Konvergenz von Taylor < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich soll hier bei einer Aufgabe von einer gegebenen funktion f die Taylorreihe und deren Konvergenzradius bestimmen. Das habe ich schon hinbekommen.
Jetzt ist die Frage ob diese Taylorreihe gegen f konvergiert bzw auf welchem Intervall.
Das Intervall kriege ich über den Konvergenradius (und die Randstellen muss ich eben noch extra betrachten) - Aber wie komme ich darauf, ob die Reihe gegen f konvergiert?
Wäre super wenn mir jemand diese (allgemein gehaltene) Frage beantworten könnte! :)
LG
Laura
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Mi 16.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Im Reellen kann die Taylorreihe von f gegen f konvergieren, muß aber nicht.
Also teile mal mit, welche Funktion Du betrachtest und wie ihre Taylorreihe aussieht.
Dann sehen wir weiter
FRED
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Ok:
f(x) = 1/(1-x)
Taylor in 2: T(f) = [mm] \summe_{k=1}^{unendl.} [/mm] (-1)^(k+1) (x-2)^(k)
Konvergenzradius: r=1
"Konvergenzintervall": (1;3]
Was für Möglichkeiten gibt es denn um die Konvergenz gegen f herauszufinden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Mi 16.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ok:
>
> f(x) = 1/(1-x)
>
> Taylor in 2: T(f) = [mm]\summe_{k=1}^{unendl.}[/mm] (-1)^(k+1)
> (x-2)^(k)
Es muß sicher [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{k+1} (x-2)^k [/mm] lauten
Tipp: geometrische Reihe
FRED
>
> Konvergenzradius: r=1
>
> "Konvergenzintervall": (1;3]
>
>
> Was für Möglichkeiten gibt es denn um die Konvergenz
> gegen f herauszufinden?
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Oh, also die geom Reihe konvergiert ja für |q|<1 wie folgt:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} [/mm] = 1/(1-q)
Aber wenn ich für [mm] q=(-1)^{k+1}(x-2)^{k} [/mm] einsetze dann ist das doch nicht wieder die Urpsungsfunktion, oder?
EDIT:
Achso, mein Q ist natürlich (-1)(x-2). Dann erklärt sich das auch 
Danke für den Tipp!
Aber was mache ich dann bei Aufgaben die nicht die Form einer mir bekannten Reihe haben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Mi 16.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Oh, also die geom Reihe konvergiert ja für |q|<1 wie
> folgt:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} q^{k}[/mm] = 1/(1-q)
>
> Aber wenn ich für [mm]q=(-1)^{k+1}(x-2)^{k}[/mm] einsetze
Unfug !
> dann ist
> das doch nicht wieder die Urpsungsfunktion, oder?
Setze [mm]q=(-1)(x-2)= (2-x)[/mm] . Dann ist Deine Taylorreihe
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{k+1} (x-2)^k [/mm] = [mm] -\summe_{k=0}^{\infty}q^k= \bruch{-1}{1-(2-x)}= \bruch{1}{1-x} [/mm] $
FRED
>
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Ok, Danke!
Ist denn das Vergleichen mit bekannten Reihen die einzige Lösungsmöglichkeit für solche Aufgaben? Oder gibt es da noch einen "allgemeinen" Weg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:32 Do 17.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ok, Danke!
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> Ist denn das Vergleichen mit bekannten Reihen die einzige
> Lösungsmöglichkeit für solche Aufgaben? Oder gibt es da
> noch einen "allgemeinen" Weg?
nein
FRED
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