Konvergenz von exp < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!!
Ich habe keine direkte Aufgabe, sondern ehr eine Frage zum allgemeinen Verständnis.
Es gilt ja: [mm] f(x)=e^x=\summe_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k!}
[/mm]
Nun kann ich das ganze ja auch als Funktionenreihe auffassen, also [mm] f_n(x)=\summe_{k=1}^{n}\frac{x^k}{k!}. [/mm]
Dies konvergiert doch gleichmäßig gegen f(x) oder? Wie kann ich das zeigen? Ich kenne nur das Konvergenzkriterium von Weierstraß, dass [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\left|\left| \frac{x^k}{k!} \right|\right|_{\infty,\mathbb{C}} [/mm] konvergieren muss.
Dann habe ich noch eine weitere Frage. In einem Prüfungsprotokoll steht ein Satz, den ich nicht verstehe: Also es geht immer noch um die e-Funktion:
"Was kann man zu Stetigkeit sagen?
-Ist stetig aufgrund des [mm] \infty-en [/mm] Konvergenzradius"
Für den Konvergenzradius gilt ja: [mm] R=\infty, [/mm] das ist klar. Aber was sagt mir das genau? Also zunächst mal ist die unendliche Reihe für jedes [mm] x\in \mathbb{C} [/mm] konvergent.
Kann ich damit irgendwie die Stetigkeit von exp zeigen? [mm] f_n(x)=\summe_{k=1}^{n}\frac{x^k}{k!} [/mm] ist als endliches Polynom ja stetig. Auf Grund der glm Konvergenz überträgt sich die Stetigkeit dann auch auf die unendliche Reihe würd ich sagen. Was hat dann der Konvergenzradius damit zu tun?
Für [mm] \sin [/mm] und [mm] \cos [/mm] gilt ja dann eigentlich entsprechend das gleiche oder?
Hoffe es ist verständlich geworden, was ich eigentlich wissen will  Danke
Grüße Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Mi 06.08.2008 | | Autor: | fred97 |
Es gilt folgendes:
Sei R>0 der Konvergenzradius einer Potenzreihe und U:= {z [mm] \in \IC: [/mm] |z|<R}
( U = [mm] \IC, [/mm] falls R = [mm] \infty)
[/mm]
Im allgemeinen konvergiert die Potenzreihe auf U nicht gleichmäßig. Ist aber K eine kompakte Teilmenge von U, so konvergiert die Potenzreihe auf K gleichmäßig, ist also auf K gleichmäßiger Limes stetiger Funktionen. Fazit: die Summenfunktion f der Potenzreihe ist in jedem Punkt von K stetig. Da K eine beliebige kompakte Teilmenge von U sein darf, folgt: f ist auf U stetig.
FRED
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Ok, danke dir, das habe ich glaube ich verstanden. Ich wiederhole es nochmal in meinen Worten und angelehnt an meine Vorlesung:
Also $ [mm] f_n(x)=\summe_{k=1}^{n}\frac{x^k}{k!}$ [/mm] konvergiert gleichmäßig gegen die Grenzfunktion $ [mm] f(x)=e^x=\summe_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k!} [/mm] $ auf jeden Kompaktum [mm] [x_0-r,x_0+r] [/mm] (bzw. [mm] \overline{B_r(x_0)} [/mm] im komplexen) für alle $r < R$. Da [mm] R=\infty [/mm] lässt sich um jeden Punkt [mm] x_0 [/mm] ein kompaktes Intervall (bzw. ein kompakter Ball) finden, also ist [mm] f_n [/mm] für alle [mm] x_0 \in \mathbb{R} [/mm] (bzw. [mm] \mathbb{C}) [/mm] gleichmäßig konvergent. Daher überträgt sich die Stetigkeit von [mm] $f_n$ [/mm] auf $f$ und die [mm] \exp-Funktion [/mm] ist somit stetig.
