Konvergenzbeweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Fr 01.02.2008 | | Autor: | Kroni |
| Aufgabe | | [mm] a_n:=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} [/mm] |
Hi,
ich weiß, dass diese Folge gegen 0 konvergiert, da n+1 [mm] \approx [/mm] n für große n. Allerdings möchte ich dieses jetzt auch mathematisch richtig beweisen.
Ich kann die obige Folge einmal nach unten durch 0 abschätzen. Mir fällt aber keine Abschätzung nach oben ein.
Eine andere Möglichkeit wäre ja noch zu zeigen, dass [mm] |\sqrt{n+1}-\sqrt{n}|<\epsilon [/mm] für n groß genug. Das wäre ja gleichbedeutend mit [mm] \sqrt{n+1}-\sqrt{n}<\epsilon [/mm] wofür ich dann aber auch wieder eine gute Abschätzung brauche.
Wäre dankbar, wenn mir jemand eine Idee geben würde.
LG
Kroni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Fr 01.02.2008 | | Autor: | dormant |
Hi!
[mm] \wurzel{n+1}-\wurzel{n}>0 \forall n\in\IN.
[/mm]
Daher kann man (fast) direkt nach n auflösen:
[mm] |\wurzel{n+1}-\wurzel{n}|<\epsilon [/mm] genau dann wenn
[mm] \wurzel{n+1}-\wurzel{n}<\epsilon.
[/mm]
Für genügend große n gilt die Ungleichung, wenn
[mm] n>\bruch{(1-\epsilon^{2})^{2}}{2(\epsilon^{2}+1)}
[/mm]
(falls ich mich nicht verrechnet habe).
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:51 Fr 01.02.2008 | | Autor: | abakus |
Erweitere doch den Term mit [mm] \wurzel{n+1}+\wurzel{n}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 Fr 01.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
auch euch beiden nochmal danke für eure Antworten. Ja, das mit dem erweitern ist auch hier glaube ich das einfachste. Ähnlich wie bei meiner anderen Aufgabe, die ich vorhin gepostet habe. Ich hoffe, ich merke es mir jetzt.
LG
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:44 Sa 02.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kroni!
Du kannst auch den Term mit [mm] $\left( \ \wurzel{n+1} \ \red{+} \ \wurzel{n} \ \right)$ [/mm] erweitern und anschließend mittels Grenzwertsatz zeigen, dass [mm] $a_n$ [/mm] eine Nullfolge ist.
Gruß
Loddar
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