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| Aufgabe | Geben Sie den Entwicklungspunkt, die Koeffizienten und den Konvergenzbereich der folgenden Potenzreihe an:
[mm] (x+1)-\bruch{1}{2}(x+1)^{2}+\bruch{1}{3}(x+1)^{3}-\bruch{1}{4}(x+1)^{4}+... [/mm] |
Hallo,
ich habe am Schluss der Aufgabe mit dem letzten Randpunkt ein Problem, ich schreibe aber erstmal meine bisherige Lösung:
Entwicklungspunkt: [mm] x_{0}=-1
[/mm]
Koeffizienten: [mm] (-1)^{n+1}*\bruch{1}{n}
[/mm]
Darstellung der Potenzreihe: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*\bruch{1}{n}(x+1)^{n}
[/mm]
Ausrechnen des Konvergenzradius:
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{n}*\bruch{n+1}{(-1)^{n+2}} [/mm] = [mm] -1-\bruch{1}{n} [/mm] = -1
Betrachtung im Randpunkt 1:
[mm] x_{0}-r=|x|
[/mm]
-1-(-1)=0
|x|=0; x=0
x=0 in Potenzreihe eingesetzt ergibt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*\bruch{1}{n}
[/mm]
hier ist [mm] a_{n}=\bruch{1}{n} [/mm] und es gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n} [/mm] =0 , sowie [mm] a_{1}>a_{2}>a_{3}... [/mm] (monoton fallende Nullfolge).
Somit ist das Leibnizkriterium für alternierende Reihen erfüllt, die Potenzreihe konvergiert im ersten Randpunkt für x=0.
Randpunkt 2:
[mm] x_{0}+r=|x|
[/mm]
-1+(-1)=-2
|x|=2 in Potenzreihe eingesetzt ergibt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*\bruch{1}{n}(3)^{n} [/mm] =
hier ist [mm] a_{n}=\bruch{1}{n}(3)^{n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}(3)^{n} [/mm] = 0 ist erfüllt,
aber es ist hier: [mm] a_{1}
Also ist das Leibnizkriterium nicht erfüllt.
Muss ich nun ein anderes Kriterium heranziehen oder habe ich bereits einen Fehler gemacht?
Gruß, Andreas
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Hallo,
> Geben Sie den Entwicklungspunkt, die Koeffizienten und den
> Konvergenzbereich der folgenden Potenzreihe an:
>
> [mm](x+1)-\bruch{1}{2}(x+1)^{2}+\bruch{1}{3}(x+1)^{3}-\bruch{1}{4}(x+1)^{4}+...[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe am Schluss der Aufgabe mit dem letzten Randpunkt
> ein Problem, ich schreibe aber erstmal meine bisherige
> Lösung:
>
> Entwicklungspunkt: [mm]x_{0}=-1[/mm]
Richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Koeffizienten: [mm](-1)^{n+1}*\bruch{1}{n}[/mm]
>
> Darstellung der Potenzreihe:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*\bruch{1}{n}(x+1)^{n}[/mm]
>
Achtung: das funktioniert so nicht für n=0, sondern du musst die Reihe bei n=1 anfangen lassen.
>
> Ausrechnen des Konvergenzradius:
>
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{n}*\bruch{n+1}{(-1)^{n+2}}[/mm]
> = [mm]-1-\bruch{1}{n}[/mm] = -1
>
Ein negativer Radius ergibt keinen Sinn. Man betrachtet ja auch den Betrag des Quotienten und es ist r=1.
>
> Betrachtung im Randpunkt 1:
>
> [mm]x_{0}-r=|x|[/mm]
>
> -1-(-1)=0
>
> |x|=0; x=0
>
> x=0 in Potenzreihe eingesetzt ergibt:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*\bruch{1}{n}[/mm]
>
> hier ist [mm]a_{n}=\bruch{1}{n}[/mm] und es gilt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}[/mm] =0 , sowie
> [mm]a_{1}>a_{2}>a_{3}...[/mm] (monoton fallende Nullfolge).
>
> Somit ist das Leibnizkriterium für alternierende Reihen
> erfüllt, die Potenzreihe konvergiert im ersten Randpunkt
> für x=0.
Ja. Es handelt sich um die alternierende harmonische Reihe, deren Konvergenz man u.U. auch voraussetzen darf.
>
>
> Randpunkt 2:
>
> [mm]x_{0}+r=|x|[/mm]
>
> -1+(-1)=-2
>
> |x|=2 in Potenzreihe eingesetzt ergibt:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*\bruch{1}{n}(3)^{n}[/mm] =
>
Hier hast du dich verrechnet. Es ist
-2+1=-1
Und wenn du das einsetzt, dann bekommst du die harmonische Reihe, deren Divergenz sicherlich vorausgesetzt werden kann.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:07 Mo 20.05.2013 | | Autor: | Mathe-Andi |
Hallo Diophant,
ich glaube ich habe da etwas mit dem Betrag missverstanden.
Wenn ich den Konvergenzradius berechne, so ist das Ergebnis stets der Betrag von r, sprich |r| ist ein stets positiver Wert. Das klingt logisch, da ein negativer Radius keinen Sinn macht.
Wenn ich nun zum Betrachten der Randpunkte in die Formel
[mm] x_{0}-r=x
[/mm]
sowie
[mm] x_{0}+r=x
[/mm]
einsetze, so habe ich mir aufgeschrieben, muss das Ergebnis auch stets positiv sein. Ich setze also [mm] |x_{0}-r| [/mm] sowie [mm] |x_{0}+r|. [/mm] Ich glaube das ist an dieser Stelle falsch, oder?
Jedenfalls würde es meinen Rechenfehler erklären.
Gruß, Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 Mo 20.05.2013 | | Autor: | Mathe-Andi |
Obige Frage hat sich erledigt. Ich habe mir da wohl mal etwas falsch notiert. Nun passt es und meine Formelsammlung habe ich gleich nachgebessert.
Danke für deine Hilfe Diophant!
Lieben Gruß, Andreas
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