Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 So 09.12.2012 | | Autor: | Andy_18 |
| Aufgabe | Berechnen Sie [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{2}{4} [/mm] + [mm] \bruch{3}{8} [/mm] + [mm] \bruch{4}{16} [/mm] + [mm] \bruch{5}{32} [/mm] + ...
und
1 + [mm] \bruch{3}{2} [/mm] + [mm] \bruch{5}{4} [/mm] + [mm] \bruch{7}{8} [/mm] + [mm] \bruch{9}{16} [/mm] + [mm] \bruch{11}{32} [/mm] + ... |
Also die Reihen würden ja lauten:
Für den ersten Term: [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{2^k}
[/mm]
Für den zweiten Term: [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{2k - 1}{2^{k-1}}
[/mm]
Jedoch find ich gerade irgendwie keinen Ansatz wie ich den Grenzwert der beiden Reihen ausrechnen kann.. Ich wär euch sehr dankbar über ein paar Tipps wie ich das angehen kann
Gruß,
Andy
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:37 So 09.12.2012 | | Autor: | DrRiese |
Wenn du das k in deinem Zähler vorziehst, hast du in deinem verbliebenen Term die "berühmte" geometrische Reihe. Und das vorgezogene k könnte in die Gaußsche-Summenformel verpackt werden und am Schluss beides miteinander verrechnet werden 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 So 09.12.2012 | | Autor: | Andy_18 |
Meinst du dann das das erste heißen würde:
[mm] \sum_{k=1}^{\infty} [/mm] k * [mm] \bruch{1}{2^k}
[/mm]
Dann nun die Gaußsche Summen formel für das k anwenden kann, das wäre dann [mm] \bruch{k^2 +k}{2}
[/mm]
Aber bei dem zweiten Teil hatten wir nur für |q| < 1 gegeben dass die Reihe dann gegen [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] konvergiert, in dem Fall ist aber das q doch 2 also >1?
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(Antwort) fehlerhaft | | Datum: | 16:05 So 09.12.2012 | | Autor: | DrRiese |
$ [mm] \sum_{k=1}^{\infty} [/mm] $ k *$ [mm] \sum_{k=1}^{\infty} [/mm] $ [mm] (\bruch{1}{2})^k
[/mm]
Gaußsche Summenformel [mm] \bruch{k(k+1)}{2}
[/mm]
Geometrische Summenformel: [mm] \bruch{1}{1-x}
[/mm]
Wobei |x| < 1 sein soll. Dein x = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 16:12 So 09.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty}[/mm] k *[mm] \sum_{k=1}^{\infty}[/mm] [mm](\bruch{1}{2})^k[/mm]
das ist nicht [mm] $=\sum_{k=1}^\infty k*\frac{1}{2^k}$!!
[/mm]
(Insbesondere ist es unvorteilhaft, bei beiden Summen den Laufindex
gleich zu bezeichnen, denn dann weiß man gar nicht mehr, was da
eigentlich stehen soll - aber wenn man ihn anders bezeichnet, wird's auch
falsch: Kennst Du das ![[]](/images/popup.gif) Cauchyprodukt (klick!)?!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 So 09.12.2012 | | Autor: | Andy_18 |
Okay dann hätte ich jetzt zur ersten Reihe: [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{2^k} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{\infty} [/mm] k * [mm] \bruch{1}{2^k} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{\infty} [/mm] k * [mm] {(\bruch{1}{2})}^k [/mm] = [mm] \bruch{k(k+1)}{2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{1 - \bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{k(k+1)}{2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{k(k+1)}{2} [/mm] * 2 = [mm] \bruch{2k(k+1)}{2} [/mm] = k(k+1)
Zur zweiten Reihe: [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{2k-1}{2^{k-1}} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{\infty} [/mm] (2k-1) * [mm] \bruch{1}{2^{k-1}} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty} [/mm] (2(k+1)-1) * [mm] \bruch{1}{2^{(k+1)-1}} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty} [/mm] (2k+1) * [mm] \bruch{1}{2^k} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty} [/mm] (2k+1) * [mm] {(\bruch{1}{2})}^k [/mm] = [mm] \bruch{(2k+1)((2k+1)+1)}{2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{2}}= \bruch{(2k+1)(2k+2)}{2} [/mm] * 2 = (2k+1)(2k+2)
Stimmt das so? :)
Gruß,
Andy
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 So 09.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay dann hätte ich jetzt zur ersten Reihe:
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{2^k}[/mm] = [mm]\sum_{k=1}^{\infty}[/mm] k
> * [mm]\bruch{1}{2^k}[/mm] = [mm]\sum_{k=1}^{\infty}[/mm] k *
> [mm]{(\bruch{1}{2})}^k[/mm] = [mm]\bruch{k(k+1)}{2}[/mm] * [mm]\bruch{1}{1 - \bruch{1}{2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{k(k+1)}{2}[/mm] * [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{2}}[/mm] =
> [mm]\bruch{k(k+1)}{2}[/mm] * 2 = [mm]\bruch{2k(k+1)}{2}[/mm] = k(k+1)
Du siehst doch schon am Ergebnis, dass das keinen Sinn macht. Außerdem:
DrRieses Tipps hier sind für die Tonne!
