Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo:)
ich soll herausfinden, ob folgende Reihen konvergieren, absolut konvergieren oder divergieren:
1) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{3})^{n+(-1)^n}
[/mm]
2) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{\wurzel[n]{3}})
[/mm]
3) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{n}{2n+1})^n
[/mm]
4) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n (\bruch{n}{n^2-1})
[/mm]
Zu der ersten habe ich folgendes raus:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{3})^{n+(-1)^n}
[/mm]
Quotientenkriterium:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{(\bruch{1}{3})^{((n+1)+(-1)^{(n+1)})}}{(\bruch{1}{3})^{(n+(-1)^n)}}| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{3}^{(n+2)}}{\bruch{1}{3}^{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(\bruch{1}{3})^{n}*(\bruch{1}{3})^{2}}{(\bruch{1}{3})^{n}}\to \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{9} [/mm] < 1 [mm] \Rightarrow [/mm] Absolut konvergent nach dem Quotientenkriterium
Und für die zweite Aufgabe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{\wurzel[n]{3}}) \gdw \summe_{n=1}^{\infty} 3^{{-\bruch{1}{n}}} \Rightarrow [/mm] Divergent, da dies die geometrische Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(q^{n}) [/mm] ist und die geometrische Reihe divergiert für q > 1, was auch hier der Fall ist.
Die dritte Aufgabe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{n}{2n+1})^n
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|(\bruch{n}{2n+1})^n|}= \limes_{n\rightarrow\infty} |(\bruch{n}{2n+1})|=\limes_{n\rightarrow\infty} |(\bruch{n}{n(2+\bruch{1}{n})})|=\bruch{1}{2+\underbrace{\bruch{1}{n}}_{= 0}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] < 1 [mm] \Rightarrow [/mm] Absolut konvergent nach dem Wurzelkriterium
Und für die vierte Aufgabe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n (\bruch{n}{n^2-1})
[/mm]
Quotientenkriterium:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+1}{(n+1)^{2}}-1*\bruch{n^{2}-1}{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^3+n^2-n-1}{n^3+2n^2}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^3(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2}-1)}{n^3(1+\bruch{2}{n})} [/mm] = -1 < 1 [mm] \Rightarrow [/mm] Absolut konvergent nach Quotientenkriterium
Stimmt meine Rechnung? Und ist es auch alles formal richtig aufgeschrieben?
Vielen Dank im Voraus:)
LG Bubbles
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:09 So 01.09.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo:)
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> ich soll herausfinden, ob folgende Reihen konvergieren,
> absolut konvergieren oder divergieren:
>
> 1) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{3})^{n+(-1)^n}[/mm]
>
> 2) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{\wurzel[n]{3}})[/mm]
>
> 3) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{n}{2n+1})^n[/mm]
>
> 4) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n (\bruch{n}{n^2-1})[/mm]
>
> Zu der ersten habe ich folgendes raus:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{3})^{n+(-1)^n}[/mm]
>
> Quotientenkriterium:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{(\bruch{1}{3})^{((n+1)+(-1)^{(n+1)})}}{(\bruch{1}{3})^{(n+(-1)^n)}}|[/mm]
wieso kannst du einfach [mm] (-1)^n [/mm] im Nenner weglassen, und im [mm] Zähler(-1)^{n+1}=+1 [/mm] setzen. so ist das sicher Falsch, versuch es mit dem Wurzelkriterium, aber unterscheide n gerade und ungerade erstmal.
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{3}^{(n+2)}}{\bruch{1}{3}^{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(\bruch{1}{3})^{n}*(\bruch{1}{3})^{2}}{(\bruch{1}{3})^{n}}\to \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{9}[/mm]
> < 1 [mm]\Rightarrow[/mm] Absolut konvergent nach dem
> Quotientenkriterium
>
> Und für die zweite Aufgabe:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{\wurzel[n]{3}}) \gdw \summe_{n=1}^{\infty} 3^{{-\bruch{1}{n}}} \Rightarrow[/mm]
> Divergent, da dies die geometrische Reihe
hoch-1/n ist sicher keine geometrische Reihe, was soll denn q sein.
hier untersuche das notwendige Kriterium bilden die Summanden eine Nullfolge?
