Konvergenz von Taylorreihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Ich versuche folgenden Satz über die Konvergenz von Taylorreihen zu beweisen:
Sei $f(x)$ in $[a,b]$ definiert und in $[a,b]$ beliebigfach differenzierbar. Weiter sei [mm] $x_0\in [/mm] (a,b)$. Dann und nur dann konvergiert die Taylorreihe [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}{\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot (x-x_0)^k}$ [/mm] von $f(x)$ gegen $f(x)$, wenn [mm] $\limes_{n\to\infty}\summe_{k=n+1}^{\infty}{\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot (x-x_0)^k}=0$ [/mm] gilt.
Mir ist bisher klar, dass die Behauptung äquivalent mit der Aussage
[mm] $\limes_{n\to \infty}\summe_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot (x-x_0)^k}=f(x)$
[/mm]
ist, aber ich weiß nicht recht, wie ich das zeigen kann.
Kann mir jemand einen Tip geben? Ich weiß auch nicht, ob die Behauptung leicht oder schwierig zu zeigen ist, ob es ein Einzeiler oder seitenfüllend ist. Ich habe sie in einer PDF ausgegraben, in der der Beweis aber nicht aufgeführt wurde.
Liebe Grüße und Danke,
Hanno
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Hallo Hanno!
Die Aussage kann man so nicht beweisen - sie ist nämlich (glaube ich) falsch. 100% sicher bin ich nicht, also klopfe mein folgendes Gegenbeispiel lieber nochmal ab:
Sei $f : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] definiert durch: $f(x) = [mm] e^{-\frac{1}{x^2}}$ [/mm] für $x [mm] \not= [/mm] 0$ und $f(0) := 0$.
Dann ist $f$ in 0 stetig und beliebig oft differenzierbar mit [mm] $f^{(k)}(0) [/mm] = 0$ für jedes $k [mm] \in \IN$. [/mm] (Die Ableitungen außerhalb von 0 sind von der Form $f(x) [mm] \cdot [/mm] p(x)$ mit einem Polynom $p$ und das ergibt im Grenzwert für $x [mm] \to [/mm] 0$ stets 0...)
Damit ist die Taylorreihe von $f$ um 0 die Nullreihe, die außerhalb von 0 nicht gegen $f$ konvergiert (da $f(x) [mm] \not= [/mm] 0$ für $x [mm] \not= [/mm] 0$).
Auch die von Dir angegebene "Restreihe" ist aber konstant 0 und damit auch der angegebene Grenzwert.
Ich bitte um Korrektur, sollte ich mich grob verhauen haben... aber das ist das Standard-Gegenbeispiel über [mm] $\IR$ [/mm] zu: eine Taylorreihe kann absolut und gleichmäßig konvergieren, muß aber nicht gegen $f$ gehen.
Gruß,
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Lars!
Hmm, ich habe wohl Tomaten auf den Augen, aber in dem DOkument, wo ich diesen Satz herhabe, wird vorher noch genau dein Beispiel genannt. Irgendetwas muss ich wohl übersehen haben:
http://www.rz.rwth-aachen.de/mata/downloads/ana1/Kapitel12.pdf - Seite 3
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Lars!
Also bis auf diese Ungereimtheit im Dokument ist mir der Rest jetzt klar geworden, scheint ja wirklich ein Einzeiler zu sein.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Gnometech |
Hallo Hanno!
Ich kenne einen solchen Satz... soweit ich weiß (bin nicht 100% sicher, in Analysis bin ich generell etwas eingerostet, nachdem ich die letzten 3 Jahre nur Tutorien in lin. Algebra gegeben habe), lautet er so:
Die Taylorreihe einer Funktion $f$ konvergiert im Punkt $x$ genau dann gegen $f(x)$, wenn das Restglied gegen 0 konvergiert.
Für das Restglied in der Taylorreihe gibt es ja verschiedene Darstellung - als Integral oder auch als Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes an einer Zwischenstelle. Vielleicht hat sich in dem Dokument einfach bei der Darstellung des Restgliedes ein Fehler eingeschlichen, wobei ich die Darstellung als Reihe momentan nicht im Kopf habe... muß ich mal in den Amann-Escher schauen.
Schöne Grüße,
Lars
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