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Konvergenzbereich: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:24 Do 20.01.2005
Autor: Syrena

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Grüß euch.

Ich sitz jetzt schon etwas länger vor Aufgaben bei denen ich den Konvergenzbereich von Funktionen bestimmen  soll und ihr Verhalten am Rande überprüfen soll. Leider hab ich keine Ahnung, wie ich das angehe. Vielleicht kann mir jmd. was darüber erzählen oder es anhand eines Beispieles erklären?!


        
Bezug
Konvergenzbereich: Potzenzreihen?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:10 Fr 21.01.2005
Autor: e.kandrai

Verbesserte Version (hatte die falsche Formel zur Berechnung des Konv.radius angegeben; die Rechnung, also die hingeschriebenen Zahlenwerte haben aber gestimmt).

Meinst du das maximale Konvergenzintervall bei Potenzreihen?

So, wie's für die Konvergenz von Reihen bestimmt Kriterien gibt (z.B. Quotienten- und Wurzelkriterium), so kann man auch bei PRen vorgehen.

Mal ein Beispiel: [mm]\summe_{n=1}^{\infty} {\bruch{1}{n} \cdot x^n}[/mm].

Das [mm]\bruch{1}{n}[/mm] definiert man sich als Folge [mm]a_n[/mm], und geht dann so vor: erstmal den Grenzwert [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} {\bruch{a_{n+1}}{a_n}}[/mm] bestimmen. Hier gilt: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} {\bruch{\bruch{1}{n+1}}{\bruch{1}{n}}}\ =\ \limes_{n\rightarrow\infty}{\bruch{n}{n+1}}=1:=r[/mm].
Somit hat man den Konvergenzradius [mm]\rho=\bruch{1}{r}=\bruch{1}{1}=1[/mm].
Da der Entwicklungspunkt der PR [mm]x_0=0[/mm] ist, konvergiert die Reihe also auf jeden Fall für alle [mm]-1
Um die Konvergenz an den Rändern zu untersuchen, setzt man nacheinander bei Ränder (-1 und 1) für das x in die PR ein, und bestimmt bei diesen sich ergebenden Reihen, ob sie konvergieren, oder nicht.

Wenn man hier (-1) einsetzt: [mm]\summe_{n=1}^{\infty} {(-1)^n \cdot \bruch{1}{n}[/mm], und das konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium.
Wenn man die andere Grenze [mm]x=1[/mm] einsetzt, dann divergiert die Reihe (harmonische Reihe).

Somit konvergiert die PR für [mm]-1 \le x < 1[/mm].

Bezug
                
Bezug
Konvergenzbereich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:59 Fr 21.01.2005
Autor: Nilez

Hallo!
>  
> Mal ein Beispiel: [mm]\summe_{n=1}^{\infty} {\bruch{1}{n} \cdot x^n}[/mm].
>  
>
> Das [mm]\bruch{1}{n}[/mm] definiert man sich als Folge [mm]a_n[/mm], und geht
> dann so vor: erstmal den Grenzwert
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} {a_n}[/mm] bestimmen. Hier gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} {\bruch{1}{n}}=1:=r[/mm].
>  Somit
> hat man den Konvergenzradius
> [mm]\rho=\bruch{1}{r}=\bruch{1}{1}=1[/mm].

Um den Konvergenzradius einer Potenzreihe zu bestimmen musst du wie folgt vorgehen:

Konvergenzradius... [mm] \delta:= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_{n}|}{|a_{n+1}|}, [/mm] denn:

Konvergenz beim Quotientenkriterium liefert:

(limes steht für Limes Superior)

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}|x-x0|<1 \gdw [/mm]

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}< \bruch{1}{|x-x0|} \gdw [/mm]

[mm] |x-x0|<\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_{n}|}{|a_{n+1}|} [/mm]

Für Divergenz gilt nach QK:

(limes steht für Limes Inferior)

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}|x-x0|>1 \gdw [/mm]

[mm] |x-x0|>\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_{n}|}{|a_{n+1}|} [/mm]


Also liegt  [mm] \delta [/mm] zwischen Limes Inf. und Limes Sup.

Bei Konvergenz der PR gilt limesup = limesinf = limes und somit das am Anfang erwähnte.


Also auf dein Bsp. angewandt:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n+1}{n}=1=:\delta [/mm]

Grüße Nilez

Bezug
                        
Bezug
Konvergenzbereich: Stimmt, hast recht
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:54 Fr 28.01.2005
Autor: e.kandrai

Weiß auch nicht genau, was ich da für'n Blödsinn geschrieben habe. Was ich geschrieben hab, war Käs, aber der Grenzwert hat gestimmt.
Naja, ich werd's dann jetzt mal verbessern.

Bezug
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