Konvergenzaussage für Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:48 So 03.02.2008 | | Autor: | esc |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgenden Satz: (Alle Reihen sind unendlich)
Sind [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] ak und [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] konvergent, so ist [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (ak+bk) konvergent. Beweisen Sie, dass [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (ak+bk) = [mm] \summe_{i=1}^{n}ak [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n}bk [/mm] |
Hallo,
ich soll den obigen Satz beweisen, weiß allerdings nicht wie ich überhaupt anfangen soll. Kann mit jemand einen Tip geben?
Danke euch im Voraus.
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 So 03.02.2008 | | Autor: | pelzig |
Benutze einfach die Definition von Konvergenz, d.h. zeige dass
[mm] $|(\sum_{k=1}^na_k+b_k)-(a+b)|$ [/mm] ab einem genügend großen $n$ kleiner als jede positive Zahl [mm] $\varepsilon$ [/mm] wird.
($a$ und $b$ sind hierbei die Grenzwerte der Reihen über [mm] $a_k$ [/mm] bzw. [mm] $b_k$)
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 Mo 04.02.2008 | | Autor: | esc |
Vielen Dank für die schnelle Hilfe!
Unser Prof meinte, dass wir den Beweis mit Hilfe der entsprechenden Folgen und Partialsummen durchführen sollen!?
Weißt Du was er da genau will?
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:52 Mo 04.02.2008 | | Autor: | esc |
Ich habe mir jetzt einige Gedanken gemacht. Bin mir aber ziemlich unsicher ob das überhaupt stimmt.
Wenn ich die Grenzwerte a und b abziehe und mir überlege, dass die Summanden beider Folgen sind: a1+b1+a2+b2+a3+b3+...+an+bn.
Soweit so gut. Und das bedeutet ja, dass ich irgendwann bei meinem Grenzwerten a+b auch bin, oder nicht?! Oder habe ich einen Denkfehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:09 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
was da oben steht stimmt nicht. Der Prof. gibt einen wunderbaren Tipp, unter der Voraussetzung, dass folgender Satz bekannt ist:
Sind [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] und [mm] $(y_n)_{n \in \IN}$ [/mm] konvergente Folgen mit [mm] $x:=\lim_{n \to \infty}x_n$ [/mm] und [mm] $y:=\lim_{n \to \infty}y_n$, [/mm] so ist die Folge [mm] $(z_n)_{n \in \IN}$ [/mm] definiert durch
[mm] $z_n:=x_n+y_n$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$)
[/mm]
konvergent gegen $z:=x+y$.
(Und wenn dieser Satz noch nicht bekannt ist, dann solltest Du versuchen, diesen zu beweisen).
Hier gilt dann nämlich:
Die Reihen [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] und [mm] $\sum_{k=1}^\infty b_k$ [/mm] sind beide konvergent. Das bedeutet nichts anderes, als dass die Folgen der Teilsummen [mm] $(X_n)_{n \in \IN}$ [/mm] und [mm] $(Y_n)_{n \in \IN}$ [/mm] definiert durch:
für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] sei
[mm] $X_n:=\sum_{k=1}^n a_k$
[/mm]
[mm] $Y_n:=\sum_{k=1}^n b_k$
[/mm]
konvergent sind.
(I.a. bedeutet die Notation [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] nichts anderes als die Folge der Teilsummen [mm] $(\sum_{k=1}^n a_k)_{n \in \IN}$, [/mm] die man dann auf Konvergenz untersuchen will.
[mm] $\mbox{\underline{Im} \underline{Falle}}$ [/mm] der Konvergenz der Folge der Teilsummen bekommt das Symbol [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] eine weitere Bedeutung, dann setzt man nämlich zudem [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k:=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k$. [/mm] Und aus dem Zusammenhang ist dann meistens klar, welche Bedeutung dem Symbol [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] dann zukommt, falls dem mal nicht so sein sollte, wird es explizit dazugeschrieben!)
Setzen wir also
[mm] $X:=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k(=\sum_{k=1}^\infty a_k)$
[/mm]
[mm] $Y:=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n b_k(=\sum_{k=1}^\infty b_k)$,
[/mm]
so haben wir zu zeigen, dass die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty (a_k+b_k)$ [/mm] konvergent gegen $X+Y$ ist, was nichts anderes heißt, also dass die Folge der Teilsummen [mm] $(Z_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit
[mm] $Z_n:=\sum_{k=1}^n (a_k+b_k)$
[/mm]
konvergent gegen $Z=X+Y$ ist.
Das ergibt sich aber, weil für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm] $Z_n=\sum_{k=1}^n (a_k+b_k)=\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)+\sum_{k=1}^n b_k=X_n+Y_n$
[/mm]
mit Hilfe des obigen Grenzwertsatzes (in Blau geschrieben) für Folgen (man beachte, dass nach Voraussetzung die Folge [mm] $(X_n)_{n \in \IN}$ [/mm] konvergent ist gegen $X$ und [mm] $(Y_n)_{n \in \IN}$ [/mm] konvergent ist gegen $Y$ mit $X,Y$ wie oben).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:18 Mo 04.02.2008 | | Autor: | pelzig |
Ok, also vergiss was ich gesagt habe, so ist es natürlich viel eleganter...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:30 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Marcel |
> Ok, also vergiss was ich gesagt habe, so ist es natürlich
> viel eleganter...
Hallo pelzig,
Dein Ansatz war ja an sich auch okay, aber es hätte nur dafür geführt, dass man den Grenzwertsatz, den ich für Folgen nochmal formuliert habe und den man nun wirklich leicht beweisen kann, dann nochmal speziell für die Folgen der Partialsummen, die hier nach Voraussetzung konvergent sind, beweisen würde. Das einzige, was man halt "zusätzlich" braucht, ist hier das Kommutativgesetz, denn man muss ja
[mm] $\sum_{k=1}^n (a_k+b_k)=\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)+\sum_{k=1}^n b_k$
[/mm]
(Normalerweise spart man sich die Klammer rechts, ich schreibe sie hier nur der Deutlichkeit halber hin, damit gar keine Missverständnisse auftreten können!)
umschreiben können (was kein Problem ist, da dort stets endlich viele Summanden), damit rechterhand die anderen beiden Teilsummenfolgenglieder auftreten (und die entspr. Teilsummenfolgen konvergieren beide nach Voraussetzung).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:21 Mo 04.02.2008 | | Autor: | esc |
Vielen Dank!
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:36 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Marcel |
> Vielen Dank!
> Lg
Gern geschehen. Eine einzige Anmerkung noch:
Der Threadtitel passt nicht. Es geht hier um Reihen (okay, also um die Folgen der Teilsummen, meinetwegen ordnet man das dann auch unter Folgen zu). Aber diese Reihen sind konvergent, also alles andere als unbeschränkt. Ich nehme an, Du wolltest damit sagen, dass es um (abzählbar) unendlich viele Summanden geht. Aber das ist natürlich was ganz anderes als eine "unbeschränkte Folge". Vielleicht änderst Du den Titel zu:
"Konvergenzaussage für Reihen"
oder ähnliches...
Gruß,
Marcel
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