Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Do 07.07.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | a) Zeigen sie das Minorantenkriterium
b)Untersuchen sie [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n+1)5^n}{2^n3^{n+1}} [/mm] auf Konvergenz
c)Untersuchen sie [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{(2n-1)(2n+1)}} [/mm] auf Konvergenz |
Hallo,
in der Vorlesung haben wir schon das Majoranten-, Quotienten- und das Wurzelkriterium eingeführt.
a) Hier habe ich einfach ein Widerspruch zum Majorantenkriterium gezeigt.
Vorausgesetzt sei: [mm] (a_k), (b_k) \subset \IR^{\ge0} [/mm] mit [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN: a_k \ge b_k [/mm] und [mm] \summe_{k=0}^{\infty} b_k [/mm] divergent.
Zu zeigen ist, dass dann auch [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_k [/mm] divergent ist.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} b_k [/mm] divergent ist (glaube ich) äquivalent zu [mm] \summe_{k=0}^{\infty} b_k=+ \infty.
[/mm]
Nun sei die Annahme, dass [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_k [/mm] < [mm] +\infty [/mm] (also [mm] \summe_{}^{}a_k [/mm] konvergent).
Nach dem Majorantenkriterium würde aber folgen, dass dann auch [mm] \summe_{}^{}b_k [/mm] konvergent ist. Dies ist ja ein Widerspruch zur Voraussetzung. Also muss [mm] \summe_{}^{}a_k [/mm] divergent sein.
bei b) und c) weiß ich nicht so recht wie ich vorgehen soll. Kann ich da einfach den Limes bilden?
z.B. bei b)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n+1)5^n}{2^n3^{n+1}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{5}{2}\right)^n (n+1)*3^{-(n+1)}
[/mm]
Betrachtet man, dann die einzelnen Faktoren geht
[mm] \left(\bruch{5}{2}\right)^n [/mm] und (n+1) gegen [mm] \infty, [/mm] aber [mm] 3^{-(n+1)} [/mm] gegen 0.
Und damit konvergiert dann auch das Produkt/die Reihe gegen 0.
Schätze aber mal, man muss hier eins der Kriterien benutzen. Nur wie und welches?
|
|
| |
|
Hallo Sup,
> a) Zeigen sie das Minorantenkriterium
> b)Untersuchen sie
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n+1)5^n}{2^n3^{n+1}}[/mm] auf
> Konvergenz
> c)Untersuchen sie
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{(2n-1)(2n+1)}}[/mm] auf
> Konvergenz
> Hallo,
>
> in der Vorlesung haben wir schon das Majoranten-,
> Quotienten- und das Wurzelkriterium eingeführt.
Das ist eine gute Ausgangsbasis!
>
> a) Hier habe ich einfach ein Widerspruch zum
> Majorantenkriterium gezeigt.
> Vorausgesetzt sei: [mm](a_k), (b_k) \subset \IR^{\ge0}[/mm] mit
> [mm]\forall[/mm] k [mm]\in \IN: a_k \ge b_k[/mm] und [mm]\summe_{k=0}^{\infty} b_k[/mm]
> divergent.
>
> Zu zeigen ist, dass dann auch [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_k[/mm]
> divergent ist.
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} b_k[/mm] divergent ist (glaube ich)
> äquivalent zu [mm]\summe_{k=0}^{\infty} b_k=+ \infty.[/mm]
> Nun sei
> die Annahme, dass [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_k[/mm] < [mm]+\infty[/mm] (also
> [mm]\summe_{}^{}a_k[/mm] konvergent).
> Nach dem Majorantenkriterium würde aber folgen, dass dann
> auch [mm]\summe_{}^{}b_k[/mm] konvergent ist. Dies ist ja ein
> Widerspruch zur Voraussetzung. Also muss [mm]\summe_{}^{}a_k[/mm]
> divergent sein.
>
> bei b) und c) weiß ich nicht so recht wie ich vorgehen
> soll. Kann ich da einfach den Limes bilden?
>
> z.B. bei b)
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n+1)5^n}{2^n3^{n+1}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{5}{2}\right)^n (n+1)*3^{-(n+1)}[/mm]
>
> Betrachtet man, dann die einzelnen Faktoren geht
> [mm]\left(\bruch{5}{2}\right)^n[/mm] und (n+1) gegen [mm]\infty,[/mm] aber
> [mm]3^{-(n+1)}[/mm] gegen 0.
> Und damit konvergiert dann auch das Produkt/die Reihe
> gegen 0.
>
> Schätze aber mal, man muss hier eins der Kriterien
> benutzen. Nur wie und welches?
