-Hadamard verwenden, denn die Berechnung des Konvergenzradius erfolgt schließlich durch Anwendung des Wurzelkriteriums. Damit errechnet man sich auch die Konvergenz der Potenzreihe für $|x| < [mm] 1\,$ [/mm] und die Divergenz für $|x| > [mm] 1\,,$ [/mm] und die Punkte [mm] $x=1\,$ [/mm] und $x=-1$ müssen wieder gesondert behandelt werden. Es wäre auch komisch, wenn da plötzlich ein anderes Ergebnis wie bei Cauchy-Hadamard herauskäme, wenn Cauchy-Hadamard ja gerade eigentlich nur das Ergbnis einer Anwendung des Wurzelkriteriums ist.
P.P.S.:
1.) Spaßeshalber kann man sich natürlich auch mal dran versuchen, hier mit dem Quotientenkriterium Ergebnisse zu erzielen. Aber auch da gibt es wieder Zusammenhänge zu den eben erwähnten Dingen.
2.) Die Beantwortung der Frage der absoluten Konvergenz ergibt sich auch direkt durch Cauchy-Hadamard - aber man kann es sich auch aufgrund der Ergebnisse, für welche [mm] $x\,$ [/mm] die Reihe denn konvergiert und für welche sie divergiert, auf welchem Wege man auch immer zu ihnen gekommen ist, herleiten. Denn [mm] $\sum |(-1)^k x^k/k|$ [/mm] kommt bei obigen Überlegungen auch vor, wenn man bei den negativen [mm] $x\,$ [/mm] mal genauer hinguckt, was denn da steht...
Gruß,
Marcel
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