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(q^{n})[/mm] ist und die geometrische Reihe
> divergiert für q > 1, was auch hier der Fall ist.
>
>
> Die dritte Aufgabe:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{n}{2n+1})^n[/mm]
>
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|(\bruch{n}{2n+1})^n|}= \limes_{n\rightarrow\infty} |(\bruch{n}{2n+1})|=\limes_{n\rightarrow\infty} |(\bruch{n}{n(2+\bruch{1}{n})})|=\bruch{1}{2+\underbrace{\bruch{1}{n}}_{= 0}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] < 1 [mm]\Rightarrow[/mm] Absolut konvergent nach dem
> Wurzelkriterium
richtig.
> Und für die vierte Aufgabe:
> hier hast du eine alternierende Reihe, wann konvergieren die?
und konvergiert sie auch absolut, d,h wenn due das [mm] (-1)^n [/mm] durch | [mm] (-1)^n [/mm] |=1 ersetzt-
was du hier mit dem Quotientenkriterium gemacht hast versteh ich nicht.. mit -1 würde das auch nichts helfen, denn es müsste der Betrag <1 seinn, sonst würde ja die Reihe -2+2-2+2... konvergieren!
also untersuch die Konvergenz der alternierenden Reihe und die der mit asolutbeträgen der Summanden einzeln.
Gruss leduart
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Danke für deine Antwort:)
Ich habe jetzt für die erste Aufgabe folgendes rausbekommen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{3})^{n+(-1)^n}
[/mm]
Das kann ich auch schreiben als:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{3})^{n}*(\bruch{1}{3})^{(-1)^n}
[/mm]
Bei [mm] (\bruch{1}{3})^{(-1)^n} [/mm] unterscheide ich jetzt zwischen geraden n und ungeraden n:
Für alle ungeraden n ergibt es : 3
Für alle geraden n ergibt es: [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{3})^{n}*\bruch{1}{3}*3 \Rightarrow [/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{3})^{n} \Rightarrow [/mm] Das ist die geometrische Reihe mit q = [mm] \bruch{1}{3}. [/mm] Da q <1 ist die Reihe konvergent.
Zweite Aufgabe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{\wurzel[n]{3}}) [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{\wurzel[n]{3}}) [/mm] = 1
[mm] \rightarrow [/mm] Keine Nullfolge [mm] \rightarrow [/mm] Diese Reihe ist divergent
Vierte Aufgabe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n (\bruch{n}{n^2-1}) [/mm]
Zuerst prüfe ich auf absolute Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}|(-1)^n (\bruch{n}{n^2-1}) [/mm] |
= [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{n}{n^2-1}) [/mm]
= [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{n-\bruch{1}{n}}) [/mm]
= [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{n-\bruch{1}{n}}) [/mm] > [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n} \rightarrow [/mm] nicht absolut konvergent, da die harmonische Reihe eine Minorante dieser Reihe ist.
Prüfe auf Konvergenz (mit Leibniz-Kriterium):
die Reihe konvergiert, wenn [mm] b_{k} [/mm] monoton fällt und eine Nullfolge ist:
Prüfe, ob [mm] b_{k} [/mm] eine Nullfolge ist:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{n}{n^2-1}) \underbrace{=}_{L'Hopital} \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2n} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Nullfolge
Auf Monotonie überprüfen:
[mm] f'(x)\le [/mm] 0
f(x) = [mm] \bruch{n}{n^2-1}
[/mm]
f'(x) = [mm] -\bruch{1+n^2}{(-1+n^2)^2} [/mm] < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Monoton fallend [mm] \Rightarrow [/mm] Diese Reihe ist konvergent
Stimmt es jetzt?
LG Bubbles
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Mi 04.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Antwort:)
>
> Ich habe jetzt für die erste Aufgabe folgendes
> rausbekommen:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{3})^{n+(-1)^n}[/mm]
>
> Das kann ich auch schreiben als:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{3})^{n}*(\bruch{1}{3})^{(-1)^n}[/mm]
>
> Bei [mm](\bruch{1}{3})^{(-1)^n}[/mm] unterscheide ich jetzt zwischen
> geraden n und ungeraden n:
>
> Für alle ungeraden n ergibt es : 3
>
> Für alle geraden n ergibt es: [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Daraus ergibt sich:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{3})^{n}*\bruch{1}{3}*3 \Rightarrow[/mm]
Das ist doch Unsinn !
