Konvergenz, x-Werte bestimmen! < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:11 Do 04.08.2011 | | Autor: | Carlo |
| Aufgabe | | Bestimme alle x [mm] \in \IR [/mm] , für die [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2^n n^2} [/mm] (x+ [mm] \pi)^n [/mm] konvergiert. |
Hallo,
also ich muss entweder das Wurzelkriterium oder das Quotientenkriterium anwenden, wie unterscheide ich es ? Wann wird welches benutzt ?
Ich würde jetzt folgendes machen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n [/mm] (x+ [mm] \pi)^n [/mm] , [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n}{2^n n^2}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_n} [/mm] = ...
weiter weiß ich leider nicht :( was muss ich wo einsetzen ? und wann muss ich dieses Kriterium hier benutzen:
| [mm] \bruch{a_n_+_1}{a_n} [/mm] | ??
Kann mir jemand alles ausfühlrich erklären? Ich verstehe dieses Thema überhaupt nicht :(
Man muss hier den Konvergenzradius bestimmen, um alle x Werte bestimmen zu können, aber iwie habe ich anscheinend ein Brett vor dem Kopf :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Do 04.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme alle x [mm]\in \IR[/mm] , für die [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2^n n^2}[/mm]
> (x+ [mm]\pi)^n[/mm] konvergiert.
> Hallo,
>
> also ich muss entweder das Wurzelkriterium oder das
> Quotientenkriterium anwenden, wie unterscheide ich es ?
> Wann wird welches benutzt ?
Bei obiger Reihe geht beides.
>
> Ich würde jetzt folgendes machen:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n[/mm] (x+ [mm]\pi)^n[/mm] , [mm]a_n[/mm] =
> [mm]\bruch{(-1)^n}{2^n n^2}[/mm]
>
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_n}[/mm] = ...
>
> weiter weiß ich leider nicht :( was muss ich wo einsetzen
Berechne [mm] |a_n|, [/mm] dann [mm] \wurzel[n]{|a_n|} [/mm] und dann den Grenzwert
Dieser Kehrwert dieses Grenzwertes ist der Konvergenzradius der Potenzreihe, nennen wir ihn r.
Dann hast Du schon mal:
Die Potenzreihe konvergiert für [mm] |x+\pi [/mm] |<r und sie divergiert für [mm] |x+\pi [/mm] |>r.
Dann mußt Du noch untersuchen, ob die Potenzreihe für [mm] |x+\pi [/mm] |=r konv. /div.
FRED
> ? und wann muss ich dieses Kriterium hier benutzen:
>
> | [mm]\bruch{a_n_+_1}{a_n}[/mm] | ??
>
> Kann mir jemand alles ausfühlrich erklären? Ich verstehe
> dieses Thema überhaupt nicht :(
> Man muss hier den Konvergenzradius bestimmen, um alle x
> Werte bestimmen zu können, aber iwie habe ich anscheinend
> ein Brett vor dem Kopf :(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Do 04.08.2011 | | Autor: | Carlo |
> > Bestimme alle x [mm]\in \IR[/mm] , für die [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2^n n^2}[/mm]
> > (x+ [mm]\pi)^n[/mm] konvergiert.
> > Hallo,
> >
> > also ich muss entweder das Wurzelkriterium oder das
> > Quotientenkriterium anwenden, wie unterscheide ich es ?
> > Wann wird welches benutzt ?
>
> Bei obiger Reihe geht beides.
>
Woher weiß man das ?
Meine Rechnung sieht wie folgt aus:
[mm] a_n= \bruch{(-1)^n}{2^n*n^2} [/mm] = [mm] \bruch{(\bruch{-1}{2})^n}{n^2}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{a_n_+_1}{a_n} [/mm] | = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{-1}{2}}{(1+(\bruch{1}{n})^2} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = -2
Die Potenzreihe konvergiert für x [mm] \in \IR [/mm] (- [mm] \pi [/mm] -2, - [mm] \pi [/mm] +2 ) und für alle x [mm] \not\in [/mm] [- [mm] \pi [/mm] -2, - [mm] \pi [/mm] +2 ] nicht.
Stimmt das so ?
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Hallo Carlo,
> > > Bestimme alle x [mm]\in \IR[/mm] , für die [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2^n n^2}[/mm]
> > > (x+ [mm]\pi)^n[/mm] konvergiert.
> > > Hallo,
> > >
> > > also ich muss entweder das Wurzelkriterium oder das
> > > Quotientenkriterium anwenden, wie unterscheide ich es ?
> > > Wann wird welches benutzt ?
> >
> > Bei obiger Reihe geht beides.
> >
>
> Woher weiß man das ?
Erfahrung, probiere doch beides aus.
Beim WK hebt sich schön das n in [mm]2^n[/mm] weg, beim QK benutzt du die Potenzgesetze ...
>
> Meine Rechnung sieht wie folgt aus:
>
> [mm]a_n= \bruch{(-1)^n}{2^n*n^2}[/mm] =
> [mm]\bruch{(\bruch{-1}{2})^n}{n^2}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] | [mm]\bruch{a_n_+_1}{a_n}[/mm] | =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{-1}{2}}{(1+(\bruch{1}{n})^2}[/mm]
> = - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = -2
Völlig konfus, oben stehen richtigerweise Betragstriche, dann kommt ein "=" und du lässt sie weg.
Dann am Ende [mm]-1/2=-2[/mm]
Also addieren wir 1/2 auf beiden Seiten und haben [mm]0=-1,5[/mm]
Toll! Das sieht sehr richtig aus!
Der Konvergenzzradius ist nicht-negativ, sprich eine Zahl [mm]\rho\in[0,\infty][/mm]
>
> Die Potenzreihe konvergiert für x [mm]\in \IR[/mm] (- [mm]\pi[/mm] -2, - [mm]\pi[/mm] +2 ) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und für alle x [mm]\not\in[/mm] [- [mm]\pi[/mm] -2, - [mm]\pi[/mm] +2 ] nicht.
Nein, erstmal divergiert sie für [mm]|x+\pi|>2[/mm], also für [mm]x>-\pi+2[/mm] und für [mm]x<-\pi-2[/mm]
Wie es an den Randpunkten [mm]|x+\pi|=2[/mm], also [mm]x=-\pi+2[/mm] und [mm]x=-\pi-2[/mm] aussieht, hast du doch noch gar nicht untersucht.
Wieso bist du dir sicher, dass die Reihe dort divergiert.
Ich glaube fest an das Gegenteil!
Also: Beweise, Watson!
Setze die beiden fraglichen Punkte in die Reihe ein und schaue, wie es mit der Konvergenz bestellt ist ...
>
> Stimmt das so ?
Zu einem kleinen Teil. Wenn du das so in einer Übung oder Klausur schreibst, gibt es aber wohl nicht viele Punkte ...
Gruß
schachuzipus
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