Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Do 21.06.2012 | | Autor: | herlos |
| Aufgabe | Untersuchen Sie mittels Vergleichskriterien die Konvergenz der Reihe S = [mm] \summe_{i=11}^{\infty} a_{k}
[/mm]
für (a) [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{k²+4k}} [/mm]
für (b) [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{k³+sin k}} [/mm] |
Hallo,
laut den offiziellen Lösungen zu den Aufgaben, ist die Reihe in a) divergengt, die in b) konvergent. Nach meinem Rechnungsweg komme ich aber auf die Diergenz beider.
Für beide Aufgaben habe ich die harmonische Reihe [mm] \bruch{1}{k} [/mm] herangezogen, die ja divergent ist. Alle Reihen, deren Glieder alle kleiner sind als das jeweilige Glied dieser harmonischen Reihe, sind somit auch divergent, richtig?
Ich habe das auf beide Aufgaben so angewendet .. Stimmt das denn etwa nicht? Wie ich es sehe, bleibt für k [mm] \mapsto \infty [/mm] der Zähler bei beiden Reihen 1 und die Nenner gehen [mm] \mapsto \infty [/mm] , und zwar in größeren Schritten als bei [mm] \bruch{1}{k} [/mm] .
Würde mich sehr über Antworten freuen. Hoffe, ich habe mein Problem genau genug veranschaulicht.
Vielen Dank schonmal
Johannes
Ach ja: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
EDIT: Habe das Thema jetzt auch in einem anderen Forum reingestellt. Bitte bemüht euch nicht mehr. Sorry, aber die Bedienung dieses Forums ist der Horror, ich raste regelmäßig aus. Vielen Dank trotzdem.
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Hallo Johannes / herlos, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Da muss man wohl genauer schauen:
> Untersuchen Sie mittels Vergleichskriterien die Konvergenz
> der Reihe S = [mm]\summe_{i=11}^{\infty} a_{k}[/mm]
>
> für (a) [mm]a_{k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{k^2+4k}}[/mm]
>
> für (b) [mm]a_{k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{k^3+sin k}}[/mm]
Ich habe die Formeln mal lesbar gemacht. Bitte verwende nicht diese albernen ASCII-Hochzahlen, da gibt es sowieso nur die 2 und die 3. Exponenten schreibt man hier (wie überall in LaTeX) nach einem "Dach" (Caret-Zeichen) in geschweiften Klammern:
e^{x+1} ergibt [mm] e^{x+1} [/mm] etc.
Nur dann, wenn der Exponent aus einem einzigen Zeichen besteht, kann man die Klammern auch weglassen: x^a ergibt [mm] x^a.
[/mm]
Dein [mm] k^2 [/mm] und [mm] k^3 [/mm] gehen entsprechend: k^2 oder k^{2} etc.
> Hallo,
> laut den offiziellen Lösungen zu den Aufgaben, ist die
> Reihe in a) divergent, die in b) konvergent. Nach meinem
> Rechnungsweg komme ich aber auf die Diergenz beider.
>
> Für beide Aufgaben habe ich die harmonische Reihe
> [mm]\bruch{1}{k}[/mm] herangezogen, die ja divergent ist. Alle
> Reihen, deren Glieder alle kleiner sind als das jeweilige
> Glied dieser harmonischen Reihe, sind somit auch divergent,
> richtig?
Nein, das ist nicht richtig. Alle Reihen, deren Glieder alle größer sind (es reicht, wenn es alle ab einem bestimmten Punkt sind), sind auch divergent.
> Ich habe das auf beide Aufgaben so angewendet .. Stimmt
> das denn etwa nicht? Wie ich es sehe, bleibt für k [mm]\mapsto \infty[/mm]
> der Zähler bei beiden Reihen 1 und die Nenner gehen
> [mm]\mapsto \infty[/mm] , und zwar in größeren Schritten als bei
> [mm]\bruch{1}{k}[/mm] .
Na, dann wären ja alle Glieder kleiner und es wäre keine Aussage möglich.
Du wirst bei der a) um eine kleine Verschiebung nicht herumkommen.
Dazu kannst Du die Abschätzung [mm] \bruch{1}{k+2}<\bruch{1}{\wurzel{k^2+4k}} [/mm] verwenden.
> Würde mich sehr über Antworten freuen. Hoffe, ich habe
> mein Problem genau genug veranschaulicht.
Bei der Reihe b) ist das Problem ein anderes:
Die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^s} [/mm] ist für [mm] 0
Grüße
reverend
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