Konvergenz zweier Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie folgende Grenzwerte:
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\vektor{n \\ k}\bruch{1}{n^{k}}
[/mm]
b) [mm] \limes_{t\rightarrow0} \bruch{t}{\wurzel{\wurzel{1+4*t^2}+1}} [/mm] |
Hallo,
ich habe insgesamt recht viele Schwierigkeiten mit dem Berechnen von Grenzwerten von Folgen, weil mir irgendwie da die Mittel ein wenig fehlen (irgendwie gibt es da kein wirkliches Kriterium, oder?)
ich habe mir folgendes überlegt:
zu a)ich haen binomialkoeffizienten ausgeschrieben, dann ist das n! ja fast so gross wie [mm] n^k*(n-k)! [/mm] im Nenner. Ich habe es versucht abzuschätzen, irgendwie klappt das nicht so recht. Wie kann ich meine schwammige Idee mathematisch korrekt ausformulieren?
zu b) hier habe ich es mit L'Hopital versucht, im nenner kam aufgrund der Wurzeln ein riesiger Term raus. Ist L'hopital hier überhaupt der richtige Weg?
Vielen Dank im Voraus.
mond_licht
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo mond_licht und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
eine Teilantwort zu b):
> Bestimmen Sie folgende Grenzwerte:
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> b) [mm]\limes_{t\rightarrow\0} \bruch{t}{\wurzel{\wurzel{1+4*t^2}+1}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> Hallo,
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> ich habe insgesamt recht viele Schwierigkeiten mit dem
> Berechnen von Grenzwerten von Folgen, weil mir irgendwie da
> die Mittel ein wenig fehlen (irgendwie gibt es da kein
> wirkliches Kriterium, oder?)
>
> ich habe mir folgendes überlegt:
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> zu b) hier habe ich es mit L'Hopital versucht, im nenner
> kam aufgrund der Wurzeln ein riesiger Term raus. Ist
> L'hopital hier überhaupt der richtige Weg?
Nun, bei direktem Grenzübergang $t\to 0$ erhält man $\frac{0}{2}=0$
Das legt die Vermutung nahe, dass du dich im Nenner vertippt hast und die Aufgabe vielmehr
$\lim\limits_{t\to 0}\frac{t}{\sqrt{\sqrt{1+4t^2}\red{-}1}}$ lautet ...
In diesem Falle schreibe erstmal die äußere Wurzel um:
$\frac{t}{\sqrt{\sqrt{1+4t^2}-1}}=\sqrt{\frac{t^2}{\sqrt{1+4t^2}-1}}$
Schöner als de l'Hôpital ist der immergrüne Trick, um Summen oder Differenzen mit Wurzeltermen loszuwerden:
Erweitere so, dass du die 3.binomische Formel verwenden kannst, hier also mit $\left(\sqrt{1+4t^2}\blue{+}1\right)$
Das gibt $\sqrt{\frac{t^2\cdot{}\left(\sqrt{1+4t^2}\blue{+}1\right)}{\left(\sqrt{1+4t^2}-1\right)\cdot{}\left(\sqrt{1+4t^2}\blue{+}1\right)}$
$\underbrace{=}_{\text{3.bin.Formel}} \ \sqrt{\frac{t^2\cdot{}\left(\sqrt{1+4t^2}\blue{+}1\right)}{1+4t^2-1}$
Nun noch ein wenig vereinfachen, dann kannst du gefahrlos $t\to 0$ gehen lassen ...
>
> Vielen Dank im Voraus.
> mond_licht
Gruß
schachuzipus
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:56 Fr 23.07.2010 | | Autor: | mond_licht |
Hallo schachuzipus,
vielen dank für die nette Begrüssung und die schnelle Antwort.
ja, du hast recht, ich hatte mich da vertippt, tut mir leid. Das mit dem Erweitern kannte ich noch nicht, das ist ja ein super Trick! Jetzt habe ich es verstanden und es ist tatsächlich um einiges einfacher als L'Hopital.