Den Rest gucke ich mir deswegen auch gar nicht mehr erst an. Schau'
lieber in meine Antwort und mach's richtig - Du musst auch nicht jedem hier
alles glauben, aber ich weiß, dass meine Rechnungen stimmen (weil ich
jeden Schritt davon beweisen kann) und die von DrRiese Unsinn sind (was
er sich auch selbst nochmal klarmachen sollte - und das solltest Du Dir auch
nochmal klarmachen, dass sein Vorschlag hier unsinnig und falsch ist - wir
erfinden keine neuen Rechenregeln!)
Gruß,
Marcel
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(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 16:13 So 09.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wenn du das k in deinem Zähler vorziehst, hast du in
> deinem verbliebenen Term die "berühmte" geometrische
> Reihe. Und das vorgezogene k könnte in die
> Gaußsche-Summenformel verpackt werden und am Schluss
> beides miteinander verrechnet werden
nein - das wird falsch!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 So 09.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen Sie [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{2}{4}[/mm] + [mm]\bruch{3}{8}[/mm] +
> [mm]\bruch{4}{16}[/mm] + [mm]\bruch{5}{32}[/mm] + ...
>
> und
>
> 1 + [mm]\bruch{3}{2}[/mm] + [mm]\bruch{5}{4}[/mm] + [mm]\bruch{7}{8}[/mm] +
> [mm]\bruch{9}{16}[/mm] + [mm]\bruch{11}{32}[/mm] + ...
> Also die Reihen würden ja lauten:
>
> Für den ersten Term: [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{2^k}[/mm]
dafür kannst Du meine Antwort hier (klick!) bzw. natürlich auch den ganzen
Thread da mal studieren.
> Für den zweiten Term: [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{2k - 1}{2^{k-1}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Mit
$$\sum_{k=1}^\infty \frac{2k-1}{2^{k-1}}=(\sum_{k=1}^\infty \frac{2k}{2^{k-1}})-\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^{k-1}}=(2*\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2^k})-\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{2}}\right)^{k-1}=(2*\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2^k})-\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{2}}\right)^k$$
und dem vorangegangen Ergebnis solltest Du das nun gelöst bekommen.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 So 09.12.2012 | | Autor: | Andy_18 |
Okay schon mal vielen Dank für deine Bemerkung! :)
Meine Frage jedoch: Wenn man sich die ganze Rechnung anschaut macht das ganze natürlich Sinn. Jedoch wie kommt man von Anfang an darauf diesen Ansatz
[mm] \frac{k}{2^k}-\frac{k-1}{2^{k-1}}=\frac{k-2\cdot{}(k-1)}{2^k}=\frac{2}{2^k}-\frac{k}{2^k}\stackrel{\red{(*)}}{=}(1/2)^{k-1}-\frac{k}{2^k}
[/mm]
zu verweden?
