Konvergenz von Zufallsvariable < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Juge |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe eine Folge von Zufallsvariablen [mm] $X_h$ [/mm] mit $h [mm] \in [/mm] [0,1]$, wobei [mm] $X_h>0$, [/mm] und eine weitere Zufallsvariable $X$.
Nun weiß ich
[mm] $\mathbb{E}[X_h]\leq \mathbb{E}[X]$ [/mm]
und nach dem Lemma von Fatou für nicht-negative ZVs
[mm] \liminf\limits_{h \to 0}\mathbb{E}X_h\geq \mathbb{E}[\liminf\limits_{h \to 0}X_h].
[/mm]
Außerdem weiß ich noch
[mm] $X_h \stackrel{p}{\longrightarrow} [/mm] X.$
Kann ich nun irgendwie folgern, dass [mm] $\lim\limits_{h \to 0}\mathbb{E}[X_h]=\mathbb[X]$?
[/mm]
Kann mir jemand helfen?
Vielen Dank schon einmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
[mm] $U_h:=\{\omega\in\Omega:\ |X-X_h|\leq\varepsilon\}$
[/mm]
und entsprechend gilt
[mm] $U_h^c=\{\omega\in\Omega:\ |X-X_h|>\varepsilon\}$
[/mm]
[mm] ($U_h$ [/mm] hängt natürlich auch von [mm] $\varepsilon$ [/mm] ab, aber ich wollte es nicht mit Indizes überfrachten)
Dann gilt
[mm] $E[X]-E[X_h]= \int_{U_h} [/mm] X\ dP - [mm] \int_{U_h} X_h\ [/mm] dP + [mm] \int_{U^c_h} [/mm] X\ dP - [mm] \int_{U^c_h} X_h\ [/mm] dP$
$ = [mm] \int_{U_h} X-X_h\ [/mm] dP + [mm] \int_{U^c_h} [/mm] X\ dP - [mm] \int_{U^c_h} X_h\ [/mm] dP$
[mm] $\int_{U^c_h} [/mm] X\ dP [mm] \to [/mm] 0$ für [mm] $h\to [/mm] 0$ (wieso?)
Und den ersten Term kannst Du abschätzen. Der letzte ist kein Problem, weil [mm] $E[X]-E[X_h]\geq [/mm] 0$ nach Voraussetzung.
ciao
Stefan
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:59 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Juge |
Erst einmal vielen Dank!
Leider kann ich den Beweis nicht ganz nachvollziehen.
Aber folgende Aussage stimmt unter den genannten Annahmen dann wohl nicht?
[mm] $\lim\limits_{h \to 0}\mathbb{E}[X_h]=\mathbb{E}[X]$?
[/mm]
(In der ursprünglichen Frage hatte ich leider den Erwartungswert vergessen!)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 So 27.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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