Konvergenzbereich Taylorreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Do 03.12.2015 | | Autor: | X3nion |
| Aufgabe | | Zu Bestimmen ist der Konvergenzbereich der Taylorreihe von f(x) = sin(x) um [mm] x_{0} [/mm] = 0. |
Hallo zusammen!
Ich habe eine Frage zu oben gestellter Aufgabe. Unser Dozent hat die Lösung skizziert, die ich nun hier aufschreiben werde:
f(x) = sin(x) f(0) = 0
f'(x) = cos(x) = [mm] f^{(5)}(x) [/mm] f'(0) = [mm] f^{(5)}(0) [/mm] = 1
f''(x) = -sin(x) = [mm] f^{(6)}(x) [/mm] => f''(0) = [mm] f^{(6)}(x) [/mm] = 0
f'''(x) = - cos(x) = [mm] f^{(7)}(x) [/mm] f'''(0) = [mm] f^{(7)}(x) [/mm] = -1
[mm] f^{(4)}(x) [/mm] = sin(x) = [mm] f^{(8)}(x) f^{(4)}(x) [/mm] = [mm] f^{(8)}(x) [/mm] = 0
[mm] f^{(n)}(0) [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{wenn } n \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{für} n \mbox{ = 1, 5, 9, ... d.h. n = 2(2m) + 1 für ein} m\in\IN \\ 1, & \mbox{für} n \mbox{ = 3, 7, 11, ... d.h. n = 2(2m+1) + 1 für ein} m\in\IN\end{cases}
[/mm]
=> es tauchen nur ungerade Potenzen von x auf, [mm] x^{1}, x^{3}, x^{5}, x^{7}, [/mm] ... mit alternierendem Vorzeichen.
=> [mm] T_{sin}(x) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!} x^{2k+1}
[/mm]
Hier lässt sich der Konvergenzradius nicht durch [mm] \left| \frac{c_{k}}{c_{k+1}} \right| [/mm] bestimmen, da in der Form [mm] \summe_{k=0}^{\infty} c_{k}(x-x_{0})^{k} [/mm] jeder 2. Koeffizient 0 ist. Allerdings ist die Taylorreihe eine Potenzreihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k} [/mm] mit [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!} x^{2k+1}.
[/mm]
Daher betrachte man das Quotientenkriterium:
[mm] \left| \frac{a_{k+1}}{a_{k}} \right| [/mm] = [mm] \left| \frac{x^{2(k+1)+1}}{(2(2+1)+1)!} * \frac{(2k+1)!}{x^{2k+1}} \right| [/mm] = [mm] \left| \frac{x^{2k+3}}{x^{2k+1}} * \frac{(2k+1)!}{(2k+3)!} \right| [/mm] = [mm] \frac{|x^{2}|}{(2k+2)(2k+3)}
[/mm]
Es ist [mm] lim_{k\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_{k}} \right| [/mm] = 0 für alle x [mm] \in \IR. [/mm] => Konvergenzbereich ist [mm] \IR.
[/mm]
Nun zu meinen Fragen:
1) Ich verstehe nicht, wieso ich die Formel [mm] \left| \frac{c_{k}}{c_{k+1}} \right| [/mm] nicht benutzen darf. Existiert eine Potenzreihe nur in der Form [mm] x^{0} [/mm] + [mm] x^{1} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] + [mm] x^{3} [/mm] + ... und alle Potenzen müssen auftauchen? Weil sonst könnte man ja die Taylorreihe in eine Potenzreihe umwandeln, welche nun die ungeraden Potenzen von x enthält.
2) Seit wann hat denn eine Potenzreihe die Form Potenzreihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k} [/mm] ? Ist die Form der Potenzreihe nicht [mm] \summe_{k=0}^{\infty} c_{k}(x-x_{0})^{k} [/mm] bzw. für [mm] x_{0} [/mm] = 0:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} c_{k}x^{k}
[/mm]
Die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k} [/mm] schaut mir eher nach einer ganz normalen Reihe aus mit Folgenglieder [mm] a_{0}, a_{1}, a_{2} [/mm] ...