Für die zweite Reihe kam bei mir dann 2 - [mm] \bruch{n+2}{2^{n-1}} [/mm] raus, kann das stimmen?
Grüße,
Andy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 So 09.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay schon mal vielen Dank für deine Bemerkung! :)
>
> Meine Frage jedoch: Wenn man sich die ganze Rechnung
> anschaut macht das ganze natürlich Sinn. Jedoch wie kommt
> man von Anfang an darauf diesen Ansatz
>
> [mm]\frac{k}{2^k}-\frac{k-1}{2^{k-1}}=\frac{k-2\cdot{}(k-1)}{2^k}=\frac{2}{2^k}-\frac{k}{2^k}\stackrel{\red{(*)}}{=}(1/2)^{k-1}-\frac{k}{2^k}[/mm]
>
> zu verweden?
das hatte ich in der Antwort - auf die ich verwiesen hatte - eigentlich
geschrieben: Da Teleskopreihen/Teleskopsummen etwas sind, womit
man umgehen kann, kann man hier einfach mal entsprechend ein wenig
"rumtesten". Solche Dinge sind ja auch erstmal "Ideen", das wird nicht
immer nützlich oder zielführend sein (müssen).
Oben war halt [mm] $a_k=k/2^k\,,$ [/mm] und dann habe ich mir halt mal angeguckt,
was denn [mm] $a_k-a_{k-1}$ [/mm] ergibt, weil man bei Teleskopsummen halt weiß:
[mm] $$\sum_{k=1}^n (a_k-a_{k-1})=a_n-a_0\,,$$
[/mm]
was zur Folge hat:
Wenn [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergent ist gegen [mm] $a\,,$ [/mm] so folgt
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty (a_k-a_{k-1})=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n (a_k-a_{k-1})=\lim_{n \to \infty} (a_n-a_0)=(\lim_{n \to \infty} a_n)-a_0=a-a_0\,.$$
[/mm]
> Für die zweite Reihe kam bei mir dann 2 -
> [mm]\bruch{n+2}{2^{n-1}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
raus, kann das stimmen?
Nein - was soll denn da das $n\,$? Deine Reihe geht nicht nur bis $n\,.$
Bedenke:
Eine Reihe $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ steht erstmal nur für die Folge
ihrer Teilsummen, d.h. $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ ist erstmal nichts
anderes als eine Notation für $(s_n)_{n=n_0}^\infty$ mit
$$s_n:=\sum_{k=n_0}^n a_k \text{ für jede ganze Zahl }n \ge n_0\,.$$
Falls die Folge $(s_n)_{n=n_0}^\infty$ konvergent ist gegen $s\,,$ dann
kommt dem Symbol
$$\sum_{k=n_0}^\infty a_k$$
eine weitere Bedeutung zu: Man definiert dann zudem
$$\sum_{k=n_0}^\infty a_k:=s=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=n_0}^n a_k\,.$$
Anders gesagt, der Satz: "Die Reihe $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ konvergiert gegen $\sum_{k=n_0}^\infty a_k\,.$"
bedeutet:
"Die Folge $(s_n)_{n=n_0}^\infty$ der Teilsummen ist konvergent mit
Grenzwert $s=\lim_{n \to \infty}s_n=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=n_0}^n a_k$"
So, und nun zurück zu den Aufgaben:
Bei der ERSTEN Deiner beiden Aufgaben gilt doch für jedes natürliche $n \ge 1$
das Folgende:
Es ist
$$\sum_{k=1}^n k/2^k=2-\frac{n+2}{2^n}\,.$$
Daraus ergibt sich die Konvergenz von
$$\sum_{k=1}^\infty k/2^k=2-\frac{n+2}{2^n}\,,$$
denn es existiert $\lim_{n \to \infty}\left(2-\frac{n+2}{2^n}\right)$ (warum eigentlich?):
Welchen Wert hat denn dieser Grenzwert?