Sei [mm] a_n:=(\bruch{1}{3})^{n}*(\bruch{1}{3})^{(-1)^n}
[/mm]
Für n gerade ist [mm] a_n=(\bruch{1}{3})^{n+1}
[/mm]
Für n ungerade ist [mm] a_n=(\bruch{1}{3})^{n-1}
[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{3})^{n} \Rightarrow[/mm] Das
> ist die geometrische Reihe mit q = [mm]\bruch{1}{3}.[/mm] Da q <1
> ist die Reihe konvergent.
>
> Zweite Aufgabe:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{\wurzel[n]{3}})[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{\wurzel[n]{3}})[/mm] = 1
>
> [mm]\rightarrow[/mm] Keine Nullfolge [mm]\rightarrow[/mm] Diese Reihe ist
> divergent
Das ist O.K.
>
> Vierte Aufgabe:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n (\bruch{n}{n^2-1})[/mm]
>
> Zuerst prüfe ich auf absolute Konvergenz:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|(-1)^n (\bruch{n}{n^2-1})[/mm] |
>
> = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{n}{n^2-1})[/mm]
>
> = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{n-\bruch{1}{n}})[/mm]
>
> = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{n-\bruch{1}{n}})[/mm] >
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n} \rightarrow[/mm] nicht
> absolut konvergent, da die harmonische Reihe eine Minorante
> dieser Reihe ist.
O.K.
>
> Prüfe auf Konvergenz (mit Leibniz-Kriterium):
> die Reihe konvergiert, wenn [mm]b_{k}[/mm] monoton fällt und eine
> Nullfolge ist:
>
> Prüfe, ob [mm]b_{k}[/mm] eine Nullfolge ist:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{n}{n^2-1}) \underbrace{=}_{L'Hopital} \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2n}[/mm]
> = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] Nullfolge
Mein Gott. Brauchst Du da wirklich L'Hopital ?????
>
> Auf Monotonie überprüfen:
>
> [mm]f'(x)\le[/mm] 0
>
> f(x) = [mm]\bruch{n}{n^2-1}[/mm]
>
> f'(x) = [mm]-\bruch{1+n^2}{(-1+n^2)^2}[/mm] < 0
Oh Gott ? x , n ?
Sei [mm] f(x):=\bruch{x}{x^2-1} [/mm] Zeige sauber, dass f'(x) [mm] \le [/mm] 0 ist.
Dann folgt: f(n+1) [mm] \le [/mm] f(n) für n [mm] \in \IN.
[/mm]
FRED
> [mm]\Rightarrow[/mm] Monoton
> fallend [mm]\Rightarrow[/mm] Diese Reihe ist konvergent
>
> Stimmt es jetzt?
>
> LG Bubbles
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Mi 04.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vierte Aufgabe:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n (\bruch{n}{n^2-1})[/mm]
>
> Zuerst prüfe ich auf absolute Konvergenz:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|(-1)^n (\bruch{n}{n^2-1})[/mm] |
>
> = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{n}{n^2-1})[/mm]
>
> = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{n-\bruch{1}{n}})[/mm]
>
> = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{n-\bruch{1}{n}})[/mm] >
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n} \rightarrow[/mm] nicht
> absolut konvergent, da die harmonische Reihe eine Minorante
> dieser Reihe ist.