Na, das Wurzelkriterium bietet sich an, bedenke, dass du [mm] $2^n\cdot{}3^{n+1}$ [/mm] auch schreiben kannst als [mm] $3\cdot{}6^n$
[/mm]
Damit hast du [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n$ [/mm] mit [mm] $a_n=\frac{n+1}{3}\cdot{}\left(\frac{5}{6}\right)^n$
[/mm]
Darauf nun das WK loslassen ...
Bei c) schaue dir die "Größenordnung" der Reihe an:
Für große $n$ ist [mm] $\frac{1}{\sqrt{(2n-1)(2n+1)}}=\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}}\approx \frac{1}{2n}$
[/mm]
Und das sollte dir doch einen Hinweis auf Konvergenz oder Divergenz geben ...
Benutze zum Nachweis das Vergleichskriterium (Majoranten-/Minorantenkriterium)
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Do 07.07.2011 | | Autor: | Sup |
>
> Na, das Wurzelkriterium bietet sich an, bedenke, dass du
> [mm]2^n\cdot{}3^{n+1}[/mm] auch schreiben kannst als [mm]3\cdot{}6^n[/mm]
>
> Damit hast du [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n[/mm] mit
> [mm]a_n=\frac{n+1}{3}\cdot{}\left(\frac{5}{6}\right)^n[/mm]
>
> Darauf nun das WK loslassen ...
>
Dann mache ich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{\bruch{n+1}{3}\left(\bruch{5}{6}\right)^n}=\bruch{5}{6}\limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{\bruch{n+1}{3}}
[/mm]
Nun weiß ich, dass [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] gegen 1 konvergiert.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n+1}{3}=\infty, [/mm] d.h. es ist näherungsweise n und damit ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{\bruch{n+1}{3}}=1
[/mm]
Die Reihe konvergiert als absolut, da 1*5/6 < 1 ist.
> Bei c) schaue dir die "Größenordnung" der Reihe an:
>
> Für große [mm]n[/mm] ist
> [mm]\frac{1}{\sqrt{(2n-1)(2n+1)}}=\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}}\approx \frac{1}{2n}[/mm]
>
> Und das sollte dir doch einen Hinweis auf Konvergenz oder
> Divergenz geben ...
>
> Benutze zum Nachweis das Vergleichskriterium
> (Majoranten-/Minorantenkriterium)
Alles klar, also:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{4n^2-1}}\approx\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2n}
[/mm]
Schreibt man das mit der Summe, dem Limes oder weder noch?
[mm] \bruch{1}{2n}< \bruch{1}{n}
[/mm]
Ich weiß, dass [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] divergiert ist.
Nur um das Minorantenkriterium (die Reihe müsste nämlich divergieren) anwenden zu können müsste doch statt dem ">" ein "<" stehen.
Denn es muss ja gelten: [mm] \summe_{}^{}a_k [/mm] divergent und [mm] a_k \le b_k
[/mm]
Das [mm] a_k [/mm] wäre in diesem Fall aber die Ausgangsfolge/Reihe, über die ich ja keine Aussage treffen kann.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> >
> > Na, das Wurzelkriterium bietet sich an, bedenke, dass du
> > [mm]2^n\cdot{}3^{n+1}[/mm] auch schreiben kannst als [mm]3\cdot{}6^n[/mm]
> >
> > Damit hast du [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n[/mm] mit
> > [mm]a_n=\frac{n+1}{3}\cdot{}\left(\frac{5}{6}\right)^n[/mm]
> >
> > Darauf nun das WK loslassen ...
> >
> Dann mache ich [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{\bruch{n+1}{3}\left(\bruch{5}{6}\right)^n}=\bruch{5}{6}\limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{\bruch{n+1}{3}}[/mm]
>
> Nun weiß ich, dass [mm]\wurzel[n]{n}[/mm] gegen 1 konvergiert.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n+1}{3}=\infty,[/mm] d.h. es
> ist näherungsweise n und damit ist
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{\bruch{n+1}{3}}=1[/mm]
>
> Die Reihe konvergiert als absolut, da 1*5/6 < 1 ist.
precisely!
> > Bei c) schaue dir die "Größenordnung" der Reihe an:
> >
> > Für große [mm]n[/mm] ist
> >
> [mm]\frac{1}{\sqrt{(2n-1)(2n+1)}}=\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}}\approx \frac{1}{2n}[/mm]
>
> >
> > Und das sollte dir doch einen Hinweis auf Konvergenz oder
> > Divergenz geben ...
> >
> > Benutze zum Nachweis das Vergleichskriterium
> > (Majoranten-/Minorantenkriterium)
>
>
> Alles klar, also:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{4n^2-1}}\approx\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2n}[/mm]
>
> Schreibt man das mit der Summe, dem Limes oder weder noch?
Was schreibt man wie?
> [mm]\bruch{1}{2n}< \bruch{1}{n}[/mm]
>
> Ich weiß, dass [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n}[/mm]
> divergiert ist.