Und bei der ZWEITEN Reihe:
Für jedes natürliche $n \ge 1$ gilt mit den gegebenen Umformungen:
$$\sum_{k=1}^n \frac{2k-1}{2^{k-1}}=\ldots=(2\cdot{}\sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k})-\sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{1}{2}}\right)^k=2-\frac{n+2}{2^n}-\frac{1-(1/2)^n}{1-1/2}\,.$$
Wenn man Spaß dran hat, kann man da noch zusammenfassen etc. pp.,
aber das bringt eigentlich nichts:
Um die Existenz des Grenzwertes
$$\sum_{k=1}^n \frac{2k-1}{2^{k-1}}$$
zu zeigen und um den Wert dieses Grenzwertes zu berechnen, reicht es
nach obigem, zu zeigen, dass
$$\lim_{n \to \infty } \left(2-\frac{n+2}{2^n}-\frac{1-(1/2)^n}{1-1/2}\right)$$
existiert und man muss nur diesen Grenzwert berechnen. Und ich sag' Dir
schonmal direkt:
Da wird
$$2-0-\frac{1}{1-1/2}=2-2=0$$
rauskommen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 So 09.12.2012 | | Autor: | Andy_18 |
> Hallo,
>
> > Okay schon mal vielen Dank für deine Bemerkung! :)
> >
> > Meine Frage jedoch: Wenn man sich die ganze Rechnung
> > anschaut macht das ganze natürlich Sinn. Jedoch wie kommt
> > man von Anfang an darauf diesen Ansatz
> >
> >
> [mm]\frac{k}{2^k}-\frac{k-1}{2^{k-1}}=\frac{k-2\cdot{}(k-1)}{2^k}=\frac{2}{2^k}-\frac{k}{2^k}\stackrel{\red{(*)}}{=}(1/2)^{k-1}-\frac{k}{2^k}[/mm]
> >
> > zu verweden?
>
> das hatte ich in der Antwort - auf die ich verwiesen hatte
> - eigentlich
> geschrieben: Da Teleskopreihen/Teleskopsummen etwas sind,
> womit
> man umgehen kann, kann man hier einfach mal entsprechend
> ein wenig
> "rumtesten". Solche Dinge sind ja auch erstmal "Ideen",
> das wird nicht
> immer nützlich oder zielführend sein (müssen).
Okay also ist es so Zusagen eigtl nichts mehr als ein Versuch die Reihe so zu formen, damit man besser mit ihr arbeiten kann?
>
> Oben war halt [mm]a_k=k/2^k\,,[/mm] und dann habe ich mir halt mal
> angeguckt,
> was denn [mm]a_k-a_{k-1}[/mm] ergibt, weil man bei Teleskopsummen
> halt weiß:
> [mm]\sum_{k=1}^n (a_k-a_{k-1})=a_n-a_0\,,[/mm]
> was zur Folge hat:
> Wenn [mm](a_n)_n[/mm] konvergent ist gegen [mm]a\,,[/mm] so folgt
> [mm]\sum_{k=1}^\infty (a_k-a_{k-1})=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n (a_k-a_{k-1})=\lim_{n \to \infty} (a_n-a_0)=(\lim_{n \to \infty} a_n)-a_0=a-a_0\,.[/mm]
>
>
> > Für die zweite Reihe kam bei mir dann 2 -
> > [mm]\bruch{n+2}{2^{n-1}}[/mm] raus, kann das stimmen?