Ist das ok so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Mi 06.08.2008 | | Autor: | fred97 |
> Ok, danke dir, das habe ich glaube ich verstanden. Ich
> wiederhole es nochmal in meinen Worten und angelehnt an
> meine Vorlesung:
>
> Also [mm]f_n(x)=\summe_{k=1}^{n}\frac{x^k}{k!}[/mm] konvergiert
> gleichmäßig gegen die Grenzfunktion
> [mm]f(x)=e^x=\summe_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k!}[/mm] auf jeden
> Kompaktum [mm][x_0-r,x_0+r][/mm] (bzw. [mm]\overline{B_r(x_0)}[/mm] im
> komplexen) für alle [mm]r < R[/mm]. Da [mm]R=\infty[/mm] lässt sich um jeden
> Punkt [mm]x_0[/mm] ein kompaktes Intervall (bzw. ein kompakter Ball)
> finden, also ist [mm]f_n[/mm] für alle [mm]x_0 \in \mathbb{R}[/mm] (bzw.
> [mm]\mathbb{C})[/mm] gleichmäßig konvergent.
Nein. Die Folge [mm] (f_n) [/mm] ist auf dem kompakten Intervall (bzw. kompakten Ball) gleichmäßig konvergent
>Daher überträgt sich
> die Stetigkeit von [mm]f_n[/mm] auf [mm]f[/mm] und die [mm]\exp-Funktion[/mm] ist
> somit stetig.
>
> Ist das ok so?
FRED
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Hm, ja die genauen Formulierung. Ich verstehe was du meinst, kann man es denn dann so formulieren:
Also [mm]f_n(x)=\summe_{k=1}^{n}\frac{x^k}{k!}[/mm] konvergiert gleichmäßig gegen die Grenzfunktion [mm] f(x)=e^x=\summe_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k!} [/mm] auf jeden Kompaktum [mm][x_0-r,x_0+r][/mm] (bzw. [mm]\overline{B_r(x_0)}[/mm] im komplexen) für alle [mm]r < R[/mm].
Da [mm]R=\infty[/mm] lässt sich um jeden Punkt [mm]x_0[/mm] ein kompaktes Intervall (bzw. ein kompakter Ball) finden, hier ist die Konvergenz gleichmäßig also ist auch f in [mm] x_0 [/mm] stetig. Da [mm] x_0 [/mm] beliebig war, ist exp auf ganz [mm] \mathbb{R} [/mm] (bzw. [mm] \mathbb{C}) [/mm] stetig.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Mi 06.08.2008 | | Autor: | fred97 |
O.K.
FRED
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Danke Dir, Fred! Mir ist noch eine weitere Frage zu dem Thema eingefallen.
Die Funktion exp ist ja analytisch, d.h. die Taylorreihe stellt die Funktion selber dar in allen [mm] x_0 \in \mathbb{C}.
[/mm]
Wie kann man dies zeigen? Indem man beweist, dass das Restglied der Taylorreihe gegen Null geht?
Es ist ja [mm] f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}\cdot{}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}\cdot{}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot{}(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(x_0+\nu \cdot{}(x-x_0))}{(n+1)!}\cdot{}(x-x_0)^{n+1}
[/mm]
Angewandt auf die exp-Funktion mit Entwicklungspunkt 0 gilt ja:
[mm] f^{(n)}(0)=1 \forall n\in \IN
[/mm]
also [mm] e^x=1+x+x^2/2+...+\frac{x^n}{n!}+\frac{(\nu x)^{n+1}}{(n+1)!}
[/mm]
Außerdem: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{(\nu x)^{n+1}}{(n+1)!} [/mm] = 0
(Da die Fakultät viel schneller wächst, als die Potenz, aber wie kann ich das genau beweisen??)
Würde dies dann schon zeigen, dass die Funktion analytisch ist?
Mit dem Konvergenzradius hat das doch gar nichts zu tun oder? Also ich kann von dem Konvergenzradius nicht auf das Restglied schließen. Z.B. wenn man die Funktion [mm] f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}} [/mm] für x [mm] \not=0 [/mm] und f(x)=0 für x=0 betrachtet.
Hier ist die Taylorreihe konstant 0, halt also den Konvergenzradius [mm] \infty, [/mm] aber es ist ja [mm] f(x)\not= [/mm] 0
Sehe ich das soweit richtig?