>
> Nur um das Minorantenkriterium (die Reihe müsste nämlich
> divergieren) anwenden zu können müsste doch statt dem ">"
> ein "<" stehen.
> Denn es muss ja gelten: [mm]\summe_{}^{}a_k[/mm] divergent und [mm]a_k \le b_k[/mm]
>
> Das [mm]a_k[/mm] wäre in diesem Fall aber die Ausgangsfolge/Reihe,
> über die ich ja keine Aussage treffen kann.
Na, es ist doch sicher [mm] $4n^2-1 [/mm] \ < \ [mm] 4n^2$ [/mm] (und für $n>0$ beides >0), also wegen der Monotonie der Wurzel auch [mm] $\sqrt{4n^2-1} [/mm] \ < \ [mm] \sqrt{4n^2}=2n$
[/mm]
Übergang zum Kehrbruch: [mm] $\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}} [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] \frac{1}{2n}$
[/mm]
Also [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}} [/mm] \ = \ [mm] \frac{1}{\sqrt{3}}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}} [/mm] \ > \ [mm] \frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$
[/mm]
Passt doch wunderbar, du hast eine div. Minorante ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Do 07.07.2011 | | Autor: | Sup |
> > > Bei c) schaue dir die "Größenordnung" der Reihe an:
> > >
> > > Für große [mm]n[/mm] ist
> > >
> >
> [mm]\frac{1}{\sqrt{(2n-1)(2n+1)}}=\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}}\approx \frac{1}{2n}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Und das sollte dir doch einen Hinweis auf Konvergenz oder
> > > Divergenz geben ...
> > >
> > > Benutze zum Nachweis das Vergleichskriterium
> > > (Majoranten-/Minorantenkriterium)
> >
> >
> > Alles klar, also:
> >
> >
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{4n^2-1}}\approx\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2n}[/mm]
> >
> > Schreibt man das mit der Summe, dem Limes oder weder noch?
>
> Was schreibt man wie?
Würde man es in dem Zusammenhang so wie oben schreiben oder:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{4n^2-1}}\approx\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2n}
[/mm]
>
> > [mm]\bruch{1}{2n}< \bruch{1}{n}[/mm]
> >
> > Ich weiß, dass [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n}[/mm]
> > divergiert ist.
> >
> > Nur um das Minorantenkriterium (die Reihe müsste nämlich
> > divergieren) anwenden zu können müsste doch statt dem ">"
> > ein "<" stehen.
> > Denn es muss ja gelten: [mm]\summe_{}^{}a_k[/mm] divergent und
> [mm]a_k \le b_k[/mm]
> >
> > Das [mm]a_k[/mm] wäre in diesem Fall aber die Ausgangsfolge/Reihe,
> > über die ich ja keine Aussage treffen kann.
>
> Na, es ist doch sicher [mm]4n^2-1 \ < \ 4n^2[/mm] (und beides >0),
> also wegen der Monotonie der Wurzel auch [mm]\sqrt{4n^2-1} \ < \ \sqrt{4n^2}=2n[/mm]
>
> Übergang zum Kehrbruch: [mm]\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}} \ \red{>} \ \frac{1}{2n}[/mm]
>
> Also [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}} \ = \ \frac{1}{\sqrt{3}}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}} \ > \ \frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/mm]
>
Die linke Seite verstehe ich. Nach dem Gleichheitszeichen müsste aber [mm] \summe_{n=2}^{\infty}, [/mm] denn du hast hat das erste Element (n=1) rausgezogen. Nur warum machst du das überhaupt?
Zur rechten Seite: Das [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] hast du nur dazugeschrieben, damit die ">"-Beziehung erhalten bleibt, oder wo kommt das sonst her?
> Passt doch wunderbar, du hast eine div. Minorante ...
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> > > > Bei c) schaue dir die "Größenordnung" der Reihe an:
> > > >
> > > > Für große [mm]n[/mm] ist
> > > >
> > >
> >
> [mm]\frac{1}{\sqrt{(2n-1)(2n+1)}}=\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}}\approx \frac{1}{2n}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Und das sollte dir doch einen Hinweis auf Konvergenz oder
> > > > Divergenz geben ...
> > > >
> > > > Benutze zum Nachweis das Vergleichskriterium
> > > > (Majoranten-/Minorantenkriterium)
> > >
> > >
> > > Alles klar, also:
> > >
> > >
> >
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{4n^2-1}}\approx\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2n}[/mm]
> > >
> > > Schreibt man das mit der Summe, dem Limes oder weder noch?
> >
> > Was schreibt man wie?