>
> Nein - was soll denn da das [mm]n\,[/mm]? Deine Reihe geht nicht nur
> bis [mm]n\,.[/mm]
> Bedenke:
> Eine Reihe [mm]\sum_{k=n_0}^\infty a_k[/mm] steht erstmal nur für
> die Folge
> ihrer Teilsummen, d.h. [mm]\sum_{k=n_0}^\infty a_k[/mm] ist erstmal
> nichts
> anderes als eine Notation für [mm](s_n)_{n=n_0}^\infty[/mm] mit
> [mm]s_n:=\sum_{k=n_0}^n a_k \text{ für jede ganze Zahl }n \ge n_0\,.[/mm]
>
> Falls die Folge [mm](s_n)_{n=n_0}^\infty[/mm] konvergent ist gegen
> [mm]s\,,[/mm] dann
> kommt dem Symbol
> [mm]\sum_{k=n_0}^\infty a_k[/mm]
> eine weitere Bedeutung zu: Man
> definiert dann zudem
> [mm]\sum_{k=n_0}^\infty a_k:=s=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=n_0}^n a_k\,.[/mm]
>
> Anders gesagt, der Satz: "Die Reihe [mm]\sum_{k=n_0}^\infty a_k[/mm]
> konvergiert gegen [mm]\sum_{k=n_0}^\infty a_k\,.[/mm]"
> bedeutet:
>
> "Die Folge [mm](s_n)_{n=n_0}^\infty[/mm] der Teilsummen ist
> konvergent mit
> Grenzwert [mm]s=\lim_{n \to \infty}s_n=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=n_0}^n a_k[/mm]"
>
> So, und nun zurück zu den Aufgaben:
> Bei der ERSTEN Deiner beiden Aufgaben gilt doch für jedes
> natürliche [mm]n \ge 1[/mm]
> das Folgende:
>
> Es ist
> [mm]\sum_{k=1}^n k/2^k=2-\frac{n+2}{2^n}\,.[/mm]
>
> Daraus ergibt sich die Konvergenz von
> [mm]\sum_{k=1}^\infty k/2^k=2-\frac{n+2}{2^n}\,,[/mm]
> denn es
> existiert [mm]\lim_{n \to \infty}\left(2-\frac{n+2}{2^n}\right)[/mm]
> (warum eigentlich?):
> Welchen Wert hat denn dieser Grenzwert?
Okay ich glaub ich habe es verstanden da diese Gleichung ja für alle n [mm] \ge [/mm] 1 [mm] \in \IN [/mm] gilt. Auch wenn es mathematisch jetzt sicherlich nichts korrekt ausgedrückt ist, ist [mm] \infty [/mm] ja so zu sagen auch nur ein n nur eben halt eben unendlich. Die Formulierung nur jetzt mal zum Verständnis
Und dann folgt ja dass der Grenzwert 2 ist?
>
> Und bei der ZWEITEN Reihe:
> Für jedes natürliche [mm]n \ge 1[/mm] gilt mit den gegebenen
> Umformungen:
> [mm]\sum_{k=1}^n \frac{2k-1}{2^{k-1}}=\ldots=(2\cdot{}\sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k})-\sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{1}{2}}\right)^k=2-\frac{n+2}{2^n}-\frac{1-(1/2)^n}{1-1/2}\,.[/mm]
>
> Wenn man Spaß dran hat, kann man da noch zusammenfassen
> etc. pp.,
> aber das bringt eigentlich nichts:
> Um die Existenz des Grenzwertes
> [mm]\sum_{k=1}^n \frac{2k-1}{2^{k-1}}[/mm]
> zu zeigen und um den
> Wert dieses Grenzwertes zu berechnen, reicht es
> nach obigem, zu zeigen, dass
> [mm]\lim_{n \to \infty } \left(2-\frac{n+2}{2^n}-\frac{1-(1/2)^n}{1-1/2}\right)[/mm]
>
> existiert und man muss nur diesen Grenzwert berechnen. Und
> ich sag' Dir
> schonmal direkt:
> Da wird
> [mm]2-0-\frac{1}{1-1/2}=2-2=0[/mm]
> rauskommen.
Okay Super danke, warum bei dem Grenzwert 0 raus kommt hab ich verstanden. Wirklich vielen dank dass du dir die zeit genommen hast mir es verständlich zu machen, war Super gut und verständlich erklärt! :)
>
> Gruß,
> Marcel
Gruß,
Andy
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:17 Mo 10.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Andy,
ich hatte es vergessen zu erwähnen, aber Du stellst Fragen auch besser
als FRAGEN und nicht als Mitteilungen!