3) Wieso ist der limes hier 0 für alle x [mm] \in \IR? [/mm] Kann ich mir das so vorstellen, dass x [mm] \in \IR [/mm] beliebig gewählt wird, dann eine Konstante ist und er Nennergrad dann größer als der Zählergrad ist? (Zählergrad ist ja konstant 0, Nennergrad 2).
Ich würde mich über eure Antworten freuen!
Viele Grüße,
X³nion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Do 03.12.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast recht, [mm] \summme a_k [/mm] ist keine Potenzireihe sondern einfach eine Reihe da hat sich der prof versprochen.
du kannst [mm] c_k/c_{k+1} [/mm] nicht benutzen weil jedes zweite [mm] c_k=0 [/mm] ist was willst du also einsetzen?
und Konvergenz kann man nicht mit [mm] c_{2k+1}/c_{2k+3} [/mm] zeigen.
dass die Quotienten für k gegen [mm] \infty [/mm] gegen 0 gehen für jedes noch so große aber feste x
sieht man direkt, es ist ungeschickt von Zählergrad und Neunergrad zu reden, aber du meinst das richtige.
Gruß ledum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Do 03.12.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo ledum,
vielen Dank für deine Antwort!
Ich habe noch 2 weitere Fragen:
1) Also kann man dies kurz so festhalten: Um das [mm] c_{k} [/mm] / [mm] c_{k+1} [/mm] Kriterium benutzen zu können, muss jede Hochzahl in der Reihe vorkommen?
Denn nur dann hat man immer ja ein [mm] c_{k} [/mm] und [mm] c_{k+1} [/mm] um den Radius zu bestimmen, stimmt das so?
2) Und muss bei einer Potenzreihe jede Hochzahl vorkommen, oder wäre auch erlaubt dass gewisse Hochzahlen übersprungen werden, also zum Beispiel [mm] c_{0} x^{} [/mm] + [mm] c_{2} x^{2} [/mm] + ... ?
Viele Grüße,
X³nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:10 Fr 04.12.2015 | | Autor: | fred97 |
Ich versuchs mal:
Gegeben sei die Potenzreihe (PR)
(1) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_{2k}x^{2k},
[/mm]
wobei alle [mm] a_{2k} \ne [/mm] 0 seien.
Diese Potenzreihe kannst Du auch so schreiben
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}c_{k}x^{k},
[/mm]
wobei [mm] c_{2k}= a_{2k} [/mm] und [mm] c_{2k+1}= [/mm] 0 (k [mm] \in \IN_0).
[/mm]
Den Konvergenzradius (KR) mit dem $ [mm] c_{k} [/mm] $ / $ [mm] c_{k+1} [/mm] $ Kriterium zu bestimmen ist hier nicht möglich, weil man unendlich oft durch Null teilt.
Du kannst aber so vorgehen: in (1) substituiere [mm] t=x^2. [/mm] Dann bekommst Du die PR
(2) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_{2k}t^{k}.
[/mm]
Diese hat die Form
(3) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}b_{k}t^{k} [/mm]
mit [mm] b_k=a_{2k}. [/mm] Auf die Potenzreihe in (3) kannst Du obiges Kriterium loslassen.
Nehmen wir an, dass wir damit den KR r der PR in (3) erhalten.
Nun gibt es 3 Fälle:
1. r=0. Dann konvergiert die PR in (3) nur für t=0 und somit konv. die PR in (1) nur für x=0. Die PR in (1) hat also den KR $ R=0. $
2. r= [mm] \infty. [/mm] Dann konvergiert die PR in (3) in jedem t absolut und somit konv. die PR in (1) in jedem x absolut. Die PR in (1) hat also den KR [mm] R=\infty.
[/mm]
3. 0<r< [mm] \infty. [/mm] Dann hat die PR in (1) den KR
[mm] R=\wurzel{r}.
[/mm]
Ich hoffe, obiges war hilfreich.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 Mi 09.12.2015 | | Autor: | X3nion |
Hi FRED,
okay danke dir für die Aufklärung! Ich hätte nicht gedacht, dass man durch Substitution derartige Probleme auch lösen kann!!
Gruß X³nion
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