Konvergenzbeweis Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Mi 09.02.2011 | | Autor: | rubi |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!+1}x^{2n} [/mm] für alle rellen Zahlen x konvergiert und berechnen Sie den Wert der Reihe für x = 1 auf 3 Nachkommastellen genau. |
Hallo zusammen,
kann mir jemand einen Tipp geben, wie man die Konvergenz für alle x nachweisen kann ?
Ich weiß, dass man mit Hilfe des Quotientenkriteriums einen Konvergenzradius ausrechnen kann, wenn der Grenzwert für [mm] \bruch{a_n}{a_{n+1}} [/mm] existiert.
Das Problem ist jedoch, dass die Hochzahl bei x nicht n ist, sondern 2n.
Kann man dann das Kriterium trotzdem anwenden ?
Wenn ich den Wert der Reihe für x = 1 ermitteln soll, weiß ich dass [mm] 1^{2n} [/mm] immer 1 ergibt. Wie kann ich den Wert der entstehenden Summe 1/2 + 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/25 + ... auf 3 Nachkommastellen ermitteln ?
Vielen Dank für eure Hinweise.
Viele Grüße
Rubi
Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo rubi,
> Zeigen Sie, dass die Potenzreihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!+1}x^{2n}[/mm] für alle rellen
> Zahlen x konvergiert und berechnen Sie den Wert der Reihe
> für x = 1 auf 3 Nachkommastellen genau.
> Hallo zusammen,
> kann mir jemand einen Tipp geben, wie man die Konvergenz
> für alle x nachweisen kann ?
> Ich weiß, dass man mit Hilfe des Quotientenkriteriums
> einen Konvergenzradius ausrechnen kann, wenn der Grenzwert
> für [mm]\bruch{a_n}{a_{n+1}}[/mm] existiert.
> Das Problem ist jedoch, dass die Hochzahl bei x nicht n
> ist, sondern 2n.
> Kann man dann das Kriterium trotzdem anwenden ?
Setze in diesem Fall [mm]z=x^{2} [/mm].
Dann ergibt sich die Reihe
[mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!+1}z^{n}[/mm]
Und schon kannst Du das Quotientenkriterium anwenden.
>
> Wenn ich den Wert der Reihe für x = 1 ermitteln soll,
> weiß ich dass [mm]1^{2n}[/mm] immer 1 ergibt. Wie kann ich den Wert
> der entstehenden Summe 1/2 + 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/25 + ...
> auf 3 Nachkommastellen ermitteln ?
>
Da Du die Summe der obigen Potenzreihe auf 3 Nachkommastellen
angeben sollst, muss gelten:
[mm]\summe_{n=0}^{l}\bruch{1}{n!+1}-\summe_{n=0}^{l-1}\bruch{1}{n!+1} \le 0.001[/mm]
[mm]\gdw \bruch{1}{l!+1} \le 0.001[/mm]
Daraus ergibt sich das l, bis zu welchem Du die Summe berechnen musst,
damit sich die in den ersten 3 Dezimalstellen nicht mehr ändert.
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> Vielen Dank für eure Hinweise.
> Viele Grüße
> Rubi
>
> Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Sa 12.02.2011 | | Autor: | rubi |
Hallo,
bzgl. der Frage zu den 3 Nachkommastellen habe ich die Antwort nicht verstanden.
Müsste die Bedingung nicht lauten
[mm] $\summe_{n=l}^{\infty}\bruch{1}{n!+1}= \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!+1}-\summe_{n=0}^{l-1}\bruch{1}{n!+1} \le [/mm] 0.001 $ ?
Und dann stellt sich mir die Frage, wie ich den Index l so bestimmen kann, dass das Ergebnis <=0,001 ist.
Oder mache ich hier einen Denkfehler ?
Danke für eure Antworten
Viele Grüße
Rubi
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Hallo rubi,
> Hallo,
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> bzgl. der Frage zu den 3 Nachkommastellen habe ich die
> Antwort nicht verstanden.
> Müsste die Bedingung nicht lauten
> [mm]\summe_{n=l}^{\infty}\bruch{1}{n!+1}= \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!+1}-\summe_{n=0}^{l-1}\bruch{1}{n!+1} \le 0.001[/mm]
> ?
>
> Und dann stellt sich mir die Frage, wie ich den Index l so
> bestimmen kann, dass das Ergebnis <=0,001 ist.
>
> Oder mache ich hier einen Denkfehler ?
Ja.
Mit Deiner Bedingung berechnest Du den Abstand der
ersten l Reihenglieder zum Grenzwert dieser Reihe.
Die Bedingung lautet schon:
[mm]\summe_{n=0}^{l}\bruch{1}{n!+1}-\summe_{n=0}^{l-1}\bruch{1}{n!+1} \le 0.001[/mm]
>
>
> Danke für eure Antworten
>
> Viele Grüße
> Rubi
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Sa 12.02.2011 | | Autor: | rubi |
Hallo Mathepower,
vielleicht verstehe ich die Aufgabe falsch.
Nehmen wir mal an, der Wert der Reihe (damit ist doch der Grenzwert gemeint, oder ?) wäre 1.
Dann ist nach meiner Meinung der Index gesucht, bis zu dem aufsummiert werden muss, damit das Ergebnis mindestens 0,999 beträgt.
Nehmen wir weiter an, dass bis zum Index n = 6 die Summe 0,995 betragen würde und das 7.Reihenglied 0,001 betragen würde.
Die Summe ab dem 8.Reihenglied bis ins Unendliche wäre dann noch 0,003.
Dann würde nach deiner Rechnug der Index l = 7 herauskommen, obwohl bis dahin nur bis 0,996 aufsummiert wird und nicht bis 0,999.
Kannst du mir nochmals genauer darstellen, wo mein Denkfehler besteht bzw. warum meine Beispielwerte hier nicht passen.
Danke und viele Grüße
Rubi
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Hallo rubi,
normalerweise sind deine Überlegungen schon richtig, dass du die Differenz zum Grenzwert betrachten musst. Du hast an dieser Stelle aber sicherlich ein Problem, und zwar, dass du den Grenzwert nicht wirklich exakt bestimmen kannst.
Deswegen war die Überlegung erstmal nur den ersten Index l zu finden mit
$ [mm] \summe_{n=0}^{l}\bruch{1}{n!+1}-\summe_{n=0}^{l-1}\bruch{1}{n!+1} \le [/mm] 0.001 [mm] \gdw \bruch{1}{l!+1} \le [/mm] 0.001 $
Als Ergebnis erhältst du l=7. Aufgrund des starken Wachstums der Fakultät im Nenner ändert sich nach dem 7. Summanden die dritte Nachkommastelle schon nicht mehr. Das musst du aber noch unter Verwendung des starken Wachstums der Fakultät zeigen.
Gruß
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