> > Hallo,
> >
> > > Okay schon mal vielen Dank für deine Bemerkung! :)
> > >
> > > Meine Frage jedoch: Wenn man sich die ganze Rechnung
> > > anschaut macht das ganze natürlich Sinn. Jedoch wie kommt
> > > man von Anfang an darauf diesen Ansatz
> > >
> > >
> >
> [mm]\frac{k}{2^k}-\frac{k-1}{2^{k-1}}=\frac{k-2\cdot{}(k-1)}{2^k}=\frac{2}{2^k}-\frac{k}{2^k}\stackrel{\red{(*)}}{=}(1/2)^{k-1}-\frac{k}{2^k}[/mm]
> > >
> > > zu verweden?
> >
> > das hatte ich in der Antwort - auf die ich verwiesen hatte
> > - eigentlich
> > geschrieben: Da Teleskopreihen/Teleskopsummen etwas
> sind,
> > womit
> > man umgehen kann, kann man hier einfach mal entsprechend
> > ein wenig
> > "rumtesten". Solche Dinge sind ja auch erstmal "Ideen",
> > das wird nicht
> > immer nützlich oder zielführend sein (müssen).
>
> Okay also ist es so Zusagen eigtl nichts mehr als ein
> Versuch die Reihe so zu formen, damit man besser mit ihr
> arbeiten kann?
so kann man das formulieren - ja!
> >
> > Oben war halt [mm]a_k=k/2^k\,,[/mm] und dann habe ich mir halt mal
> > angeguckt,
> > was denn [mm]a_k-a_{k-1}[/mm] ergibt, weil man bei
> Teleskopsummen
> > halt weiß:
> > [mm]\sum_{k=1}^n (a_k-a_{k-1})=a_n-a_0\,,[/mm]
> > was zur Folge
> hat:
> > Wenn [mm](a_n)_n[/mm] konvergent ist gegen [mm]a\,,[/mm] so folgt
> > [mm]\sum_{k=1}^\infty (a_k-a_{k-1})=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n (a_k-a_{k-1})=\lim_{n \to \infty} (a_n-a_0)=(\lim_{n \to \infty} a_n)-a_0=a-a_0\,.[/mm]
>
> >
> >
> > > Für die zweite Reihe kam bei mir dann 2 -
> > > [mm]\bruch{n+2}{2^{n-1}}[/mm] raus, kann das stimmen?
> >
> > Nein - was soll denn da das [mm]n\,[/mm]? Deine Reihe geht nicht nur
> > bis [mm]n\,.[/mm]
> > Bedenke:
> > Eine Reihe [mm]\sum_{k=n_0}^\infty a_k[/mm] steht erstmal nur
> für
> > die Folge
> > ihrer Teilsummen, d.h. [mm]\sum_{k=n_0}^\infty a_k[/mm] ist
> erstmal
> > nichts
> > anderes als eine Notation für [mm](s_n)_{n=n_0}^\infty[/mm]
> mit
> > [mm]s_n:=\sum_{k=n_0}^n a_k \text{ für jede ganze Zahl }n \ge n_0\,.[/mm]
>
> >
> > Falls die Folge [mm](s_n)_{n=n_0}^\infty[/mm] konvergent ist gegen
> > [mm]s\,,[/mm] dann
> > kommt dem Symbol
> > [mm]\sum_{k=n_0}^\infty a_k[/mm]
> > eine weitere Bedeutung zu:
> Man
> > definiert dann zudem
> > [mm]\sum_{k=n_0}^\infty a_k:=s=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=n_0}^n a_k\,.[/mm]
>
> >
> > Anders gesagt, der Satz: "Die Reihe [mm]\sum_{k=n_0}^\infty a_k[/mm]
> > konvergiert gegen [mm]\sum_{k=n_0}^\infty a_k\,.[/mm]"
> >
> bedeutet:
> >
> > "Die Folge [mm](s_n)_{n=n_0}^\infty[/mm] der Teilsummen ist
> > konvergent mit
> > Grenzwert [mm]s=\lim_{n \to \infty}s_n=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=n_0}^n a_k[/mm]"
>
> >
> > So, und nun zurück zu den Aufgaben:
> > Bei der ERSTEN Deiner beiden Aufgaben gilt doch für
> jedes
> > natürliche [mm]n \ge 1[/mm]
> > das Folgende:
> >
> > Es ist
> > [mm]\sum_{k=1}^n k/2^k=2-\frac{n+2}{2^n}\,.[/mm]
> >
> > Daraus ergibt sich die Konvergenz von
> > [mm]\sum_{k=1}^\infty k/2^k=2-\frac{n+2}{2^n}\,,[/mm]
> > denn es
> > existiert [mm]\lim_{n \to \infty}\left(2-\frac{n+2}{2^n}\right)[/mm]
> > (warum eigentlich?):
> > Welchen Wert hat denn dieser Grenzwert?
