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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (\wurzel{n^{2}+n}-n)
[/mm]
konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.
Hinweis: [mm] (\wurzel{n^{2}+n}-n) [/mm] * [mm] (\wurzel{n^{2}+n}+n)= [/mm] n |
Hallo zusammen,
ok also meine Gedanken zu dieser Aufgabe.
Ich weiß, dass die Folge gegen 0,5 konvergiert.
Damit gilt:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0. [mm] \exists N\in \IN, [/mm] so dass für alle n>N glit:
[mm] |(\wurzel{n^{2}+n}-n)- [/mm] 0,5|< [mm] \varepsilon
[/mm]
Normalerweise gehe ich nun in einer Nebenrechnung so vor, dass ich [mm] N(\varepsilon) [/mm] finde.
Ich beginne mit
[mm] |(\wurzel{n^{2}+n}-n)-0,5|
[/mm]
nach dem Hinweis gilt:
= [mm] |\bruch{n}{\wurzel{n^{2}+n}+n}- [/mm] 0,5|
= [mm] |\bruch{n}{\wurzel{n}*\wurzel{n+1}+n}- [/mm] 0,5|
< [mm] |\bruch{n}{\wurzel{n}*\wurzel{n}+n}- [/mm] 0,5|
= [mm] |\bruch{n}{n+n}- [/mm] 0,5|
= [mm] |\bruch{n}{2*n}- [/mm] 0,5|
= |0,5- 0,5|
= 0
okay ich weiß das ich irgendwas grundlegend und grob falsch mache. :D
Denn eigentlich sollte ja sowas wie [mm] N=...\varepsilon
[/mm]
rauskommen, wodurch die Abschätzung nach oben
[mm] (a_{n}) \le (a_{N}) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] ergeben sollte oder?
Brauche also dringend Hilfe für die Aufgabe aber auch für das Verständnis von [mm] \varepsilon-Beweisen [/mm] bzgl. der Grenzwerte von Folgen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
Lucky-Luke
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Hallo Lucky Luke,
> Zeigen Sie, dass die Folge [mm](\wurzel{n^{2}+n}-n)[/mm]
> konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.
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> Hinweis: [mm](\wurzel{n^{2}+n}-n)[/mm] * [mm](\wurzel{n^{2}+n}+n)=[/mm] n
> Hallo zusammen,
>
> ok also meine Gedanken zu dieser Aufgabe.
>
> Ich weiß, dass die Folge gegen 0,5 konvergiert. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Damit gilt:
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] >0. [mm]\exists N\in \IN,[/mm] so dass für alle n>N
> glit:
> [mm]|(\wurzel{n^{2}+n}-n)-[/mm] 0,5|< [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Normalerweise gehe ich nun in einer Nebenrechnung so vor,
> dass ich [mm]N(\varepsilon)[/mm] finde.
>
> Ich beginne mit
>
> [mm]|(\wurzel{n^{2}+n}-n)-0,5|[/mm]
>
> nach dem Hinweis gilt:
>
> = [mm]|\bruch{n}{\wurzel{n^{2}+n}+n}-[/mm] 0,5|
>
> = [mm]|\bruch{n}{\wurzel{n}*\wurzel{n+1}+n}-[/mm] 0,5|
> < [mm]|\bruch{n}{\wurzel{n}*\wurzel{n}+n}-[/mm] 0,5|
>
> = [mm]|\bruch{n}{n+n}-[/mm] 0,5|
>
> = [mm]|\bruch{n}{2*n}-[/mm] 0,5|
>
> = |0,5- 0,5|
>
> = 0
>
> okay ich weiß das ich irgendwas grundlegend und grob falsch
> mache. :D
>
> Denn eigentlich sollte ja sowas wie [mm]N=...\varepsilon[/mm]
>
> rauskommen, wodurch die Abschätzung nach oben
>
> [mm](a_{n}) \le (a_{N})[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] ergeben sollte oder?
>
> Brauche also dringend Hilfe für die Aufgabe aber auch für
> das Verständnis von [mm]\varepsilon-Beweisen[/mm] bzgl. der
> Grenzwerte von Folgen.
Mit [mm] $\varepsilon, N(\varepsilon)$ [/mm] ist das doch sehr frickelig, mit dem Tipp würde ich das mit den Grenzwertsätzen machen, dann hast du nach dem Erweitern
[mm] $a_n=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{n}{\sqrt{n^2(1+\frac{1}{n})}+n}=\frac{n}{n(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1)}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}$
[/mm]
Und das strebt für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen [mm] $\frac{1}{1+0+1}=\frac{1}{2}$
[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Gruß
> Lucky-Luke
>
LG
schachuzipus
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