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Hallo. Ich habe mal eine wichtige Frage. Und zwar geht es um den Begriff der Konvergenz.
Die Folge [mm] (x_n) [/mm] heißt konvergent gegen a [mm] \IR, [/mm] wenn es zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] eine natürliche Zahl [mm] \IN [/mm] gibt, so dass [mm] |x_n-a|<\epsilon [/mm] für alle n [mm] \ge\IN. [/mm] Man schreibt dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n=a. [/mm] Die Zahl a heißt der Grenzwert der Folge.
Wenn man das ganze sprachlich ausdrückt. so heißt das ja eigentlich nichts anderes als:
Eine Folge ist konvergent gegen den Grenzwert a, wenn jede noch so kleine Toleranz für die Abweichung vom Grenzwert a nur von endlich vielen Folgengliedern verletzt wird. Vom Index [mm] \IN [/mm] an liegen alle Folgenglieder innerhalb der Toleranzschranken
Ich möchte nun versuchen, dass ganze an folgendem Beispiel zu verstehen:
[mm] \bruch{4n-1}{2n} [/mm] hat den Grenzwert 2
[mm] \Rightarrow [/mm] sei [mm] \epsilon>0 [/mm] (beliebig. Ich muss zeigen:
Es gibt eine natürliche Zahl [mm] \IN, [/mm] so dass für alle [mm] n\ge\IN [/mm] gilt:
[mm] |\bruch{4n-1}{2n}-2|<\epsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow |\bruch{4n-1}{2n}-2|=|\bruch{-1}{2n}|=\bruch{1}{2n} [/mm] Damit ergibt sich:
[mm] \bruch{1}{2n}<\epsilon \gdw n>\bruch{1}{2\epsilon}
[/mm]
Also kann man irgendein [mm] \IN>\bruch{1}{2\epsilon} [/mm] wählen. Dann gilt für alle [mm] n\ge\IN [/mm] ebenfalls [mm] n>\bruch{1}{2\epsilon} [/mm] und daher [mm] |\bruch{4n-1}{2n}-2|<\epsilon
[/mm]
Wie erkenne ich daraus nun aber meinen Index [mm] \IN???
[/mm]
Ich muss bzw. will das mit dem Index vertstehen, um somit eventuell nachher auch die Divergenz mit dem indirekten beweis der Konvergenz beweisen zu können.
Ich danke für eure Hilfe...
Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Mi 03.09.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo. Ich habe mal eine wichtige Frage. Und zwar geht es
> um den Begriff der Konvergenz.
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> Die Folge [mm](x_n)[/mm] heißt konvergent gegen a [mm]\IR,[/mm] wenn es zu
> jedem [mm]\epsilon>0[/mm] eine natürliche Zahl [mm]\IN[/mm] gibt, so dass
> [mm]|x_n-a|<\epsilon[/mm] für alle n [mm]\ge\IN.[/mm] Man schreibt dann
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=a.[/mm] Die Zahl a heißt der
> Grenzwert der Folge.
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> Wenn man das ganze sprachlich ausdrückt. so heißt das ja
> eigentlich nichts anderes als:
> Eine Folge ist konvergent gegen den Grenzwert a, wenn jede
> noch so kleine Toleranz für die Abweichung vom Grenzwert a
> nur von endlich vielen Folgengliedern verletzt wird. Vom
> Index [mm]\IN[/mm] an liegen alle Folgenglieder innerhalb der
> Toleranzschranken
>
> Ich möchte nun versuchen, dass ganze an folgendem Beispiel
> zu verstehen:
> [mm]\bruch{4n-1}{2n}[/mm] hat den Grenzwert 2
> [mm]\Rightarrow[/mm] sei [mm]\epsilon>0[/mm] (beliebig. Ich muss zeigen:
> Es gibt eine natürliche Zahl [mm]\IN,[/mm] so dass für alle [mm]n\ge\IN[/mm]
> gilt:
> [mm]|\bruch{4n-1}{2n}-2|<\epsilon[/mm]
> [mm]\Rightarrow |\bruch{4n-1}{2n}-2|=|\bruch{-1}{2n}|=\bruch{1}{2n}[/mm]
> Damit ergibt sich:
> [mm]\bruch{1}{2n}<\epsilon \gdw n>\bruch{1}{2\epsilon}[/mm]
> Also
> kann man irgendein [mm]\IN>\bruch{1}{2\epsilon}[/mm] wählen. Dann
> gilt für alle [mm]n\ge\IN[/mm] ebenfalls [mm]n>\bruch{1}{2\epsilon}[/mm] und
> daher [mm]|\bruch{4n-1}{2n}-2|<\epsilon[/mm]
> Wie erkenne ich daraus nun aber meinen Index [mm]\IN???[/mm]
Hallo,
Voraussetzung dafür ist, dass du dir ein bestimmtes [mm] \epsilon [/mm] vorgegeben hast.
