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| Aufgabe | Welche der folgenden Reihen sind konvergent und warum?
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} ((\wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n})/(n+1))
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel[n]{x}-1) [/mm] , x>0
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n (\bruch{n-1}{n+1}) [/mm] |
Hallo,
irgendwie fehlt mir hier der Einstieg. Woran kann ich erkennen welche Kriterien ich anwenden muss? Bin ich dafür einfach nur blind oder kann man das erst nach Jahren der Übung sehen? Die Kriterien sind mir eigentlich alle klar, aber irgendwie weiß ich damit nichts anzufangen. Soll ich z.B. die erste Reihe einfach umformen wie bei den Folgen? Wäre für ein paar Tipps sehr dankbar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Arthaire,
> Welche der folgenden Reihen sind konvergent und warum?
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} ((\wurzel{n+1}[/mm] - [mm]\wurzel{n})/(n+1))[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel[n]{x}-1)[/mm] , x>0
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n (\bruch{n-1}{n+1})[/mm]
> Hallo,
>
> irgendwie fehlt mir hier der Einstieg. Woran kann ich
> erkennen welche Kriterien ich anwenden muss? Bin ich dafür
> einfach nur blind oder kann man das erst nach Jahren der
> Übung sehen? Die Kriterien sind mir eigentlich alle klar,
> aber irgendwie weiß ich damit nichts anzufangen. Soll ich
> z.B. die erste Reihe einfach umformen wie bei den Folgen?
> Wäre für ein paar Tipps sehr dankbar
Für die erste erweitere mal mit [mm]\sqrt{n+1}\red{+}\sqrt{n}[/mm]
Dann kannst du leicht gegen eine konvergente Majorante des Typs [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}[/mm] mit [mm]s>1[/mm] abschätzen ...
Bei der letzten prüfe mal, ob das Trivialkriterium überhaupt erfüllt ist.
Ist [mm](a_n)_n[/mm] eine Nullfolge? Das ist ja notwendig für die Konvergenz der Reihe [mm]\sum a_n[/mm]
Für die zweite muss ich noch überlegen ...
>
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 Di 06.12.2011 | | Autor: | Arthaire |
Dankeschön schonmal,
reicht es wenn ich die Abschätzung einfach über die ersten Glieder mache und das dann auch die restlichen Glieder zurückschließe?
Geht dort auch der Vergleich mit der geometrischen Reihe oder muss eine Funktion mit der Basis n sein?
Bei der dritten Aufgabe reicht es also zu sagen, dass die Folge nicht konvergiert? Sie alterniert ja gegen -1 und 1.
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Hallo nochmal,
> Dankeschön schonmal,
>
> reicht es wenn ich die Abschätzung einfach über die
> ersten Glieder mache und das dann auch die restlichen
> Glieder zurückschließe?
Da musst du (mir) genauer erklären, was du meinst ...
Du kannst endlich viele Glieder (am Anfang) vernachlässigen, die spielen für das Konvergenzverhalten keine Rolle ...
> Geht dort auch der Vergleich mit der geometrischen Reihe
Den sehe ich nicht ...
Wie meinst du das genau?
> oder muss eine Funktion mit der Basis n sein?
Naja, die Reihen des Typs [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}[/mm] sind für [mm]s>1[/mm] konvergent und für [mm]s\le 1[/mm] divergent, die harmonische Reihe ist also sozusagen die Grenzreihe zwischen den konvergenten und divergenten Reihen dieses Typs.
Nach der erwähnten Erweiterung ist eine Abschätzung gegen eine der konvergenten Reihen doch offensichtlich.
Damit hättest du eine konvergente Majorante und damit gem. Vergleichskriterium auch Konvergenz für deine (kleinere) Reihe.
Was kommt denn bei der Erweiterung heraus?
> Bei der dritten Aufgabe reicht es also zu sagen, dass die
> Folge nicht konvergiert?
Nicht gegen 0 (!!) konvergiert!
> Sie alterniert ja gegen -1 und 1.
Jo, auf jeden Fall ist sie keine Nullfolge, damit ist die zugeh. Reihe divergent.
Feddich!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Di 06.12.2011 | | Autor: | Arthaire |
Da musst du (mir) genauer erklären, was du meinst ...
Du kannst endlich viele Glieder (am Anfang) vernachlässigen, die spielen für das Konvergenzverhalten keine Rolle ...
Meintest du nicht das Vergleichskriterium? Wenn ich die Reihe hier mit z.B. der geometrischen Reihe vergleiche und die geometrische Reihe ab einem gewissen n immer größer als die betrachtete Reihe ist, dann ist das doch ein Beweis für die Konvergenz?