>
> Okay ich glaub ich habe es verstanden da diese Gleichung ja
> für alle n [mm]\ge[/mm] 1 [mm]\in \IN[/mm] gilt. Auch wenn es mathematisch
> jetzt sicherlich nichts korrekt ausgedrückt ist, ist
> [mm]\infty[/mm] ja so zu sagen auch nur ein n nur eben halt eben
> unendlich.
Naja, das ist vor allem deswegen falsch, weil wir ja $n [mm] \in \IN$ [/mm] haben und [mm] $\infty$ [/mm] sogar
"ein Symbol [mm] $\notin \IC$" [/mm] ist! Wenn man weiß, was in jedem
Zusammenhang "vernünftig rechnen mit [mm] $\infty$" [/mm] bedeutet, dann könnte
man das also "fast" so sagen (eigentlich willst Du ja nur sagen: wir
könnten doch für [mm] $n\,$ [/mm] auch einfach mal [mm] $\infty$ [/mm] einsetzen). Aber das ist
das Problem: Da gibt's bestenfalls meist nur "variable Rechenregeln" (was
eigentlich heißt, dass man meist keine feste Regel definieren kann). Aber
in WT oder der Maßtheorie legt man auch gewisse fest, die dort fast stets
"vernünftig" sind. Um das aber genauer zu verstehen, braucht man auch
gewisse Erfahrungswerte. Merke Dir halt: Du kannst es (i.a.) nicht einfach
einsetzen: Beispiel: [mm] $0=n-n\,$ [/mm] gilt für jedes $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] aber [mm] $\infty-\infty$
[/mm]
wird (in sinnvoller Weise) NICHT definiert!
> Die Formulierung nur jetzt mal zum Verständnis
>
> Und dann folgt ja dass der Grenzwert 2 ist?
Wenn Du zeigst bzw. begründest, dass [mm] $(n+2)/2^n \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] - das solltest Du halt tun -
dann folgt das!
> >
> > Und bei der ZWEITEN Reihe:
> > Für jedes natürliche [mm]n \ge 1[/mm] gilt mit den gegebenen
> > Umformungen:
> > [mm]\sum_{k=1}^n \frac{2k-1}{2^{k-1}}=\ldots=(2\cdot{}\sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k})-\sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{1}{2}}\right)^k=2-\frac{n+2}{2^n}-\frac{1-(1/2)^n}{1-1/2}\,.[/mm]
>
> >
> > Wenn man Spaß dran hat, kann man da noch zusammenfassen
> > etc. pp.,
> > aber das bringt eigentlich nichts:
> > Um die Existenz des Grenzwertes
> > [mm]\sum_{k=1}^n \frac{2k-1}{2^{k-1}}[/mm]
> > zu zeigen und um
> den
> > Wert dieses Grenzwertes zu berechnen, reicht es
> > nach obigem, zu zeigen, dass
> > [mm]\lim_{n \to \infty } \left(2-\frac{n+2}{2^n}-\frac{1-(1/2)^n}{1-1/2}\right)[/mm]
>
> >
> > existiert und man muss nur diesen Grenzwert berechnen. Und
> > ich sag' Dir
> > schonmal direkt:
> > Da wird
> > [mm]2-0-\frac{1}{1-1/2}=2-2=0[/mm]
> > rauskommen.
>
> Okay Super danke, warum bei dem Grenzwert 0 raus kommt hab
> ich verstanden. Wirklich vielen dank dass du dir die zeit
> genommen hast mir es verständlich zu machen, war Super gut
> und verständlich erklärt! :)
Gerne!
Gruß,
Marcel
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