Danke vielmals!
mond_licht
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Fr 23.07.2010 | | Autor: | Fulla |
Hallo mond_licht,
> a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\vektor{n \\ k}\bruch{1}{n^{k}}[/mm]
> zu a)ich haen binomialkoeffizienten ausgeschrieben, dann
> ist das n! ja fast so gross wie [mm]n^k*(n-k)![/mm] im Nenner. Ich
> habe es versucht abzuschätzen, irgendwie klappt das nicht
> so recht. Wie kann ich meine schwammige Idee mathematisch
> korrekt ausformulieren?
Das stimmt im Groben und Ganzen schon... Es gilt
[mm] ${n\choose k}\frac{1}{n^k}=\frac{n!}{(n-k)!\ k!}\frac{1}{n^k}$
[/mm]
Ich habe folgendermaßen zusammengefasst:
[mm] $\ldots [/mm] = [mm] \frac{n!}{(n-k)!}\cdot \frac{1}{k!\ n^k}=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot\ldots\cdot [/mm] (n-k+1)\ [mm] \cdot\ \frac{1}{n\cdot 2n\cdot\ldots\cdot (k-1)n\cdot kn}=\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot\ldots\cdot (n-k+1)}{n\cdot 2n\cdot\ldots\cdot (k-1)n\cdot kn}$
[/mm]
Wenn du da genau hinschaust, stellst du fest, dass in Zähler und Nenner jeweils $k$ Faktoren stehen. Wenn du jetzt jeweils einen Faktor aus Zähler und Nenner zusammenfasst, erhältst du einen Ausdruck in dem $n$ nur in Form von [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] auftaucht und du kannst leicht den Grenzwert [mm] $n\to\infty$ [/mm] bilden.
> Vielen Dank im Voraus.
> mond_licht
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:02 Sa 24.07.2010 | | Autor: | mond_licht |
Hallo Fulla,
danke vielmals, so ungefähr war auch mein Gedankengang. Ich hatte nur die Terme im Zähler und Nenner etwas anders zusammengefasst und dann konnte man den Grenzwert nicht so gut bilden. Aber mit 1/n hat das nun gut funktioniert.
Liebe Grüsse
mond-licht
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Hallo nochmal,
> Bestimmen Sie folgende Grenzwerte:
>
> a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\vektor{n \\ k}\bruch{1}{n^{k}}[/mm]
>
Hier hatte ich die Idee, mit dem Sandwich-Lemma zu arbeiten und die Folge nach oben und unten abzuschätzen:
[mm] $\vektor{n\\k}\cdot{}\frac{1}{n^k}=\frac{\overbrace{n(n-1)(n-2)\ldots(n-k+1)}^{k \ \text{Faktoren}}}{k!}\cdot{}\frac{1}{n^k}$
[/mm]
Von den k Faktoren im Zähler ist $n$ der größte und $n-k+1$ der kleinste.
Damit: [mm] $\frac{(n-k+1)^k}{k!}\cdot{}\frac{1}{n^k} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \frac{n(n-1)(n-2)\ldots(n-k+1)}{k!}\cdot{}\frac{1}{n^k} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \frac{n^k}{k!}\cdot{}\frac{1}{n^k}$
[/mm]
Sortiert:
[mm] $\frac{(n-k+1)^k}{n^k}\cdot{}\frac{1}{k!} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \frac{n(n-1)(n-2)\ldots(n-k+1)}{k!}\cdot{}\frac{1}{n^k} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \underbrace{\frac{n^k}{n^k}}_{=1}\cdot{}\frac{1}{k!}$
[/mm]
Nun schaue, was linkerhand und rechterhand für [mm] $n\to\infty$ [/mm] passiert...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Sa 24.07.2010 | | Autor: | mond_licht |
Hallo schachuzipus,
genau nach so einer Abschätzung hatte ich gesucht, danke vielmals!! Irgendwie habe ich allgemein noch recht viele Schwierigkeiten gute Abschätzungen, da werde ich wohl noch etwas üben müssen.
liebe Grüsse
mond_licht
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