Konvergenz zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Di 25.09.2012 | | Autor: | mikexx |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Man beweise:
$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n^2}}-\sqrt[3]n}\right)=\frac{1}{3}$. |
Hallo!
Setze $x_n:=\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n^2}}-\sqrt[3]{n}$, also gilt
$\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n^2}}=\sqrt[3]{n}+x_n\Leftrightarrow 1=3x_n+\underbrace{3x_n^2\frac{1}{\sqrt[3]{n}}+x_n^3\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}}_{\to 0\mbox{ für }n\to\infty,\mbox{ da }\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[3]{n}=\infty}$
für $n>0$.
Und nun?
|
|
| |
|
Hallo,
> Man beweise:
>
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n^2}}-\sqrt[3]n}\right)=\frac{1}{3}[/mm].
> Hallo!
>
> Setze [mm]x_n:=\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n^2}}-\sqrt[3]{n}[/mm], also
> gilt
>
> [mm]\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n^2}}=\sqrt[3]{n}+x_n\Leftrightarrow 1=3x_n+\underbrace{3x_n^2\frac{1}{\sqrt[3]{n}}+x_n^3\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}}_{\to 0\mbox{ für }n\to\infty,\mbox{ da }\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[3]{n}=\infty}[/mm]
>
> für [mm]n>0[/mm].
>
>
> Und nun?
du bist doch schon fast fertig, und zwar mittels Anwendung eines relativ genialen Tricks. Wenn die beiden rechten Summanden gegen eh gegen Null streben, was spricht dann dagegen, das ganze vorher schon durch 3 zu dividieren? 
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Di 25.09.2012 | | Autor: | mikexx |
Achso, ja klar:
[mm] $\hdots\Leftrightarrow\frac{1}{3}=x_n+x_n^2\frac{1}{\sqrt[3]{n}}+x_n^3\frac{1}{3\sqrt[3]{n^2}}$
[/mm]
und dann den Limes bilden
Auf der linken Seite bleibt [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm] stehen, rechts [mm] $x_n$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Achso, ja klar:
>
> [mm]\hdots\Leftrightarrow\frac{1}{3}=x_n+x_n^2\frac{1}{\sqrt[3]{n}}+x_n^3\frac{1}{3\sqrt[3]{n^2}}[/mm]
>
> und dann den Limes bilden
>
> Auf der linken Seite bleibt [mm]\frac{1}{3}[/mm] stehen, rechts
> [mm]x_n[/mm].
Wie soll rechts denn was von n abhängiges stehen bleiben, wenn du den Grenzwert bildest?
Warum machst du nicht einfach mal das, was man dir sagt und schreibst das sauber auf und wendest korrekt die Grenzwertsätze an?
Wenn du es in einem großen Schritt nicht hinbekommst, mach es doch klein klein!
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
Hiho,
> [mm]\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n^2}}=\sqrt[3]{n}+x_n\Leftrightarrow 1=3x_n+\underbrace{3x_n^2\frac{1}{\sqrt[3]{n}}+x_n^3\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}}_{\to 0\mbox{ für }n\to\infty,\mbox{ da }\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[3]{n}=\infty}[/mm]
allein die Aussage, dass [mm] $\sqrt[3]{n} \to \infty$ [/mm] reicht noch nicht aus, dass deine letzten Summanden gegen Null gehen (auch wenn die Aussage stimmt).
Das [mm] x_n [/mm] hängt ja auch von n ab! Und wenn du das laufen lässt, läuft dein [mm] x_n [/mm] mit.
Also: Sauber aufschreiben, in dem du auf beiden Seiten [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] davorschreibst und dann Grenzwertsätze benutzt.
Dann siehst du auch, dass du fertig bist!
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Di 25.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Man beweise:
>
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n^2}}-\sqrt[3]n}\right)=\frac{1}{3}[/mm].
> Hallo!
>
> Setze [mm]x_n:=\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n^2}}-\sqrt[3]{n}[/mm], also
> gilt
>
> [mm]\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n^2}}=\sqrt[3]{n}+x_n\Leftrightarrow 1=3x_n+\underbrace{3x_n^2\frac{1}{\sqrt[3]{n}}+x_n^3\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}}_{\to 0\mbox{ für }n\to\infty,\mbox{ da }\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[3]{n}=\infty}[/mm]
>
> für [mm]n>0[/mm].
>
>
> Und nun?
So geht das nicht. Du sollst doch zeigen, dass [mm] (x_n) [/mm] konv. (gegen 1/3)
Also kannst Du das
[mm] \underbrace{3x_n^2\frac{1}{\sqrt[3]{n}}+x_n^3\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}}_{\to 0\mbox{ für }n\to\infty,\mbox{ da }\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[3]{n}=\infty}
[/mm]
noch nicht sagen.
FRED
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:45 Mi 26.09.2012 | | Autor: | Helbig |
> Man beweise:
>
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n^2}}-\sqrt[3]n}\right)=\frac{1}{3}[/mm].
> Hallo!
>
> Setze [mm]x_n:=\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n^2}}-\sqrt[3]{n}[/mm], also
> gilt
>
> [mm]\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n^2}}=\sqrt[3]{n}+x_n\Leftrightarrow 1=3x_n+\underbrace{3x_n^2\frac{1}{\sqrt[3]{n}}+x_n^3\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}}_{\to 0\mbox{ für }n\to\infty,\mbox{ da }\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[3]{n}=\infty}[/mm]
>
> für [mm]n>0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.
>
>
> Und nun?
Hallo mikexx,
so geht es wohl nicht. Bei dieser Differenz von Wurzeln bietet sich dagegen der bekannte Differenzenquotient für dritte Potenzen an:
$\frac {a^3-b^3} {a-b}=\sum_{k=0}^{2} a^k*b^{2-k}=a^2+ab+b^2$.
Hierzu setze
$a_n=\root 3 \of {n+\root 3 \of {n^2}},\; b_n=\root 3 \of n$.
Wir sollen $\lim\limits_{n\to\infty} a_n-b_n$ bestimmen. Mit dem Differenzenquotient ergibt sich:
$a_n-b_n = \frac {a_n^3 - b_n^3} {a_n^2 + a_nb_n + b_n^2}= \frac {b_n^2} {a_n^2 + a_nb_n + b_n^2}= \frac 1 {(a_n/b_n)^2 + a_n/b_n + 1$.
Und nun überlege Dir $\frac {a_n} {b_n} \to 1$ für $n\to \infty$ und Du bist fertig!
Gruß,
Wolfgang
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:50 Mi 26.09.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Wolfgang,
das ist eine schöne und gut nachvollziehbare Lösung.
Glückwunsch
reverend
|
|
|
|