Es kommt heraus: [mm] \bruch{1}{(n+1)(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}
[/mm]
Zur dritten bzw. allgemein: Wenn ich zeigen kann, dass die Folge keine Nullfolge ist, dann ist das gleich ein Ausschlusskriterium für die Konvergenz? Das habe ich doch richtig verstanden, oder?
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Hallo nochmal,
> Da musst du (mir) genauer erklären, was du meinst ...
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> Du kannst endlich viele Glieder (am Anfang)
> vernachlässigen, die spielen für das Konvergenzverhalten
> keine Rolle ...
>
> Meintest du nicht das Vergleichskriterium?
Nein, das meinte ich allgemein.
Es haben [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n[/mm] und [mm]\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}a_n[/mm] dasselbe Konvergenzverhalten
> Wenn ich die
> Reihe hier mit z.B. der geometrischen Reihe vergleiche und
> die geometrische Reihe ab einem gewissen n immer größer
> als die betrachtete Reihe ist, dann ist das doch ein Beweis
> für die Konvergenz?
Ja, hast du denn eine passende Vergleichsreihe zur Hand, wo man unschwer sieht, dass sie größer ist (und konvergent) ?
>
> Es kommt heraus: [mm]\bruch{1}{(n+1)(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}[/mm]
Ja, und das ist doch von der Größenordnung [mm]\frac{1}{n^{3/2}}[/mm] ...
>
> Zur dritten bzw. allgemein: Wenn ich zeigen kann, dass die
> Folge keine Nullfolge ist, dann ist das gleich ein
> Ausschlusskriterium für die Konvergenz? Das habe ich doch
> richtig verstanden, oder?
Ja! Genauer aufgeschrieben gilt:
[mm]\sum\limist_{n=0}^{\infty}a_n \ \text{konvergent} \ \Rightarrow (a_n)_{n\in\IN} \ \text{ist Nullfolge}[/mm]
Dies ist per Kontraposition äquivalent zu
[mm](a_n)_{n\in\IN} \ \text{ist KEINE Nullfolge} \ \Rightarrow \ \sum\limist_{n=0}^{\infty}a_n \ \text{divergent}[/mm]
Letzteres nennt sich Trivialkriterium
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:07 Di 06.12.2011 | | Autor: | Arthaire |
> Hallo nochmal,
>
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> > Da musst du (mir) genauer erklären, was du meinst ...
> >
> > Du kannst endlich viele Glieder (am Anfang)
> > vernachlässigen, die spielen für das Konvergenzverhalten
> > keine Rolle ...
> >
> > Meintest du nicht das Vergleichskriterium?
>
> Nein, das meinte ich allgemein.
>
> Es haben [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n[/mm] und
> [mm]\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}a_n[/mm] dasselbe
> Konvergenzverhalten
>
> > Wenn ich die
> > Reihe hier mit z.B. der geometrischen Reihe vergleiche und
> > die geometrische Reihe ab einem gewissen n immer größer
> > als die betrachtete Reihe ist, dann ist das doch ein Beweis
> > für die Konvergenz?
>
> Ja, hast du denn eine passende Vergleichsreihe zur Hand, wo
> man unschwer sieht, dass sie größer ist (und konvergent)
> ?
Eine einfache Reihe nach der Art [mm] \bruch{1}{n^4/3} [/mm] ist immer größer und konvergent sollte sie auch sein.
> >
> > Es kommt heraus: [mm]\bruch{1}{(n+1)(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}[/mm]
>
> Ja, und das ist doch von der Größenordnung
> [mm]\frac{1}{n^{3/2}}[/mm] ...
>
> >
> > Zur dritten bzw. allgemein: Wenn ich zeigen kann, dass die
> > Folge keine Nullfolge ist, dann ist das gleich ein
> > Ausschlusskriterium für die Konvergenz? Das habe ich doch
> > richtig verstanden, oder?
>
> Ja! Genauer aufgeschrieben gilt:
>
> [mm]\sum\limist_{n=0}^{\infty}a_n \ \text{konvergent} \ \Rightarrow (a_n)_{n\in\IN} \ \text{ist Nullfolge}[/mm]
>
> Dies ist per Kontraposition äquivalent zu
>
> [mm](a_n)_{n\in\IN} \ \text{ist KEINE Nullfolge} \ \Rightarrow \ \sum\limist_{n=0}^{\infty}a_n \ \text{divergent}[/mm]
>
> Letzteres nennt sich Trivialkriterium
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
> >
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Do 08.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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