>
> Prüfe auf Konvergenz (mit Leibniz-Kriterium):
> die Reihe konvergiert, wenn [mm]b_{k}[/mm] monoton fällt und eine
> Nullfolge ist:
>
> Prüfe, ob [mm]b_{k}[/mm] eine Nullfolge ist:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{n}{n^2-1}) \underbrace{=}_{L'Hopital} \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2n}[/mm]
> = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] Nullfolge
>
> Auf Monotonie überprüfen:
>
> [mm]f'(x)\le[/mm] 0
>
> f(x) = [mm]\bruch{n}{n^2-1}[/mm]
hier brauchst Du nicht notwendig eine Extrafunktion, die diff'bar ist - rechne
es doch elementar nach: Für [mm] $f(\red{\,n\,}):=n/(n^2-1)$ [/mm] ($n [mm] \in \IN\setminus \{1\}$) [/mm] gilt (mit [mm] $n^2-1=(n+1)(n-1)$):
[/mm]
$f(n+1) [mm] \le [/mm] f(n)$
[mm] $\iff \frac{n+1}{(n+1)^2-1} \le \frac{n}{n^2-1}$
[/mm]
[mm] $\iff (n+1)(n^2-1) \le [/mm] n [mm] ((n+1)^2-1)$
[/mm]
[mm] $\iff (n^2+2n+1)(n-1) \le n(n^2+2n)$
[/mm]
[mm] $\iff n^3+n^2-n-1 \le n^2(n+2)$
[/mm]
[mm] $\iff n^2(n+1) \le n^2(n+2)+n+1=\blue{n^2(n+1)}+n^2+\blue{(n+1)}=\blue{(n^2+1)(n+1)}+n^2.$
[/mm]
Da offensichtlich [mm] $n^2(n+1) \le (n^2+1)(n+1)$ [/mm] (sogar [mm] $n^2(n+1) [/mm] < [mm] (n^2+1)(n+2)\,$) [/mm] wahr ist (warum?),
ist sicherlich erst recht [mm] $n^2(n+1) \le (n^2+1)(n+1)+n^2$ [/mm] wahr. Also erhält man, indem man
diese Umformungen von unten nach oben liest und die Folgerungsrichtungen [mm] $\Longleftarrow$ [/mm]
benutzt, daher $f(n+1) [mm] \le [/mm] f(n)$ ($f(n+1)< [mm] f(n)\,$) [/mm] für alle natürlichen $n [mm] \not=1.$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Mi 04.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
am Besten rechnet man die (strenge) Monotonie hier vielleicht eh so nach ($n [mm] \ge [/mm] 2$):
[mm] $\frac{f(n)}{f(n+1)}=\frac{n}{(n+1)*(n-1)}*\frac{(n+2)*n}{n+1}=\frac{n^3+2n^2}{(n-1)(n^2+2n+1)}=\frac{n^3+2n^2}{n^3+n^2-n-1} [/mm] > 1.$
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:03 Fr 06.09.2013 | | Autor: | bubblesXD |
Danke für deine Hilfe:)
LG Bubbles
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Mi 04.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 4) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n (\bruch{n}{n^2-1})[/mm]
>
> Und für die vierte Aufgabe:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n (\bruch{n}{n^2-1})[/mm]
nur mal nebenbei:
Bei solch' einer Reihe kann es durchaus Sinn machen, zuerst mal zu
gucken, ob sie absolut konvergiert. Dazu hilft der Satz, der hier im P.S.
steht:
https://matheraum.de/read?i=894819
Denn:
Für $n [mm] \ge [/mm] 2$ ist [mm] $n/(n^2-1)$ [/mm] durchweg [mm] $>0\,,$ [/mm] und es gilt
[mm] $\frac{n/(n^2-1)}{1/n}=n^2/(n^2-1) \to [/mm] 1 [mm] \,>\,0$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty,$
[/mm]
daher konvergiert die Reihe nicht absolut. (Laut des zitierten
Satzes hat die Reihe das gleiche Kgz.-Verhalten wie die Reihe [mm] $\sum \frac{1}{n}$!) [/mm]
Es macht also nur noch Sinn, separat zu prüfen, ob sie bedingt konvergiert
(dass sie das tut, das hast Du ja getan).
Warum ich darauf hinweise? Nunja: Sind $p(n)$ und $q(n)$ Polynome in [mm] $n\,,$ [/mm] so kann man
mit dem zitierten Satz schnell feststellen, wie das Konvergenzverhalten der
Reihe
[mm] $\sum_{n=n_0}^\infty \frac{p(n)}{q(n)}$
[/mm]
aussieht - und das mit einem Blick! (O.E. kann man dabei [mm] $n_0$ [/mm] so groß
annehmen, dass $q(n) [mm] \not=0$ [/mm] für alle $n [mm] \ge n_0$.)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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