Wenn du z.B. [mm] \epsilon [/mm] =0,001 wählst, dann sind ab dem 501. Glied alle Folgenglieder in dieser Umgebung drin.
Wenn du ein noch kleineres [mm] \epsilon [/mm] wählst, wird dein N entsprechend größer.
Gruß Abakus
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> Ich muss bzw. will das mit dem Index vertstehen, um somit
> eventuell nachher auch die Divergenz mit dem indirekten
> beweis der Konvergenz beweisen zu können.
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> Ich danke für eure Hilfe...
>
> Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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Es ist ja [mm] \epsilon>0 [/mm] (beliebig) hätte ich jetzt von mir aus auch [mm] \epsilon=500 [/mm] wählen können und sagen können, dann sind ab dem 0,001. Glied alle Folgenglieder in dieser [mm] \epsilon [/mm] Umgebung drin???
Wie funktioniert das jetzt mit dem indirekten beweis der Konvergenz, wenn ich Divergenz z.B. für [mm] ((-1)^n) [/mm] beweisen möchte???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Mi 03.09.2008 | | Autor: | abakus |
> Es ist ja [mm]\epsilon>0[/mm] (beliebig) hätte ich jetzt von mir aus
> auch [mm]\epsilon=500[/mm] wählen können und sagen können, dann sind
> ab dem 0,001. Glied alle Folgenglieder in dieser [mm]\epsilon[/mm]
> Umgebung drin???
Sicher. Aber das ist nicht der Sinn der Sache. Man will ja zeigen, dass es für jedes NOCH SO KLEINE [mm] \epsilon [/mm] ein N gibt, ab dem ....
Gruß Abakus
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> Wie funktioniert das jetzt mit dem indirekten beweis der
> Konvergenz, wenn ich Divergenz z.B. für [mm]((-1)^n)[/mm] beweisen
> möchte???
Hier müsstest du zeigen, dass die Funktion zwei Häufungspunkte hat. Wenn du das [mm] \epsilon [/mm] klein genug wählst, dass nicht alle beiden Häufungspunkte in dieser Umgeung liegen, funktioniert dein Beweis.
Ansonsten sind die Divergenzbeweise für Folgen nur mit [mm] \epsilon [/mm] -Umgebung nicht ganz einfach. Du kannst damit wohl meist beweisen, dass ein fälschlicherweise vermuteter Grenzwert keiner ist, aber bei Divergenz muss ja für alle reellen Zahle bewiesen sein, dass sie nicht Grenzwert der Folge sind.
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Muss ich denn Divergenz unbedingt zwingend beweisen??? Divergenz bedeutet ja, dass es keinen Grenzwert gibt. Und den gibt es ja nicht, wenn die Folge [mm] ((-1)^n) [/mm] zwischen 1 und -1 hin und her springt. Von daher ist doch ein Beweis überflüssig oder nicht immer???
MFG domenigge135
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Hallo dommenigge,
> Muss ich denn Divergenz unbedingt zwingend beweisen???
> Divergenz bedeutet ja, dass es keinen Grenzwert gibt. Und
> den gibt es ja nicht, wenn die Folge [mm]((-1)^n)[/mm] zwischen 1
> und -1 hin und her springt. Von daher ist doch ein Beweis
> überflüssig oder nicht immer???
>
> MFG domenigge135
Ich würde sagen, das kommt hier auf den Grad des Formalismus an, der von euch gefordert wird.
Bei dieser "einfachen" Folge [mm] $\left((-1)^n\right)_{n\in\IN}$ [/mm] "sieht" man die Divergenz.
Formell bedeutet aber Divergenz: [mm] $\neg$ [/mm] Konvergenz
Wenn du es formell beweisen musst/willst, negiere die Aussage für Konvergenz:
[mm] $\neg [(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert gegen [mm] $a]\gdw\neg[\forall\varepsilon>0 [/mm] \ [mm] \exists N_{\varepsilon}\in\IN [/mm] \ [mm] \forall n>N:|a_n-a|<\varepsilon]$
[/mm]
[mm] $\gdw\exists\varepsilon>0 [/mm] \ [mm] \forall N\in\IN [/mm] \ [mm] \exists n>N:|a_n-a|\ge\varepsilon$
[/mm]
LG
schachuzipus
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Also als ich mich im Internet umgeschut hatte, hatte ich genau diese Folge [mm] ((-1)^n) [/mm] gefunden welche durch den indirekten Beweis der Konvergenz mit Hilfe der Dreiecksungleichung bewiesen wurde.
Warum fällt mir sowas auf anhieb nicht ein??? 
MFG domenigge135
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