Gruß Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Mi 06.08.2008 | | Autor: | pelzig |
> Die Funktion exp ist ja analytisch, d.h. die Taylorreihe
> stellt die Funktion selber dar in allen [mm]x_0 \in \mathbb{C}.[/mm]
richtig.
> Wie kann man dies zeigen? Indem man beweist, dass das
> Restglied der Taylorreihe gegen Null geht?
richtig.
> Es ist ja
> [mm]f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}\cdot{}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}\cdot{}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot{}(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(x_0+\nu \cdot{}(x-x_0))}{(n+1)!}\cdot{}(x-x_0)^{n+1}[/mm]
Hmm sieht nach Lagrange-Restglied aus und [mm] $\nu\in[0,1]$... [/mm] ok.
> Angewandt auf die exp-Funktion mit Entwicklungspunkt 0 gilt
> ja:
> [mm]f^{(n)}(0)=1 \forall n\in \IN[/mm]
> also
> [mm]e^x=1+x+x^2/2+...+\frac{x^n}{n!}+\frac{(\nu x)^{n+1}}{(n+1)!}[/mm]
Da hast du das irgendwie falsch eingesetzt. Deine allgemeine Formel oben ist richtig, aber dann steht doch für [mm] $f(x):=e^x$ [/mm] als Restglied [mm] $R_nf(x):=\frac{e^{x_0+\nu(x-x_0)}}{(n+1)!}x^{n+1}$ [/mm] für ein [mm] $\nu\in[0,1]$.
[/mm]
Es ändert jedoch nicht sehr viel, denn $f$ ist monoton wachsend also können wir abschätzen mit [mm] $\nu=1$ [/mm] und erhalten [mm] $R_nf(x)\le\frac{e^x}{(n+1)!}x^{n+1}$. [/mm] Man beachte dass wir hier $x$ fixiert halten, d.h. insbesonde der Faktor [mm] $e^x$ [/mm] ist einfach nur irgendeine, möglicherweise sehr große, Konstante. Wir fragen uns was für [mm] $n\to\infty$ [/mm] passiert, jetzt kannst du dein Argument bringen:
> Da die Fakultät viel schneller wächst, als die Potenz,
> aber wie kann ich das genau beweisen??
Ja ok ganz einfach: Sei [mm] $x\in\IC$ [/mm] beliebig, wähle [mm] $N\in\IN$ [/mm] mit $N>|x|$. Für $n>N$ ist dann:
[mm] $\left|\frac{x^n}{n!}\right|=\frac{|x|^N}{N!}\prod_{k=N+1}^n\frac{|x|}{k}\le\frac{|x|^N}{N!}\left(\frac{|x|}{N+1}\right)^{n-N}<\frac{N^N}{N!}\left(\frac{|x|}{N}\right)^n$
[/mm]
Die rechte Seite ist ein Produkt aus einer Konstanten und einer Nullfolge (da $N>|x|$ ist), also ebenfalls eine Nullfolge.
> Würde dies dann schon zeigen, dass die Funktion analytisch
> ist?
Also wenn die Folge der Restglieder an jeder Stelle x gegen Null konvergiert, dann stimmt die Taylorreihe in jeder Stelle x mit der Funktion $f$ überein, ist also analytisch. Die Umkehrung gilt aber i.A. nicht, denn nur weil sich eine Funktion in jedem Punkt lokal in eine Potenzreihe entwickeln lässt, heißt nicht dass ihre Taylorreihe dagegen konvergiert (betrachte z.B. entsprechende rationale Funktionen).
> Mit dem Konvergenzradius hat das doch gar nichts zu tun
> oder? Also ich kann von dem Konvergenzradius nicht auf das
> Restglied schließen. Z.B. wenn man die Funktion
> [mm]f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}[/mm] für x [mm]\not=0[/mm] und f(x)=0 für x=0
> betrachtet.
> Hier ist die Taylorreihe konstant 0, halt also den
> Konvergenzradius [mm]\infty,[/mm] aber es ist ja [mm]f(x)\not=[/mm] 0
Ja richtig, der Konvergenzradius der Taylorreihe hat nix mit der Funktion zu tun...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:43 Do 07.08.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Vielen Dank!
Das habe ich soweit verstanden 
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