> Würde man es in dem Zusammenhang so wie oben schreiben
> oder:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{4n^2-1}}\approx\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2n}[/mm]
Nein, diesen Limes brauchst du nicht, ich hatte das nur aufgeschrieben, damit du ein Ahnung bekommst, dass sich deine Reihe ungefähr verhält wie [mm]\frac{1}{2}\sum\frac{1}{n}[/mm]
> >
> > > [mm]\bruch{1}{2n}< \bruch{1}{n}[/mm]
> > >
> > > Ich weiß, dass [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n}[/mm]
> > > divergiert ist.
> > >
> > > Nur um das Minorantenkriterium (die Reihe müsste nämlich
> > > divergieren) anwenden zu können müsste doch statt dem ">"
> > > ein "<" stehen.
> > > Denn es muss ja gelten: [mm]\summe_{}^{}a_k[/mm] divergent
> und
> > [mm]a_k \le b_k[/mm]
> > >
> > > Das [mm]a_k[/mm] wäre in diesem Fall aber die Ausgangsfolge/Reihe,
> > > über die ich ja keine Aussage treffen kann.
> >
> > Na, es ist doch sicher [mm]4n^2-1 \ < \ 4n^2[/mm] (und beides >0),
> > also wegen der Monotonie der Wurzel auch [mm]\sqrt{4n^2-1} \ < \ \sqrt{4n^2}=2n[/mm]
>
> >
> > Übergang zum Kehrbruch: [mm]\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}} \ \red{>} \ \frac{1}{2n}[/mm]
>
> >
> > Also [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}} \ = \ \frac{1}{\sqrt{3}}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}} \ > \ \frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/mm]
>
> >
> Die linke Seite verstehe ich. Nach dem Gleichheitszeichen
> müsste aber [mm]\summe_{n=2}^{\infty},[/mm] denn du hast hat das
> erste Element (n=1) rausgezogen. Warum machst du dass
> überhaupt?
Ich hatte mich von deiner Aufgabenstellung verwirren lassen, da geht die Reihe bei [mm]n=0[/mm] los, was aber nicht definiert ist.
Richtigerweise geht die Reihe bei $n=1$ los.
Das hatte ich gar nicht bedacht bzw. übersehen 
Ich hatte den ersten Summanden rausgezogen, um rechterhand [mm]\frac{1}{0}[/mm] zu vermeiden.
Ist aber vollkommen unnötig.
Die Reihe startet bei [mm]n=1[/mm] und die oben gemachte Abschätzung gilt für [mm]n>0[/mm], also insbes. für alle [mm]n\ge 1[/mm]
Also [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{4n^2-1}} \ > \ \frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:08 Do 07.07.2011 | | Autor: | Sup |
> Ist aber vollkommen unnötig.
Stimmt, hab mich in der Aufgabenstellung vertan. Die Reihe geht bei n=1 los, men Fehler. Kommt davon, wenn man das Summenzeichen einfach kopiert :)
Danke dir, hast mir sehr weiter gehofen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Do 07.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> a) Zeigen sie das Minorantenkriterium
> b)Untersuchen sie
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n+1)5^n}{2^n3^{n+1}}[/mm] auf
> Konvergenz
> c)Untersuchen sie
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{(2n-1)(2n+1)}}[/mm] auf
> Konvergenz
> Hallo,
>
> in der Vorlesung haben wir schon das Majoranten-,
> Quotienten- und das Wurzelkriterium eingeführt.
>
> a) Hier habe ich einfach ein Widerspruch zum
> Majorantenkriterium gezeigt.
> Vorausgesetzt sei: [mm](a_k), (b_k) \subset \IR^{\ge0}[/mm] mit
> [mm]\forall[/mm] k [mm]\in \IN: a_k \ge b_k[/mm] und [mm]\summe_{k=0}^{\infty} b_k[/mm]
> divergent.
>
> Zu zeigen ist, dass dann auch [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_k[/mm]
> divergent ist.
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} b_k[/mm] divergent ist (glaube ich)
> äquivalent zu [mm]\summe_{k=0}^{\infty} b_k=+ \infty.[/mm]
nur eine Anmerkung: Im Allgemeinen wäre das falsch, wie etwa das Beispiel [mm] $\sum_{k=1}^\infty (-1)^k$ [/mm] zeigt.
Bei Dir sind aber nach Voraussetzung alle [mm] $b_k \ge 0\,.$ [/mm] Ist nun [mm] $\sum b_k=\infty\,,$ [/mm] so ist in der Tat dann die Reihe divergent. Ist andererseits nun [mm] $\sum b_k [/mm] < [mm] \infty\,,$ [/mm] so ist die Reihe - d.h. die,hier, monoton wachsende Folge der entsprechenden Teilsummen - nach oben beschränkt und daher konvergent.
Somit hast Du mit Deinem Glauben hier absolut Recht (aber nicht unter Vernachlässigung der Tatsache, dass alle [mm] $b_k \ge [/mm] 0$ sind).
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
